【高考物理】2026高考導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)物理一輪（基礎(chǔ)版）第四章第2講拋體運(yùn)動(dòng)含答案第2講拋體運(yùn)動(dòng)投壺是古人宴會(huì)時(shí)禮節(jié)性的游戲。若將箭水平投出,不計(jì)箭所受空氣阻力,請(qǐng)思考:(1)投出的箭做什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)?通常如何來(lái)研究和處理該運(yùn)動(dòng)?(2)箭的下落時(shí)間和水平位移分別由哪些因素決定?1.關(guān)于平拋運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法正確的是()[A]拋出點(diǎn)離地面越高,物體落地時(shí)間一定越長(zhǎng)[B]初速度越大,物體在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)[C]物體落地時(shí)的水平位移與物體的初速度無(wú)關(guān)[D]物體落地時(shí)的水平位移與物體拋出點(diǎn)的高度無(wú)關(guān)【答案】A2.2024年4月20日,在世界田聯(lián)鉆石聯(lián)賽廈門站女子鉛球比賽中,中國(guó)選手以19.72m的成績(jī)奪得冠軍。若把鉛球的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為如圖所示的模型:鉛球從離水平地面一定高度的O點(diǎn)被拋出,拋出時(shí)的速度大小為v0、方向與水平方向的夾角為θ,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間鉛球落地,落地時(shí)的速度方向與水平方向的夾角為α,不計(jì)空氣阻力,重力加速度大小為g。下列說(shuō)法正確的是()[A]鉛球上升到最高點(diǎn)的速度為零[B]鉛球上升到最高點(diǎn)的加速度為零[C]鉛球落地時(shí)的速度大小為v[D]鉛球落地時(shí)的速度大小為v【答案】C【答案】水平重力勻變速拋物線勻速自由落體gtgtv0v0t12gt2x2+y2gt2v0斜向上方重力勻變速拋物線v考點(diǎn)一對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的理解及應(yīng)用(1)無(wú)人機(jī)在距離水平地面高度h處,以速度v0水平勻速飛行并釋放一包裹,不計(jì)空氣阻力,重力加速度為g。包裹在下落過(guò)程中速度的變化量有什么特點(diǎn)?提示:因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為重力加速度g恒定不變,所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔Δt內(nèi)的速度變化量Δv=gΔt是相同的,方向恒為豎直向下,如圖所示。(2)如圖所示,包裹下落到空中的A點(diǎn)時(shí),設(shè)其位移與水平方向的夾角為α,在A點(diǎn)速度偏向角為θ,試證明tanθ=2tanα。提示:tanθ=vyv0=(3)包裹在下落過(guò)程中某時(shí)刻恰好在空中的A點(diǎn),此時(shí)瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線通過(guò)水平位移的B點(diǎn),如圖所示,試證明xB=xA提示:tanθ=yAxA1.平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)所涉及物理量的計(jì)算物理量公式?jīng)Q定因素飛行時(shí)間t=2取決于下落高度h和重力加速度g,與初速度v0無(wú)關(guān)水平射程x=v0t=v02由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同決定落地速度vt=v=v與初速度v0、下落高度h和重力加速度g有關(guān)2.兩個(gè)重要推論(1)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過(guò)此時(shí)水平位移的中點(diǎn)。(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻任意位置處,速度方向與水平方向的夾角θ和位移方向與水平方向的夾角α的關(guān)系為:tanθ=2tanα。[例1]【對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解】關(guān)于平拋運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法正確的是()[A]速度方向不斷改變,不可能是勻變速運(yùn)動(dòng)[B]在任意相等時(shí)間內(nèi)的速度變化量都相等[C]在任意相等時(shí)間內(nèi)的位移都相等[D]加速度隨時(shí)間逐漸增大【答案】B【解析】平拋運(yùn)動(dòng)的加速度為重力加速度,恒定不變,所以是勻變速曲線運(yùn)動(dòng),根據(jù)Δv=gt可知,在任意相等時(shí)間內(nèi)的速度變化量都相等,故A、D錯(cuò)誤,B正確;根據(jù)s=x2+y2,由于水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng),可知在任意相等時(shí)間內(nèi)的水平分位移大小相等,豎直分位移大小不相等,則合位移大小不相等[例2]【平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用】(2025·云南高考適應(yīng)性考試)如圖所示,“套圈”活動(dòng)中,某同學(xué)將相同套環(huán)分兩次從同一位置水平拋出,分別套中Ⅰ號(hào)、Ⅱ號(hào)物品。若套環(huán)可近似視為質(zhì)點(diǎn),不計(jì)空氣阻力,則()[A]套中Ⅰ號(hào)物品,套環(huán)被拋出的速度較大[B]套中Ⅰ號(hào)物品,重力對(duì)套環(huán)做功較小[C]套中Ⅱ號(hào)物品,套環(huán)飛行時(shí)間較長(zhǎng)[D]套中Ⅱ號(hào)物品,套環(huán)動(dòng)能變化量較小【答案】D【解析】套環(huán)在空中做平拋運(yùn)動(dòng),由h=12gt2得t=2hg,可知下落高度越大,套環(huán)的飛行時(shí)間越長(zhǎng),故套中Ⅰ號(hào)物品時(shí)飛行時(shí)間較長(zhǎng),故C錯(cuò)誤;由x=v0t知,套中Ⅱ號(hào)物品的套環(huán)拋出速度較大,故A錯(cuò)誤;套環(huán)飛行過(guò)程中,重力做功的大小等于套環(huán)動(dòng)能的變化量,即WG=ΔEk=mgh,故套中Ⅱ號(hào)物品時(shí),套環(huán)下落的高度較小,重力對(duì)套環(huán)做功較小,套環(huán)的動(dòng)能變化量較小,故B 考點(diǎn)二與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng) 1.落點(diǎn)在斜面上的三種情境分析模型方法分解速度,構(gòu)建速度三角形,找到斜面傾角θ與速度方向的關(guān)系分解速度,構(gòu)建速度的矢量三角形分解位移,構(gòu)建位移三角形,隱含條件:斜面傾角θ等于位移與水平方向的夾角運(yùn)動(dòng)時(shí)間由tanθ=vxvy=v0gt由tanθ=vyvx=gtv0由tanθ=yx=gt2v02.