中學(xué)數(shù)學(xué)開放題：類型、特點、教學(xué)實踐與創(chuàng)新一、引言1.1研究背景數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，在中學(xué)教育體系中占據(jù)著舉足輕重的地位。它不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)其他自然科學(xué)和社會科學(xué)的重要工具，更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、創(chuàng)新能力和問題解決能力的關(guān)鍵途徑。中學(xué)階段是學(xué)生思維發(fā)展的重要時期，數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量直接影響著學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和發(fā)展。隨著時代的發(fā)展和教育改革的不斷推進，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育模式逐漸暴露出一些問題。傳統(tǒng)教學(xué)往往側(cè)重于知識的傳授和技能的訓(xùn)練，以計算技能和解決常規(guī)問題為重點，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺乏主動參與和思考的機會，難以培養(yǎng)出高層次的數(shù)學(xué)思考能力、創(chuàng)新精神和解決實際問題的能力。這種教育模式已經(jīng)不能滿足時代發(fā)展的需要，數(shù)學(xué)教育的目標迫切需要做出調(diào)整，以適應(yīng)社會對創(chuàng)新型人才的需求。在這樣的背景下，數(shù)學(xué)開放題應(yīng)運而生，并逐漸成為數(shù)學(xué)教育改革的一個重要方向。數(shù)學(xué)開放題具有答案不唯一、設(shè)問方式靈活、解題策略多樣等特點，要求學(xué)生從多方面、多角度、多層次進行探索。它為學(xué)生提供了更廣闊的思維空間，鼓勵學(xué)生打破原有的思維模式，展開聯(lián)想和想象，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。同時，開放題的教學(xué)過程強調(diào)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生在自主探究和合作交流中主動建構(gòu)知識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性。例如，在解決一道關(guān)于幾何圖形面積計算的開放題時，學(xué)生可能會運用不同的數(shù)學(xué)方法和思路，如割補法、等積變換法等，從不同角度去思考和解決問題，這不僅加深了學(xué)生對知識的理解和掌握，還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力。數(shù)學(xué)開放題的出現(xiàn)，為數(shù)學(xué)教育注入了新的活力，為實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育目標的轉(zhuǎn)變提供了有力的支持，在數(shù)學(xué)教育改革中具有重要的地位和作用。1.2研究目的與意義本研究旨在深入探討中學(xué)數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)，通過對開放題的特點、分類、設(shè)計原則以及教學(xué)策略等方面的研究，為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供理論支持和實踐指導(dǎo)。具體來說，研究目的包括以下幾個方面：一是深入剖析數(shù)學(xué)開放題的內(nèi)涵與特點，全面梳理其類型和教育價值，為教師理解和運用開放題提供清晰的理論框架。通過分析開放題在培養(yǎng)學(xué)生思維能力、創(chuàng)新精神和實踐能力等方面的獨特作用，使教師認識到開放題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，從而為開放題教學(xué)的有效實施奠定基礎(chǔ)。二是探索中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計方法和原則，為教師提供具有可操作性的設(shè)計指導(dǎo)。結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)課程標準和學(xué)生的認知水平，研究如何設(shè)計出既符合教學(xué)目標又能激發(fā)學(xué)生興趣的開放題，使開放題能夠更好地融入日常教學(xué)，促進教學(xué)質(zhì)量的提升。三是研究中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)策略和方法，提高教師的教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。通過對教學(xué)過程的觀察和分析，總結(jié)出適合開放題教學(xué)的教學(xué)模式和方法，如小組合作學(xué)習(xí)、探究式學(xué)習(xí)等，引導(dǎo)教師在教學(xué)中充分發(fā)揮開放題的優(yōu)勢，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和自主學(xué)習(xí)能力。本研究具有重要的理論和實踐意義。