高一希望杯試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\leq1\)D.\(x<1\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=（）\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)4.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，則\(\cos\alpha=（）\)A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.函數(shù)\(y=3^x\)是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d=（）\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.不等式\(x^2-3x+2<0\)的解集是（）A.\(\{x|1<x<2\}\)B.\(\{x|x<1\)或\(x>2\}\)C.\(\{x|x<1\}\)D.\(\{x|x>2\}\)8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（）\)A.\((4,6)\)B.\((2,2)\)C.\((-2,-2)\)D.\((-4,-6)\)9.圓\(x^2+y^2=4\)的圓心坐標是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((2,2)\)D.\((-1,-1)\)10.函數(shù)\(y=\log_2x\)在\((0,+\infty)\)上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=2x\)C.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)D.\(y=x^{-1}\)2.以下哪些是三角函數(shù)的基本關(guān)系（）A.\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)B.\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)C.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)D.\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)3.已知直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)，\(l_2:y=k_2x+b_2\)，若\(l_1\parallell_2\)，則（）A.\(k_1=k_2\)B.\(b_1=b_2\)C.\(k_1k_2=-1\)D.\(b_1\neqb_2\)4.下列屬于等比數(shù)列性質(zhì)的是（）A.\(a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}(n\geq2)\)B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)C.\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q(m+n=p+q)\)D.\(a_{n+1}-a_n=d\)5.關(guān)于集合\(A\)和\(B\)，下列說法正確的是（）A.\(A\subseteqA\)B.\(\varnothing\subseteqA\)C.\(A\capB\subseteqA\)D.\(A\cupB\supseteqA\)6.函數(shù)\(y=\sinx\)的性質(zhì)有（）A.周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.是奇函數(shù)D.在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調(diào)遞增7.以下哪些點在直線\(y=x+1\)上（）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((-1,0)\)D.\((2,3)\)8.若\(a>b>0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)B.\(a^2>b^2\)C.\(a^3>b^3\)D.\(\sqrt{a}>\sqrt\)9.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=（）\)A.\(x_1x_2+y_1y_2\)B.\(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\cos\theta\)C.\(x_1y_2-x_2y_1\)D.\(|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow|^2\)10.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的性質(zhì)有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}(c^2=a^2-b^2)\)D.焦點在\(x\)軸上判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的圖像關(guān)于原點對稱。（）3.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.數(shù)列\(zhòng)(1,2,4,8,16\)是等差數(shù)列。（）6.\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)。（）7.函數(shù)\(y=2x^2\)是偶函數(shù)。（）8.兩個向量相等，則它們的模相等且方向相同。（）9.圓\(x^2+y^2-2x+4y=0\)的圓心是\((1,-2)\)。（）10.若\(\log_a2>\log_a3\)，則\(0<a<1\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域。答案：要使根式有意義，則\(4-x^2\geq0\)，即\(x^2-4\leq0\)，因式分解得\((x+2)(x-2)\leq0\)，解得\(-2\leqx\leq2\)，定義域為\([-2,2]\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求\(a_5\)。答案：根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，當\(n=5\)，\(a_1=1\)，\(d=2\)時，\(a_5=1+(5-1)×2=1+8=9\)。3.求\(\sin15^{\circ}\)的值。答案：\(\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})\)，根據(jù)兩角差的正弦公式\(\sin(A-B)=\sinA\cosB-\cosA\sinB\)，\(\sin15^{\circ}=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)。4.已知直線\(l\)過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)，求直線\(l\)的方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線\(l\)的方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(y=3x-1\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)性。答案：對函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)進行配方得\(y=(x-1)^2+2\)。函數(shù)圖像開口向上，對稱軸為\(x=1\)。所以在\((-\infty,1)\)上單調(diào)遞減，在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。2.探討等比數(shù)列與等差數(shù)列在實際生活中的應用實例。答案：等比數(shù)列如細胞分裂，每次分裂數(shù)量成等比；銀行復利計算也是等比關(guān)系。等差數(shù)列如在堆放物品時，每層數(shù)量構(gòu)成等差數(shù)列；每月固定增加的工資也類似等差數(shù)列。它們用于解決數(shù)量變化規(guī)律問題。3.討論如何根據(jù)直線的一般式方程\(Ax+By+C=0\)判斷直線的位置關(guān)系。答案：對于兩直線\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與\(A_2x+B_2y+C_2=0\)，若\(\frac{A_1}{