落點(diǎn)在曲面上的三種情境分析模型處理方法分解速度利用位移關(guān)系利用位移關(guān)系物理量分析因tanθ=vyv得t=vx=R+R·cosθ=v0ty=Rsinθ=12gt(x-R)2+y2=R2x=v0ty=12gtx2+y2=R2[例3]【從斜面上平拋又落到斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)】跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)勇敢者的滑雪運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)員在滑雪道上獲得一定速度后從跳臺(tái)飛出,在空中飛一段距離后落地。如圖所示,運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)A處沿水平方向以v0=20m/s的速度飛出,落在斜坡上的B處,斜坡與水平方向的夾角θ為37°,不計(jì)空氣阻力(取sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s2),求:(1)運(yùn)動(dòng)員在空中飛行的時(shí)間;(2)運(yùn)動(dòng)員落在B處時(shí)的速度大小;(3)運(yùn)動(dòng)員在空中離坡面的最大距離。【答案】(1)3s(2)1013m/s(3)9m【解析】(1)運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng),設(shè)在空中飛行的時(shí)間為t,則有x=v0t,y=12gt2由題圖可知tanθ=yx聯(lián)立解得t=2v0gtanθ=3(2)運(yùn)動(dòng)員落在B處時(shí)有vx=v0,vy=gt,所以vB=vx2+vy2(3)取沿斜坡向下方向(x方向)與垂直于斜坡向上方向(y方向)分析運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng),則在垂直于斜坡方向上,vy′=v0sinθ=12m/s,ay=-gcosθ=-8m/s2,當(dāng)vy′=0時(shí),運(yùn)動(dòng)員在空中離坡面的距離最大,則有d=0-vy'2靈活建立坐標(biāo)系解決平拋問題(1)坐標(biāo)系的建立是任意的,和斜面結(jié)合的平拋運(yùn)動(dòng)也可以沿斜面和垂直于斜面建立直角坐標(biāo)系。(2)如求解[例3]第(3)問時(shí),把初速度v0、重力加速度g分解成沿斜面和垂直于斜面的兩個(gè)分量。沿斜面方向?yàn)槌跛俣葹関0cosθ、加速度為gsinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng),垂直于斜面方向?yàn)槌跛俣葹関0sinθ、加速度為gcosθ的類豎直上拋運(yùn)動(dòng)。這樣僅用垂直于斜面方向的分運(yùn)動(dòng)即可求解離坡面的最大距離(垂直斜面分速度減為0時(shí))。[變式](1)運(yùn)動(dòng)員在空中離坡面的最大距離處,運(yùn)動(dòng)特征有哪些?(2)若運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)A處沿水平方向飛出的速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半,則運(yùn)動(dòng)員在空中飛行時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍?沿斜面飛行距離變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍?(3)初速度改變后,落在斜面上,速度方向與斜面夾角變化嗎?【答案】見解析【解析】(1)該時(shí)刻速度與斜面平行,該時(shí)刻是運(yùn)動(dòng)全過(guò)程的中間時(shí)刻。(2)由[例3]第(1)問知t=2v0gtanθ,可知t∝v0,故在空中飛行時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的12。由l=xcosθ=v0tcosθ=(3)落在斜面上時(shí),位移方向相同,由平拋運(yùn)動(dòng)的推論可知速度方向相同,故速度方向與斜面夾角不變。[例4]【從空中平拋落到斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)】(2025·貴州貴陽(yáng)開學(xué)考試)如圖所示,一架水平勻速飛行的飛機(jī)通過(guò)三次投放,使救援物資準(zhǔn)確地落到山坡上間隔相等的A、B、C三處,物資離開飛機(jī)時(shí)速度與飛機(jī)相同,不計(jì)空氣阻力,則三批物資()[A]在空中飛行的時(shí)間是相等的[B]落到山坡上時(shí)速度方向相同[C]落到山坡上的時(shí)間間隔相等[D]從飛機(jī)釋放的時(shí)間間隔相等【答案】C【解析】根據(jù)h=12gt2,t=2hg可知,物資在空中的飛行時(shí)間由高度決定,與飛機(jī)飛行速度無(wú)關(guān),三批物資在空中飛行的時(shí)間是不相等的,故A錯(cuò)誤;三批物資落到山坡上時(shí)豎直方向速度大小不同,水平速度相同,故合速度方向不同,故B錯(cuò)誤;三批物資在豎直方向上的位移差相等,但由于物資在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng),豎直方向速度越來(lái)越快,所以三批物資從飛機(jī)釋放的時(shí)間間隔不相等,應(yīng)有在空中飛行的時(shí)間之差tA-tB<tB-tC,故D錯(cuò)誤;三批物資落到山坡上的水平位移差相等,物資在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),所以落到山坡上的時(shí)間間隔相等,[變式]若飛機(jī)水平勻速飛行的速度為v0,救援物資落到B點(diǎn)時(shí)速度垂直于斜坡(傾角為θ)。不計(jì)空氣阻力,重力加速度為g。求:(1)救援物資落到斜坡前瞬間的速度大小v;(2)救援物資釋放后在空中運(yùn)動(dòng)的位移大小l?！敬鸢浮?1)v0sinθ【解析】(1)救援物資釋放做平拋運(yùn)動(dòng),初速度為v0,垂直落到傾角為θ的斜坡上,可知末速度與豎直方向的夾角為θ,根據(jù)幾何關(guān)系有v0=vsinθ,則救援物資落到斜坡前瞬間的速度大小v=v0(2)設(shè)救援物資釋放后在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1,落到斜坡前瞬間的豎直分速度大小vy=vcosθ=v0豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng),有vy=gt1,豎直方向的位移為h,有vy2=2水平方向的位移x=v0t1,救援物資在空中運(yùn)動(dòng)的位移大小l=x2故l=v0[例5]【與圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)】如圖所示,科考隊(duì)員站在半徑為10m的半圓形隕石坑(直徑水平)邊,沿水平方向向坑中拋出一石子(視為質(zhì)點(diǎn)),石子在坑中的落點(diǎn)P與圓心O的連線與水平方向的夾角為37°,已知石子的拋出點(diǎn)在半圓形隕石坑左端的正上方,且到半圓形隕石坑左端的高度為1.2m。取sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10m/s2,不計(jì)空氣阻力,則石子拋出時(shí)的速度大小為()[A]9m/s [B]12m/s[C]15m/s [D]18m/s【答案】C【解析】由題意可知,石子豎直方向的位移為h=h1+Rsin37°,根據(jù)h=12gt2,代入數(shù)據(jù)解得t1.2s;石子水平方向的位移為x=R+Rcos37°,又x=v0t,得v0=15m/s。