在理論方面，豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)理論的研究內(nèi)容，為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域關(guān)于開放題的研究提供新的視角和思路。進一步完善了數(shù)學(xué)開放題的理論體系，深入探討了開放題的教育價值、設(shè)計原則和教學(xué)策略等方面，有助于推動數(shù)學(xué)教育理論的發(fā)展。在實踐方面，為中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供了切實可行的指導(dǎo)。幫助教師更好地理解和運用數(shù)學(xué)開放題，提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力。通過本研究，教師能夠掌握開放題的設(shè)計方法和教學(xué)策略，將開放題有效地融入到課堂教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。同時，本研究也有助于促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升，為學(xué)生的未來發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不僅掌握知識和技能，還能培養(yǎng)思維品質(zhì)和綜合素質(zhì)，更好地適應(yīng)未來社會的發(fā)展需求。1.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.3.1國外研究現(xiàn)狀國外對數(shù)學(xué)開放題的研究起步較早。20世紀60年代，美國的數(shù)學(xué)教育界就開始關(guān)注開放性問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，認為開放題能激發(fā)學(xué)生的探索欲望，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。例如，美國的一些數(shù)學(xué)教育研究者提出“問題解決”教學(xué)模式，強調(diào)通過開放性問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究和合作學(xué)習(xí)，這一理念對美國乃至全球的數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深遠影響。日本在數(shù)學(xué)開放題研究方面也取得了顯著成果。1971年，以島田茂為首的一個日本數(shù)學(xué)教育學(xué)者小組率先開展了“開放式結(jié)尾問題”的研究，并在1977年出版的《算術(shù)、數(shù)學(xué)課的開放式問題——改善數(shù)學(xué)教育的新方案》中，系統(tǒng)闡述了開放題的設(shè)計與教學(xué)方法。他們強調(diào)開放題應(yīng)具有多種解題策略和答案，能讓不同層次的學(xué)生都能參與到解題過程中，發(fā)揮自己的能力水平。日本的數(shù)學(xué)開放題教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決實際問題的能力，在實際教學(xué)中取得了良好的效果。在英國，數(shù)學(xué)教育強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維，開放題被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中。英國的數(shù)學(xué)教材中設(shè)置了大量具有開放性和探究性的問題，鼓勵學(xué)生從不同角度思考問題，運用所學(xué)知識解決實際問題。例如，在解決一些與生活實際相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生需要自己收集數(shù)據(jù)、分析問題、提出解決方案，這不僅提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。1.3.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀我國對數(shù)學(xué)開放題的研究始于20世紀80年代末90年代初，隨著素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育的推進，數(shù)學(xué)開放題逐漸受到數(shù)學(xué)教育界的重視。1998年，教育部在《中考改革指導(dǎo)意見》中明確指出，理科在試卷中適當增加開放性試題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，初步體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求。此后，數(shù)學(xué)開放題在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和考試中得到了廣泛的應(yīng)用。國內(nèi)學(xué)者對數(shù)學(xué)開放題的理論研究不斷深入。在開放題的定義方面，大多數(shù)學(xué)者認為數(shù)學(xué)開放題是指那些答案不唯一，并在設(shè)問方式上要求學(xué)生進行多方面、多角度、多層次探索的問題。在開放題的分類上，常見的有條件開放型、結(jié)論開放型、策略開放型和綜合開放型等。例如，條件開放型題目的特點是結(jié)論不變，條件不一，要求學(xué)生根據(jù)結(jié)論聯(lián)想分析，選擇符合要求的條件；結(jié)論開放型題目則是條件唯一確定，但結(jié)論存在多種可能性。