故C正確,A、B、D錯(cuò)誤。[變式]在[例5]中,若科考隊(duì)員沿水平方向向坑中拋出一石子(視為質(zhì)點(diǎn)),改變其水平拋出石子的初速度,能否使石子落到坑中某點(diǎn)時(shí)的速度方向沿半圓形隕石坑的半徑方向?【答案】見解析【解析】假設(shè)石子落到坑中某點(diǎn)Q時(shí)的速度方向沿半徑方向,則Q點(diǎn)速度反向延長(zhǎng)線必過(guò)圓心O,而根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)速度反向延長(zhǎng)線過(guò)水平位移中點(diǎn)可得此時(shí)水平位移應(yīng)為半圓形隕石坑的直徑,但水平位移不可能為半圓形隕石坑的直徑,故假設(shè)不成立,所以石子落入坑中某點(diǎn)的速度方向不可能沿半圓形隕石坑的半徑方向。考點(diǎn)三斜拋運(yùn)動(dòng)1.當(dāng)斜拋物體落點(diǎn)位置與拋出點(diǎn)等高時(shí)(1)射高:h=v0y2(2)斜拋運(yùn)動(dòng)的飛行時(shí)間:t=2v0y(3)射程:s=v0cosθ·t=2v02sinθcosθg=v02sin2θg,對(duì)于給定的v2.逆向思維法處理斜拋問題對(duì)斜上拋運(yùn)動(dòng)從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,可以逆向看成平拋運(yùn)動(dòng);分析完整的斜上拋運(yùn)動(dòng),還可根據(jù)對(duì)稱性求解有關(guān)問題。[例6]【對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)的理解】(2024·江蘇卷,4)噴泉a、b形成如圖所示的形狀,不計(jì)空氣阻力,則噴泉a、b的()[A]加速度相同[B]初速度相同[C]最高點(diǎn)的速度相同[D]在空中的時(shí)間相同【答案】A【解析】不計(jì)空氣阻力,在噴泉噴出的水在空中只受重力,加速度均為重力加速度,故A正確;設(shè)噴泉噴出的水豎直方向的分速度為vy,水平方向速度為vx,豎直方向,根據(jù)對(duì)稱性可知在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=22hg,可知tb>ta,D錯(cuò)誤;最高點(diǎn)的速度等于水平方向的分速度vx=xt,由于水平方向的位移大小關(guān)系未知,無(wú)法判斷最高點(diǎn)的速度大小關(guān)系,根據(jù)速度的合成可知無(wú)法判斷初速度的大小關(guān)系,B[例7]【逆向思維法處理斜拋問題】(2024·重慶沙坪壩期中)壁球是杭州亞運(yùn)會(huì)的項(xiàng)目之一,運(yùn)動(dòng)員需要面對(duì)墻壁不斷將球打在豎直墻壁上。如圖所示,如果運(yùn)動(dòng)員在同一水平高度上的A、B兩點(diǎn)分別擊球,不計(jì)空氣阻力,為使球能垂直打在墻上的同一點(diǎn),則在A、B點(diǎn)擊球后瞬間球的速度大小分別為vA和vB,則兩者的大小關(guān)系正確的是()[A]vA>vB [B]vA=vB[C]vA<vB [D]無(wú)法確定【答案】C【解析】可用逆向思維法,讓壁球從碰壁處反向平拋,運(yùn)動(dòng)到同一水平面上A、B兩點(diǎn),根據(jù)t=2hg,vy=gt,可知壁球運(yùn)動(dòng)到A、B兩點(diǎn)的時(shí)間相同,豎直速度相同。根據(jù)x=v0t=v02hg,xB>xA,可知vOB>vOA,即合速度vA<vB(滿分:60分)對(duì)點(diǎn)1.對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的理解及應(yīng)用1.(4分)轅門射戟,最早出自《三國(guó)志·呂布傳》,是呂布為了阻止袁術(shù)擊滅劉備所使的計(jì)謀。呂布欲用弓箭射中距離自己一百五十步外方天畫戟中的小支,假設(shè)呂布水平射出箭,忽略空氣阻力,則()[A]箭在飛行過(guò)程中加速度一定改變[B]呂布拉弓時(shí)箭的位置一定要高于戟支的下邊緣[C]箭有可能水平射中戟支[D]質(zhì)量大的箭可能慣性小【答案】B【解析】忽略空氣阻力,箭在飛行過(guò)程中只受重力作用,加速度為重力加速度,保持不變,故A錯(cuò)誤;箭在空中做平拋運(yùn)動(dòng),水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng),可知呂布拉弓時(shí)箭的位置一定要高于戟支的下邊緣,箭不可能水平射中,故B正確,C錯(cuò)誤;質(zhì)量大的箭慣性大,故D錯(cuò)誤。2.(6分)(2024·黑龍江三模)(多選)飛鏢扎氣球是一種娛樂游戲項(xiàng)目,其示意圖如圖甲所示,靶面豎直固定,O點(diǎn)為鏢靶中心,OP水平、OQ豎直,靶面圖如圖乙所示。若每次都在空中同一位置M點(diǎn)水平射出飛鏢,且M、O、Q三點(diǎn)在同一豎直平面,忽略空氣阻力。關(guān)于分別射中靶面O、P、Q三點(diǎn)的飛鏢,下列說(shuō)法正確的是()[A]射中O點(diǎn)的飛鏢射出時(shí)的速度最小[B]射中P點(diǎn)的飛鏢射出時(shí)的速度最大[C]射中Q點(diǎn)的飛鏢空中飛行時(shí)間最長(zhǎng)[D]射中O、P兩點(diǎn)的飛鏢空中飛行時(shí)間相等【答案】BCD【解析】飛鏢做平拋運(yùn)動(dòng),由平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)知h=12gt2,x=vt,解得飛鏢飛行時(shí)間t=2hg,飛鏢初速度v=xg2h,O、P、Q三點(diǎn)豎直方向hO=hP<hQ,則tO=tP<tQ,飛鏢射中O、P兩點(diǎn)的飛鏢空中飛行時(shí)間相等,射中Q點(diǎn)的飛鏢空中飛行時(shí)間最長(zhǎng),且xO=xQ<xP,可得vQ<vO<vP,即射中Q點(diǎn)的飛鏢射出時(shí)的速度最小,射中P點(diǎn)的飛鏢射出時(shí)的速度最大,3.(10分)(2025·四川高考適應(yīng)性考試)某同學(xué)借助安裝在高處的籃球發(fā)球機(jī)練習(xí)原地豎直起跳接球。該同學(xué)站在水平地面上,與出球口水平距離l=2.5m,舉手時(shí)手掌距地面最大高度h0=2.0m。發(fā)球機(jī)出球口以速度v0=5m/s沿水平方向發(fā)球。從籃球發(fā)出到該同學(xué)起跳離地,耗時(shí)t0=0.2s。該同學(xué)跳至最高點(diǎn)伸直手臂恰能在頭頂正上方接住籃球。重力加速度g取10m/s2。求:(1)t0時(shí)間內(nèi)籃球的位移大小;(2)出球口距地面的高度?！敬鸢浮?1)265m(2)3.7【解析】(1)在t0時(shí)間內(nèi),籃球水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),位移為x=v0t0=5×0.2m=1m,豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng),位移為h=12gt02=12×10×0.22m=0所以t0時(shí)間內(nèi)籃球的位移為x0=x2+h2=1.04(2)從發(fā)出球到接住球經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t=lv0=2.55s=所以該同學(xué)起跳離地到接住球經(jīng)歷的時(shí)間為t1=t-t0=0.3s,該同學(xué)起跳后上升的高度為h1=12gt12=12×10×0.32m=0整個(gè)過(guò)程籃球下降的高度h2=12gt2=12×10×0.52m=1.25所以出球口距地面高度為H=h0+h1+h2=2.0m+0.45m+1.25m=3.7m。對(duì)點(diǎn)2.與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)4.(4分)(2024·甘肅酒泉開學(xué)考試)某運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)a處沿水平方向飛出,在斜坡b處著陸,測(cè)得ab間的距離為30m,斜坡與水平方向的夾角為30°,不計(jì)空氣阻力,g取10m/s2,則()[A]運(yùn)動(dòng)員沿斜坡的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)[B]運(yùn)動(dòng)員在垂直斜坡方向一直在加速[C]運(yùn)動(dòng)員離斜坡最遠(yuǎn)時(shí)在垂直斜坡的投影點(diǎn)為ab的中點(diǎn)[D]運(yùn)動(dòng)員從a到b的時(shí)間為3s【答案】D【解析】運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng),可將運(yùn)動(dòng)員的重力加速度g分解在沿斜坡方向與垂直斜坡方向上,同時(shí)將初速度分解在這兩個(gè)方向上,由于gx與v0x同向,運(yùn)動(dòng)員沿斜坡的分運(yùn)動(dòng)為勻加速直線運(yùn)動(dòng);垂直斜坡方向上,由于gy與v0y方向相反,所以運(yùn)動(dòng)員在垂直斜坡方向先減速后加速;當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在垂直斜坡方向上的速度v0y減為0時(shí),運(yùn)動(dòng)員離斜坡最遠(yuǎn),根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性,可知此時(shí)運(yùn)動(dòng)員所用時(shí)間為整個(gè)過(guò)程時(shí)間的一半,但由于運(yùn)動(dòng)員在平行斜坡方向上為勻加速直線運(yùn)動(dòng),所以運(yùn)動(dòng)員離斜坡最遠(yuǎn)時(shí)在垂直斜坡的投影點(diǎn)不是ab的中點(diǎn),故A、B、C錯(cuò)誤;根據(jù)h=sabsin30°=12gt2可得,運(yùn)動(dòng)員從a到b的時(shí)間為t=2×30×1210s5.(4分)(2023·廣西模擬)如圖所示,某同學(xué)對(duì)著墻壁練習(xí)打乒乓球(視為質(zhì)點(diǎn)),某次乒乓球與墻壁上的P點(diǎn)碰撞后水平彈離,恰好垂直落在球拍上的Q點(diǎn)。重力加速度g取10m/s2,不計(jì)空氣阻力。若球拍與水平方向的夾角為45°,乒乓球落到球拍前瞬間的速度大小為4m/s,則P、Q兩點(diǎn)的高度差為()[A]0.1m [B]0.2m[C]0.3m [D]0.4m【答案】D【解析】乒乓球恰好垂直落在球拍上的Q點(diǎn),球拍與水平方向的夾角為45°,乒乓球落到球拍前瞬間的速度大小為4m/s,將此速度分解,如圖所示,則有vy=vcos45°=22m/s,則P、Q兩點(diǎn)的高度差為h=vy22g=0.6.(6分)(2024·福建福州模擬)(多選)水車是中國(guó)最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具之一,是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)。水車的簡(jiǎn)易模型如圖所示,水流自水平放置的水管流出,水流軌跡與水車車輪的邊緣相切,可使車輪持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng),切點(diǎn)與所在車輪橫截面的圓心的連線與水平方向的夾角為37°。若水管出水口處水流的速度v0=6m/s,車輪半徑R=2m,不計(jì)空氣阻力。重力加速度g取10m/s2,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,水流到達(dá)車輪邊緣時(shí)的速度與車輪邊緣切點(diǎn)的線速度相同,則()[A]水管出水口與輪軸O的水平距離為4.8m[B]水管出水口與輪軸O的豎直距離為4.4m[C]車輪的角速度是20rad/s[D]水流速度的變化量的大小為8m/s【答案】BD【解析】將水流到達(dá)車輪邊緣時(shí)的速度分解,如圖所示,則vy=v0tan37°=8m/s,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有t=vyg=0.8s,x=v0t=4.8m,y=12gt2=3.2m,水管出水口與輪軸O的水平距離l=x-Rcos37°=3.2m,豎直距離h=y+Rsin37°=4.4m,故A錯(cuò)誤,B正確;因?yàn)檐囕嗊吘壡悬c(diǎn)的速度即為水流做平拋運(yùn)動(dòng)的合速度v=v02+vy2=10m/s,故ω=vR=5rad/s,故C錯(cuò)誤對(duì)點(diǎn)3.斜拋運(yùn)動(dòng)7.(4分)(2024·廣東梅州期末)“打水漂”是一種常見的娛樂活動(dòng),以一定的高度水平扔出的瓦片,會(huì)反復(fù)在水面上彈跳前進(jìn),假設(shè)瓦片和水面相撞后,在水平和豎直方向速度大小均減小,以下四幅圖有可能是瓦片軌跡的是()[A][B][C][D]【答案】C【解析】瓦片和水面相撞后,在水平方向,速度大小減小,而在豎直方向,碰撞后并不能原速度彈回,而是變小,可知豎直方向瓦片上升的高度逐漸減小,根據(jù)t=22hg可知,瓦片在空中的時(shí)間逐漸減小,水平方向有x=vxt,則瓦片在空中通過(guò)水平位移也逐漸減小8.(4分)(2024·河南周口階段檢測(cè))射水魚能將嘴探出水面向空中射水,捕獵昆蟲。如圖所示,樹枝上有一蚱蜢,離水面的高度為0.8m,與魚嘴的水平距離為0.6m。重力加速度g取10m/s2,不計(jì)空氣阻力,要恰好水平擊中蚱蜢,射水魚射出水的速度為()[A]732m/s [B]734[C]32m/s [D]22m/s【答案】A【解析】射水魚射出的水做斜拋運(yùn)動(dòng),恰好水平擊中蚱蜢時(shí)的豎直方向的速度為0。由題意知h=0.8m,則豎直方向初速度vy=2gh=4m/s,水從射出到擊中蚱蜢運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=vyg=0.4s,已知x=0.6m,則水平方向初速度vx=xt=1.5m/s,則射水魚射出水的速度v0=vx2+vy2=9.(4分)(2024·江蘇南通模擬)如圖所示,一個(gè)沙漏沿水平方向以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng),沿途連續(xù)漏出沙子,單位時(shí)間內(nèi)漏出的沙子質(zhì)量恒定為Q,出沙口距水平地面的高度為H。