在教學(xué)實踐方面，許多教師積極探索數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)方法和策略。一些教師通過改變傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方式，創(chuàng)設(shè)具體情景，讓學(xué)生主動參與探索，如在教學(xué)中組織一些活動、游戲，通過游戲、活動做數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在積極的情感體驗中擁有自信。還有教師通過小組合作學(xué)習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生共同探討開放題的解法，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和交流能力。同時，一些研究還關(guān)注了開放題教學(xué)對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的影響，發(fā)現(xiàn)開放題教學(xué)能夠有效拓展學(xué)生的思維空間，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。1.3.3研究現(xiàn)狀評述國內(nèi)外關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的研究取得了豐碩的成果，為數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)實踐提供了理論支持和實踐指導(dǎo)。國外的研究起步早，在開放題的設(shè)計理念、教學(xué)模式等方面有許多值得借鑒的經(jīng)驗；國內(nèi)的研究則緊密結(jié)合我國的教育實際，在開放題的分類、教學(xué)策略等方面進行了深入的探討，并在教學(xué)實踐中取得了一定的成效。然而，現(xiàn)有研究也存在一些不足之處。一方面，雖然對開放題的教育價值達成了共識，但在如何將開放題的教育價值轉(zhuǎn)化為實際教學(xué)效果方面，還缺乏深入的研究和有效的實踐策略。例如，在實際教學(xué)中，如何設(shè)計出既符合教學(xué)目標又能激發(fā)學(xué)生興趣的開放題，如何引導(dǎo)學(xué)生有效地進行開放題的探究，還需要進一步的探索和研究。另一方面，對開放題教學(xué)的評價研究相對較少，缺乏科學(xué)、全面的評價體系來衡量開放題教學(xué)的效果，這也在一定程度上影響了開放題教學(xué)的推廣和應(yīng)用。此外，不同地區(qū)、不同學(xué)校在開放題教學(xué)的實施情況上存在較大差異，如何縮小這種差距，提高整體的教學(xué)質(zhì)量，也是需要進一步研究的問題。1.4研究方法與創(chuàng)新點1.4.1研究方法本研究綜合運用了多種研究方法，以確保研究的全面性和深入性。文獻研究法：廣泛查閱國內(nèi)外關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)的相關(guān)文獻資料，包括學(xué)術(shù)期刊、學(xué)位論文、教學(xué)研究報告等。通過對這些文獻的梳理和分析，了解已有研究的現(xiàn)狀和成果，把握研究的前沿動態(tài)，為本研究提供理論基礎(chǔ)和研究思路。在闡述國內(nèi)外研究現(xiàn)狀時，就充分運用了文獻研究法，對國外如美國、日本、英國，國內(nèi)從20世紀80年代末90年代初開始的相關(guān)研究進行了系統(tǒng)的梳理和總結(jié)，明確了已有研究的優(yōu)點和不足，為后續(xù)研究的開展指明了方向。案例分析法：選取大量具有代表性的中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)案例，對這些案例進行深入剖析。分析開放題的設(shè)計特點、教學(xué)過程的組織與實施、學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)和學(xué)習(xí)效果等方面。通過案例分析，總結(jié)出成功的教學(xué)經(jīng)驗和存在的問題，為開放題教學(xué)策略的制定提供實踐依據(jù)。例如，在探討開放題的教學(xué)策略時，會結(jié)合具體的案例，分析教師如何引導(dǎo)學(xué)生進行合作學(xué)習(xí)、探究式學(xué)習(xí)，以及這些教學(xué)方法對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的作用。調(diào)查研究法：設(shè)計調(diào)查問卷和訪談提綱，對中學(xué)數(shù)學(xué)教師和學(xué)生進行調(diào)查。了解教師對數(shù)學(xué)開放題的認識、教學(xué)實踐情況以及遇到的問題和困惑；了解學(xué)生對開放題的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)體驗和學(xué)習(xí)收獲。通過調(diào)查研究，獲取第一手資料，從教師和學(xué)生的角度全面了解中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的實際情況，為研究提供真實可靠的數(shù)據(jù)支持。行動研究法：將研究成果應(yīng)用于實際教學(xué)中，通過教學(xué)實踐不斷檢驗和完善研究結(jié)論。在教學(xué)實踐中，觀察學(xué)生的反應(yīng)和表現(xiàn)，收集相關(guān)數(shù)據(jù)，對教學(xué)效果進行評估和分析。