忽略沙子漏出瞬間相對(duì)沙漏的初速度,沙子落到地面后立即停止,不計(jì)空氣阻力,已知重力加速度為g,在已有沙子落地后()[A]沙子在空中形成的幾何圖形是一條拋物線[B]不同時(shí)刻下落的兩粒沙子之間的豎直間距保持不變[C]沙子落到地面時(shí)與沙漏的水平距離為v2[D]在空中運(yùn)動(dòng)的沙子的總質(zhì)量為Q2【答案】D【解析】由于沙子下落時(shí),沙子與沙漏均具有水平向右的初速度v,所以漏出的沙子在水平方向上均和沙漏以相同的速度向右移動(dòng),因此沙子在空中形成的幾何圖形是一條直線,故A錯(cuò)誤;下落的沙子在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng),下落時(shí)間間隔為Δt的兩粒沙子豎直間距為Δy=12g(t+Δt)2-12gt2=gΔt·t+12g(Δt)2,可知二者間距隨下落時(shí)間的增加而增加,故B錯(cuò)誤;因?yàn)樯匙优c沙漏在水平方向上以相同的速度v運(yùn)動(dòng),所以沙子落地時(shí)與沙漏的水平距離為0,故C錯(cuò)誤;從第一粒沙子漏出開始到這粒沙子剛落地,這一過(guò)程中在豎直方向上,有H=12gt2,這一過(guò)程的時(shí)間為t=2Hg,由于單位時(shí)間內(nèi)漏出的沙子質(zhì)量恒定為Q,則這一過(guò)程中落下的沙子總質(zhì)量M=Qt=10.(4分)(2024·湖南模擬)如圖所示,半球面半徑為R,A點(diǎn)與球心O等高,小球兩次從A點(diǎn)以不同的速率沿AO方向拋出,下落相同高度h,分別撞擊到球面上B點(diǎn)和C點(diǎn),速度偏轉(zhuǎn)角分別為α和β,不計(jì)空氣阻力。則小球()[A]運(yùn)動(dòng)時(shí)間tAC>tAB[B]兩次運(yùn)動(dòng)速度變化ΔvAC>ΔvAB[C]在C點(diǎn)的速度方向可能與球面垂直[D]1tanα+1【答案】D【解析】根據(jù)h=12gt2,得t=2hg,則tAC=tAB,故A錯(cuò)誤;根據(jù)Δv=g·Δt,兩次運(yùn)動(dòng)速度變化ΔvAC=ΔvAB,故B錯(cuò)誤;若在C點(diǎn)的速度方向與球面垂直,則速度方向所在直線經(jīng)過(guò)圓心,速度方向反向延長(zhǎng)線一定經(jīng)過(guò)水平位移的中點(diǎn),顯然不符合,故C錯(cuò)誤;速度偏轉(zhuǎn)角分別為α和β,設(shè)位移偏轉(zhuǎn)角分別為α′和β′,水平位移分別為x1、x2,有tanα=2tanα′,tanβ=2tanβ′,tanα′=hx1,tanβ′=hx2,可得1tanα+1tanβ=x1+x22h,如圖,AF+AE=x2+x1=2R,所以1tanα+1tanβ=R11.(10分)(2025·內(nèi)蒙古高考適應(yīng)性考試)投沙包游戲規(guī)則為:參賽者站在離得分區(qū)域邊界AB一定的距離外將沙包拋出,每個(gè)得分區(qū)域的寬度d=0.15m,根據(jù)沙包停止點(diǎn)判定得分。如圖,某同學(xué)以大小v0=5m/s、方向垂直于AB且與水平地面夾角53°的初速度斜向上拋出沙包,出手點(diǎn)與AB的水平距離L=2.7m,距地面的高度h=1m。落地碰撞瞬間豎直方向速度減為零,水平方向速度減小。落地后沙包滑行一段距離,最終停在9分、7分得分區(qū)的分界線上。已知沙包與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25,取sin53°=0.8,cos53°=0.6,重力加速度g取10m/s2,空氣阻力不計(jì)。求:(1)沙包從出手點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離x;(2)沙包與地面碰撞前后動(dòng)能的比值k?！敬鸢浮?1)3m(2)20【解析】(1)沙包豎直方向的初速度為vy=v0sin53°=4m/s,沙包在豎直方向上減速到0,然后做自由落體運(yùn)動(dòng),設(shè)豎直向上為正,則有-h=vyt-12gt2代入數(shù)據(jù)解得t=1s;沙包拋出的水平初速度為vx=v0cos53°=3m/s,所以從拋出到落地,沙包的水平位移為x=vxt=3m。(2)沙包滑行的距離為x0=L+5d-x=0.45m,由牛頓第二定律得沙包滑行的加速度大小a=μmgm=μg=2.5m/s2設(shè)滑行的初速度為v1,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v12=2ax解得v1=1.5m/s,與地面碰撞后的動(dòng)能Ek2=12mv12沙包從拋出到落地,根據(jù)動(dòng)能定理有mgh=12mv2-12m解得落地瞬間的動(dòng)能Ek1=12mv2=45所以k=Ek1Ek2第3講小專題:拋體運(yùn)動(dòng)中的綜合性問題考點(diǎn)一分解法處理類平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)1.類平拋運(yùn)動(dòng)問題分析(1)受力特點(diǎn)。物體所受的合外力為恒力,且與初速度的方向垂直。(2)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。在初速度v0方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng),在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度a=F合(3)分解方法。通常將類平拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng),和垂直于初速度方向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)處理,平拋運(yùn)動(dòng)中的結(jié)論或推論在此仍然成立。2.斜拋運(yùn)動(dòng)的分解方法圖示分解方法水平豎直正交分解化曲為直將初速度和重力加速度沿斜面和垂直斜面分解基本規(guī)律水平方向:vx=v0cosθx=v0cosθ·t豎直方向:vy=v0sinθ-gty=v0sinθ·t-12gt最高點(diǎn):hm=(落回等高處射程:s=v0cosθ·t=2v02sinθcosθg=v02sin2smax=v垂直斜面:g1=gcosαv1=v0sinθ-g1·ty=v0sinθt-12g1t沿著斜面:g2=gsinαv2=v0cosθ+g2·tx=v0cosθt+12g2t2最高點(diǎn)hm=([例1]【類平拋運(yùn)動(dòng)的分析】(2024·黑龍江大慶期末)風(fēng)洞,被稱為飛行器的搖籃,我國(guó)的風(fēng)洞技術(shù)世界領(lǐng)先。如圖所示,在一次實(shí)驗(yàn)中,風(fēng)洞豎直放置且足夠長(zhǎng),質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)以速度v0=10m/s沿直徑水平進(jìn)入風(fēng)洞。小球在風(fēng)洞中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的風(fēng)力F恒定,方向豎直向上,風(fēng)力大小F可在0～3mg間調(diào)節(jié)。小球可視作質(zhì)點(diǎn),碰壁后不反彈,重力加速度g取10m/s2,風(fēng)洞橫截面直徑L=10m。(1)當(dāng)F=0時(shí),求小球撞擊右壁的速度大小和方向;(2)保持v0不變,調(diào)節(jié)F的大小,求小球撞擊右壁的區(qū)域長(zhǎng)度?！敬鸢浮?1)102m/s,速度方向與水平方向夾角為45°(2)15m【解析】(1)當(dāng)F=0時(shí),小球做平拋運(yùn)動(dòng),水平方向有L=v0t1,解得t1=1s,豎直分速度為vy1=gt1,小球撞擊右壁的速度大小v=v0令速度與水平方向夾角為θ,則有v=102m/s,θ=45°。(2)結(jié)合上述,當(dāng)F=0時(shí),小球做平拋運(yùn)動(dòng),豎直方向的分位移y1=12gt解得y1=5m,當(dāng)F=3mg時(shí),根據(jù)牛頓第二定律有3mg-mg=ma,小球做類平拋運(yùn)動(dòng),則有L=v0t1,y2=12at解得y2=10m,則小球撞擊右壁的區(qū)域長(zhǎng)度L0=y1+y2=15m。[例2]【分解法處理斜拋運(yùn)動(dòng)】(2024·山東卷,12)(多選)如圖所示,工程隊(duì)向峽谷對(duì)岸平臺(tái)拋射重物,初速度v0大小為20m/s,與水平方向的夾角為30°,拋出點(diǎn)P和落點(diǎn)Q的連線與水平方向夾角為30°,重力加速度大小取10m/s2,忽略空氣阻力。重物在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是()[A]運(yùn)動(dòng)時(shí)間為23s[B]落地速度與水平方向夾角為60°[C]重物離PQ連線的最遠(yuǎn)距離為10m[D]軌跡最高點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差為45m【答案】BD【解析】將初速度分解為沿PQ方向分速度v1和垂直于PQ方向分速度v2,則有v1=v0cos60°=10m/s,v2=v0sin60°=103m/s,將重力加速度分解為沿PQ方向分加速度a1和垂直于PQ方向分加速度a2,則有a1=gsin30°=5m/s2,a2=gcos30°=53m/s2,垂直于PQ方向,根據(jù)對(duì)稱性可得重物運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=2·v2a2=4s,重物離PQ連線的最遠(yuǎn)距離為dmax=v222a2=103m,故A、C錯(cuò)誤;重物落地時(shí)豎直分速度大小vy=-v0sin30°+gt=30m/s,則落地速度與水平方向夾角正切值tanθ=vyvx=vyv0cos30°=3,可得θ=60°,故B正確;從拋出到最高點(diǎn)所用時(shí)間為t1=v0sin30°g=1s,則從最高點(diǎn)到落地所用時(shí)間為t2=t建立斜坐標(biāo)系處理斜拋運(yùn)動(dòng)(1)本題也可以建立初速度方向和豎直方向的斜坐標(biāo)系,如圖:初速度方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng),豎直方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)。初速度方向有x=v0t,豎直方向有y=12gt2由幾何關(guān)系得v0t=12gt2,lPQ=v0t(2)將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí),平拋運(yùn)動(dòng)中的兩個(gè)推論仍然是成立的?？键c(diǎn)二拋體中的多物體問題拋體中的多物體問題主要指拋體運(yùn)動(dòng)中的相遇問題。拋體運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng),所謂相遇就是二者同時(shí)到達(dá)空間中同一位置。根據(jù)問題情境不同,運(yùn)用相應(yīng)物理規(guī)律和幾何條件列方程解答。[例3]【平拋運(yùn)動(dòng)中的多物體問題】(2024·廣西桂林三模)在一次學(xué)農(nóng)活動(dòng)中,農(nóng)忙之余師生利用自制的沙包進(jìn)行放松活動(dòng),教師和學(xué)生在A、B兩點(diǎn)分別以速度v1和v2水平拋出沙包,兩沙包在空中的C點(diǎn)相遇,忽略空氣阻力,重力加速度為g,則()[A]教師和學(xué)生同時(shí)拋出沙包[B]學(xué)生應(yīng)先拋出沙包[C]若教師遠(yuǎn)離學(xué)生幾步,則需要與學(xué)生同時(shí)扔出沙包,兩沙包才能相遇[D]若知A和C、B和C的高度差HAC和HBC,可求出A、B兩點(diǎn)的水平距離【答案】D【解析】沙包做平拋運(yùn)動(dòng),有h=12gt2,解得t=2hg,由題圖可知,教師拋出的沙包下落的高度較大,則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間較長(zhǎng),所以教師應(yīng)先拋出沙包,兩沙包才能相遇,故A、B、C錯(cuò)誤;若知A和C、B和C的高度差HAC和HBC,則可計(jì)算出兩沙包相遇前平拋的時(shí)間,根據(jù)x=vt,A、B兩點(diǎn)的水平距離可表示為L(zhǎng)AB=v1t1+v2t2=v12HACg+v[例4]【斜拋運(yùn)動(dòng)中的多物體問題】(2025·山東開學(xué)考試)(多選)如圖所示,從同一水平面上的M、N兩點(diǎn)同時(shí)拋出兩個(gè)小球P、Q,出射速度與水平方向夾角分別為30°和60°,兩小球運(yùn)動(dòng)軌跡在同一豎直面內(nèi),射出后經(jīng)t=1s兩小球在空中相遇,已知M、N兩點(diǎn)間的距離為x=20m,忽略空氣阻力,重力加速度g取10m/s2。下列說(shuō)法正確的是()[A]小球P的出射速度大小為53m/s[B]小球Q的出射速度大小為10m/s[C]兩小球相遇時(shí)P小球處于上升階段[D]兩小球相遇位置離M點(diǎn)的水平距離大于離N點(diǎn)的水平距離【答案】BD【解析】根據(jù)題意有v1tcos30°+v2tcos60°=x,v1tsin30°-12gt2=v2tsin60°-12gt2,代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得v1=103m/s,v2=10m/s,故A錯(cuò)誤,B正確;小球P、Q出射時(shí)豎直方向的速度分別為v1y=v1sin30°=53m/s,v2y=v2sin60°=53m/s,小球P上升到最高點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t′=5310s≈0.866s<t,所以兩小球相遇時(shí)P小球處于下降階段,故C錯(cuò)誤;兩小球相遇時(shí)的水平距離分別為x1=v1tcos30°=15m,x2=v2tcos60°=5m,故[例5]【平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)中的多物體問題】(2024·四川遂寧二模)(多選)如圖所示,在M點(diǎn)的正上方離地高H處以水平速度v1向右投擲一飛盤P,反應(yīng)靈敏的小狗Q同時(shí)在M點(diǎn)右方水平地面上的N點(diǎn)以速度v2斜向左上方跳出,結(jié)果飛盤P和小狗Q恰好在M、N連線的中點(diǎn)正上方相遇。為使問題簡(jiǎn)化,飛盤和小狗均可看成質(zhì)點(diǎn),不計(jì)飛盤和小狗運(yùn)動(dòng)過(guò)程所受空氣的阻力,則飛盤水平拋出后至與小狗相遇的過(guò)程,下列說(shuō)法正確的是()[A]飛盤和小狗速度的變化量相等[B]飛盤和小狗相遇點(diǎn)在距離地面34H[C]初速度大小關(guān)系一定是v1<v2[D]小狗相對(duì)飛盤做勻加速直線運(yùn)動(dòng)【答案】AC【解析】飛盤和小狗分別做平拋和斜上拋運(yùn)動(dòng),根據(jù)Δv=gt可知,飛盤和小狗速度的變化量相等,故A正確;因?yàn)轱w盤和小狗恰好在M、N兩點(diǎn)連線中點(diǎn)的正上方相遇,說(shuō)明它們的水平位移大小相等,又因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同,所以它們?cè)谒椒较蛏系乃俾氏嗤?