根據(jù)實踐中發(fā)現(xiàn)的問題，及時調(diào)整研究方案和教學(xué)策略，不斷優(yōu)化開放題教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量。例如，在某中學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上開展開放題教學(xué)實踐，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和反饋，對開放題的設(shè)計和教學(xué)方法進行調(diào)整和改進，從而更好地實現(xiàn)研究目標。1.4.2創(chuàng)新點本研究在以下幾個方面具有一定的創(chuàng)新之處：案例選取的獨特性：在案例分析中，不僅選取了常規(guī)教學(xué)中的開放題案例，還特別關(guān)注了一些具有創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性的案例，如結(jié)合數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實驗等活動設(shè)計的開放題。這些案例能夠更好地體現(xiàn)開放題的教育價值，展示開放題在培養(yǎng)學(xué)生綜合能力方面的獨特作用，為教師提供更豐富、更具啟發(fā)性的教學(xué)參考。教學(xué)策略的綜合性：提出了一套綜合性的中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略，將多種教學(xué)方法有機結(jié)合起來。在教學(xué)過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，同時結(jié)合情境教學(xué)、問題驅(qū)動教學(xué)等方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。這種綜合性的教學(xué)策略能夠更好地滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提高開放題教學(xué)的效果。評價體系的創(chuàng)新性：構(gòu)建了一套基于開放題教學(xué)的學(xué)生學(xué)習(xí)評價體系，不僅關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。評價指標包括學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力、合作能力、問題解決能力等多個方面，采用多元化的評價方式，如學(xué)生自評、互評、教師評價、表現(xiàn)性評價等，全面、客觀地評價學(xué)生在開放題學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)，為開放題教學(xué)的評價提供了新的思路和方法。二、中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的概念與類型2.1開放題的定義與內(nèi)涵中學(xué)數(shù)學(xué)開放題是相對于傳統(tǒng)的封閉題而言的一種新題型。對于開放題的定義，學(xué)界尚未形成完全統(tǒng)一的觀點，但綜合多種論述，中學(xué)數(shù)學(xué)開放題可定義為：條件不完備、結(jié)論不確定、解題策略多樣，要求學(xué)生從多方面、多角度、多層次進行探索的數(shù)學(xué)問題。從條件方面來看，開放題的條件可能不足，需要學(xué)生自行補充相關(guān)條件才能進行求解；也可能條件多余，學(xué)生需要對條件進行篩選和判斷，選取有用的條件來解決問題。例如，在一個幾何問題中，只給出了部分圖形的邊長和角度信息，要確定圖形的面積，學(xué)生就需要思考還需要哪些條件，如其他邊的長度、角度關(guān)系等，然后自行補充條件進行求解。在結(jié)論方面，開放題的結(jié)論不唯一，可能存在多種可能性，甚至有無窮多個答案。這就要求學(xué)生不能局限于常規(guī)的思維方式，要打破思維定式，運用發(fā)散思維去探索不同的結(jié)論。以“已知一個三角形的兩條邊長分別為3和5，求第三條邊的長度范圍”為例，學(xué)生根據(jù)三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，可以得出第三條邊的長度范圍是大于2且小于8，在這個范圍內(nèi)有無數(shù)個值，答案不唯一。解題策略的多樣性也是開放題的重要特征之一。由于開放題沒有固定的解題模式，學(xué)生需要根據(jù)問題的特點，靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法，從不同的角度去思考和探索，嘗試不同的解題策略。比如，在解決一個關(guān)于函數(shù)的開放題時，學(xué)生可以通過代數(shù)方法進行計算，也可以利用函數(shù)圖像的性質(zhì)進行分析，還可以通過建立數(shù)學(xué)模型來求解，不同的解題策略可能會得到不同的解題思路和答案。中學(xué)數(shù)學(xué)開放題具有豐富的內(nèi)涵和重要的教育價值。在內(nèi)涵方面，它強調(diào)學(xué)生的主體地位，注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生在解決開放題的過程中，不再是被動地接受知識，而是主動地參與到問題的探索中，通過自己的思考、分析和實踐，去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力。