即v2cosθ=v1,可得v1<v2,故C正確;根據(jù)題意可知飛盤和小狗運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同,因?yàn)椴恢佬」吩谪Q直方向初速度的大小,所以不能判斷飛盤和小狗相遇點(diǎn)距離地面的高度,故B錯(cuò)誤;飛盤和小狗都只受到重力作用,都做勻變速運(yùn)動(dòng),加速度相同,所以小狗相對(duì)飛盤做勻速直線運(yùn)動(dòng),故D錯(cuò)誤。[變式]在[例5]中,若飛盤以初速度v1水平向右拋出,同時(shí)反應(yīng)靈敏的小狗Q在N點(diǎn)以速度v2豎直向上跳起。在小狗上升到最高點(diǎn)時(shí)恰與飛盤相遇,不計(jì)空氣阻力。則相遇點(diǎn)在N點(diǎn)上方多高處?【答案】H【解析】飛盤做平拋運(yùn)動(dòng),豎直方向有H1=12gt2小狗做豎直上拋運(yùn)動(dòng),則有v2=gt,H2=v2t-12gt2由題意得H=H1+H2,解得t=Hv2,H1=H2=所以相遇點(diǎn)在N點(diǎn)上方H2考點(diǎn)三平拋運(yùn)動(dòng)中的臨界問題1.常見的三種臨界特征(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過(guò)程中存在著臨界點(diǎn)。(2)若題目中有“取值范圍”“多長(zhǎng)時(shí)間”“多大距離”等詞語(yǔ),表明題述的過(guò)程中存在著“起止點(diǎn)”,而這些起止點(diǎn)往往就是臨界點(diǎn)。(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過(guò)程中存在著極值,這個(gè)極值點(diǎn)往往是臨界點(diǎn)。2.解題技巧:在題中找出有關(guān)臨界問題的關(guān)鍵字,如“恰好不出界”“剛好飛過(guò)壕溝”“速度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等,然后利用平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的位移規(guī)律或速度規(guī)律進(jìn)行解題。[例6]【平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問題】(2024·云南曲靖三模)中國(guó)的面食文化博大精深,種類繁多,其中“山西刀削面”堪稱天下一絕,傳統(tǒng)的操作手法是一手托面一手拿刀,直接將面削到開水鍋里。如圖所示,小面片剛被削離時(shí)距開水鍋的高度為L(zhǎng),與鍋沿的水平距離為L(zhǎng),鍋的半徑也為L(zhǎng),若將削出的小面片的運(yùn)動(dòng)視為平拋運(yùn)動(dòng),且小面片都落入鍋中,重力加速度為g,則下列關(guān)于小面片的描述正確的是()[A]空中相鄰兩個(gè)面片飛行過(guò)程中水平距離可能逐漸變大[B]掉落位置不相同的小面片,從拋出到落水前瞬間速度的變化量不同[C]落入鍋中時(shí),最大速度是最小速度的3倍[D]若初速度為v0,則gL2<v0<【答案】A【解析】面片飛行過(guò)程中水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),若先飛出的面片初速度較大,則空中相鄰兩個(gè)面片飛行過(guò)程中水平距離逐漸變大,故A正確;掉落位置不相同的小面片,下落高度相同,由h=12gt2可知,下落的時(shí)間相等,由Δv=gt可知,從拋出到落水前瞬間速度的變化量相等,故B錯(cuò)誤;由h=12gt2可知,下落時(shí)間為t=2Lg,水平位移的范圍為L(zhǎng)<x<3L,則初速度的取值范圍為L(zhǎng)t<v0<3Lt,可得gL2<v0<9gL2,落入鍋中時(shí)的豎直分速度為vy=2gL,則落入鍋中時(shí),最大速度vmax=2gL+9gL2=13gL2,最小速度為[例7]【平拋運(yùn)動(dòng)的極值問題】(2023·新課標(biāo)卷,24)將扁平的石子向水面快速拋出,石子可能會(huì)在水面上一跳一跳地飛向遠(yuǎn)方,俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產(chǎn)生“水漂”效果,石子接觸水面時(shí)的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”,一同學(xué)將一石子從距水面高度為h處水平拋出,拋出速度的最小值為多少?(不計(jì)石子在空中飛行時(shí)的空氣阻力,重力加速度大小為g)【答案】2【解析】石子做平拋運(yùn)動(dòng),豎直方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng),則有2gh=vy可得落到水面上時(shí)的豎直速度vy=2gh由題意可知vyv0≤tanv0≥2gh石子拋出速度的最小值為2gh[變式]在[例7]中,若該同學(xué)在某次“打水漂”時(shí),將一石子從距水面高度為h處以大小為v0的速度水平拋出,觀察到在水面跳了三次,第四次已不能從水面跳起。已知,石子每次與水面接觸后水平方向的速度方向不變,大小減為接觸前的一半、豎直方向的速度方向反向,大小減為接觸前的四分之三。則這次“打水漂”石子拋出速度大小的范圍是多少?【答案】92gh4tan【解析】由題意可知第三次落到水面時(shí)水平方向速度為v04916vy=92gh16,則916第四次落到水面時(shí)水平方向速度為v08,豎直方向速度為2764vy=272gh64,則解得石子拋出速度范圍為92gh4tanθ平拋運(yùn)動(dòng)臨界極值問題的分析方法(1)確定研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。(2)根據(jù)題意確定臨界狀態(tài)。(3)確定臨界軌跡,畫出軌跡示意圖。(4)應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,結(jié)合臨界條件列方程求解。(滿分:70分)對(duì)點(diǎn)1.分解法處理類平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)1.(6分)(2024·安徽合肥階段練習(xí))(多選)如圖所示,A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以相同的水平速度v0拋出,A在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),落地點(diǎn)為P1。B沿光滑斜面運(yùn)動(dòng),落地點(diǎn)為P2。不計(jì)阻力,則從拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)()[A]A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng) [B]B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)[C]P1在x軸上較遠(yuǎn) [D]P2在x軸上較遠(yuǎn)【答案】BD【解析】A做平拋運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tA=2hg,B做類平拋運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tB=2hgsin2θ,可知B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng),選項(xiàng)A錯(cuò)誤,B正確;A水平位移xA=v02hg,B水平位移xB=v02hgsi2.(4分)(2024·河南鄭州期末)如圖所示,傾角為37°的斜面固定在水平面上,小球從斜面上M點(diǎn)的正上方0.2m處由靜止下落,在M點(diǎn)與斜面碰撞,反彈后落到斜面上的N點(diǎn)。已知小球在碰撞前、后瞬間,速度沿斜面方向的分量不變,垂直于斜面方向的分量大小不變,方向相反,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度大小g取10m/s2,忽略空氣阻力,則小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至N點(diǎn)所用的時(shí)間為()[A]0.1s [B]0.2s[C]0.3s [D]0.4s【答案】D【解析】由自由落體運(yùn)動(dòng)公式v2=2gh,小球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的速度大小為v=2m/s,將v沿斜面和垂直于斜面方向進(jìn)行分解,如圖所示,vy′=vy=vcos37°=1.6m/s,vx=vsin37°=1.2m/s,將重力加速度分解為ay=gcos37°=8m/s2,ax=gsin37°=6m/s2,從M點(diǎn)落到斜面上的N點(diǎn),由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式y(tǒng)=vy′t-12ayt2=0,代入數(shù)據(jù)解得t=0.4s對(duì)點(diǎn)2.拋體中的多物體問題3.(4分)(2023·湖南卷,2)如圖甲,我國(guó)某些農(nóng)村地區(qū)人們用手拋撒谷粒進(jìn)行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示,其軌跡在同一豎直平面內(nèi),拋出點(diǎn)均為O,且軌跡交于P點(diǎn),拋出時(shí)谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空氣阻力,關(guān)于兩谷粒在空中的運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法正確的是()[A]谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度[B]谷粒2在最高點(diǎn)的速度小于v1[C]兩谷粒從O到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等[D]兩谷粒從O到P的平均速度相等【答案】B【解析】忽略空氣阻力,拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用,加速度均為重力加速度,故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度,A錯(cuò)誤;谷粒2做斜向上拋運(yùn)動(dòng),谷粒1做平拋運(yùn)動(dòng),均從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn),故位移相同,在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運(yùn)動(dòng),谷粒1做自由落體運(yùn)動(dòng),豎直方向上位移相同,故谷粒2運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng),C錯(cuò)誤;谷粒2做斜拋運(yùn)動(dòng),水平方向上為勻速直線運(yùn)動(dòng),故運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度即為水平方向上的分速度,與谷粒1比較水平位移相同,但運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng),故谷粒2水平方向上的速度較小即最高點(diǎn)的速度小于v1,B正確;兩谷粒從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的位移相同,運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D錯(cuò)誤。4.(6分)(2024·山西大同階段練習(xí))(多選)某景區(qū)的藝術(shù)噴泉,兩次噴出水的軌跡A、B如圖所示,它們最大高度相同,通過(guò)軌跡最高點(diǎn)速度之比為1∶2,不計(jì)空氣阻力,對(duì)軌跡A、B說(shuō)法正確的是()[A]水滴初速度大小相等[B]水滴初速度大小之比為1∶2[C]水滴在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同[D]軌跡A的落地點(diǎn)M恰好在軌跡B最高點(diǎn)的正下方【答案】CD【解析】水滴在空中做斜上拋運(yùn)動(dòng),其后半部分做平拋運(yùn)動(dòng),根據(jù)h=12gt2,最大高度相同,豎直位移相同,水滴后半部分的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同,根據(jù)對(duì)稱性可知,全程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同,C正確;水平方向全程做勻速直線運(yùn)動(dòng),因此水平方向初速度之比為1∶2,又根據(jù)水滴前半部分的運(yùn)動(dòng)為反向平拋運(yùn)動(dòng),豎直方向初速度vy=2gh,大小相等,因此合初速度大小不相等,合初速度大小之比不等于1∶2,故A、B錯(cuò)誤;由以上分析知,B的水平射程是A的2倍,所以軌跡A的落地點(diǎn)M恰好在軌跡B最高點(diǎn)的正下方,故對(duì)點(diǎn)3.平拋運(yùn)動(dòng)中的臨界問題5.(4分)(2024·甘肅甘州一模)如圖甲為一個(gè)網(wǎng)球場(chǎng)的示意圖,一個(gè)網(wǎng)球發(fā)球機(jī)固定在底角處,可以將網(wǎng)球沿平行于地面的各個(gè)方向發(fā)出,發(fā)球點(diǎn)距地面高為1.8m,球網(wǎng)高1m。圖乙為對(duì)應(yīng)的俯視圖,其中L1=12m,L2=9m。按照規(guī)則,網(wǎng)球發(fā)出后不觸網(wǎng)且落在對(duì)面陰影區(qū)域(包含虛線)內(nèi)為有效發(fā)球。圖中虛線為球場(chǎng)的等分線,則發(fā)球機(jī)有效發(fā)球時(shí)發(fā)出網(wǎng)球的最小速率為(忽略一切阻力,g取10m/s2)()[A]1552m/s [B[C]754m/s [D]202【答案】A【解析】根據(jù)題意,可知網(wǎng)球剛過(guò)球網(wǎng)落在C點(diǎn)時(shí),網(wǎng)球有最小發(fā)射速度,軌跡如圖,有AB=v0tAB,BC=v0tBC,又hA-hB=12gtAB2,hBC=12gtBC2,得AB∶BC=2∶1,根據(jù)相似可知DE∶EC=2∶1,得EC=12DE=3m,故v0=ACtBC=6.(4分)(2025·山東開學(xué)考試)如圖所示,一物體在風(fēng)機(jī)口水平拋出,運(yùn)動(dòng)時(shí)只受重力G和豎直向上的恒定升力F,且F=23G。如果物體從M點(diǎn)以水平初速度v0開始運(yùn)動(dòng),最后落在網(wǎng)罩N點(diǎn),MN間的豎直高度為h,M與右壁水平間距為L(zhǎng),重力加速度為g,則下列說(shuō)法正確的是([A]從M運(yùn)動(dòng)到N的時(shí)間為4[B]M與N之間的水平距離v02[C]若增大初速度v0,物體將撞擊右壁,且初速度越大,物體撞擊壁速度越大[D]若h足夠大,當(dāng)初速度v0=gL3時(shí),【答案】D【解析】根據(jù)牛頓第二定律G-F=ma,解得a=g3,該物體做類平