開放題還能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識。開放題的新穎性和挑戰(zhàn)性能夠吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)他們的好奇心和求知欲，使他們更積極地投入到學(xué)習(xí)中。而且由于答案的多樣性和解題策略的靈活性，學(xué)生可以充分發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力，嘗試用不同的方法去解決問題，從而培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。從教育價值角度來看，開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生的高層次思維能力，如批判性思維、創(chuàng)造性思維和邏輯思維能力等。在解決開放題時，學(xué)生需要對問題進行深入分析，判斷各種條件和結(jié)論的合理性，這有助于培養(yǎng)批判性思維；學(xué)生通過多角度思考和探索不同的解題策略，能夠鍛煉創(chuàng)造性思維；而在推理和論證的過程中，又能提高邏輯思維能力。開放題還能培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和實踐能力。在解決一些復(fù)雜的開放題時，學(xué)生往往需要與同學(xué)合作交流，共同探討解題思路和方法，這有助于提高他們的合作交流能力。并且許多開放題都與實際生活密切相關(guān)，學(xué)生在解決這些問題的過程中，能夠?qū)?shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際生活中，提高實踐能力和解決實際問題的能力。例如，在一個關(guān)于商場促銷活動的開放題中，學(xué)生需要運用數(shù)學(xué)知識分析不同促銷方案的優(yōu)惠程度，選擇最適合消費者的方案，這不僅讓學(xué)生學(xué)會了如何運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，還提高了他們的實踐能力。2.2開放題的類型劃分2.2.1條件開放型條件開放型問題的特點是給定結(jié)論，讓學(xué)生根據(jù)結(jié)論去補充條件，使結(jié)論成立。其條件往往不唯一，學(xué)生需要從多個角度思考，運用所學(xué)知識，分析出滿足結(jié)論的各種可能條件。例如，在平面幾何中，給出結(jié)論“四邊形ABCD是平行四邊形”，讓學(xué)生補充條件。學(xué)生可以從平行四邊形的判定定理出發(fā)，想到多種補充條件的方式。比如補充“AB平行且等于CD”，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這一定理，可使結(jié)論成立；也可以補充“AD平行且等于BC”，同樣能得出四邊形ABCD是平行四邊形；還可以補充“AB平行于CD，AD平行于BC”，依據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”來使結(jié)論成立。再比如，在函數(shù)問題中，已知函數(shù)y=ax^2+bx+c（a\neq0）的圖像經(jīng)過點(1,2)，要求學(xué)生補充一個條件，使得能確定這個二次函數(shù)的表達式。學(xué)生可以補充頂點坐標，如補充“頂點坐標為(-1,-2)”，根據(jù)二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k（h，k為頂點坐標），將頂點坐標(-1,-2)代入可得y=a(x+1)^2-2，再把點(1,2)代入y=a(x+1)^2-2，即2=a(1+1)^2-2，可求出a=1，進而確定函數(shù)表達式為y=(x+1)^2-2=x^2+2x-1；也可以補充函數(shù)與x軸的一個交點坐標，如補充“與x軸的一個交點為(3,0)”，將點(1,2)和(3,0)代入y=ax^2+bx+c，得到方程組\begin{cases}a+b+c=2\\9a+3b+c=0\end{cases}，再結(jié)合a\neq0，可解出a、b、c的值，從而確定函數(shù)表達式。在解決條件開放型問題時，學(xué)生首先要明確結(jié)論成立所依據(jù)的知識點和定理，然后從這些知識出發(fā)，去聯(lián)想和分析各種可能的條件。這要求學(xué)生對基礎(chǔ)知識有扎實的掌握，并且能夠靈活運用知識進行逆向思維，通過不斷嘗試和推理，找出滿足結(jié)論的條件。同時，學(xué)生在補充條件時，要注意條件的合理性和有效性，確保補充的條件能夠使結(jié)論成立。這種類型的開放題能夠培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和知識運用能力，讓學(xué)生學(xué)會從不同角度思考問題，拓寬思維視野。2.2.2結(jié)論開放型結(jié)論開放型問題是在給定條件下，結(jié)論不唯一，學(xué)生需要通過對已知條件的分析、推理和探索，得出多種不同的結(jié)論。例如，在一個三角形中，已知AB=AC，\angleA=40^{\circ}，讓學(xué)生求其他角的度數(shù)。學(xué)生可以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，因為AB=AC，所以\angleB=\angleC，又因為三角形內(nèi)角和為180^{\circ}，所以\angleB=\angleC=(180^{\circ}-40^{\circ})\div2=70^{\circ}；但如果從不同角度思考，還可以得出其他結(jié)論，如\angleB與\angleC的外角分別為110^{\circ}。再如，已知一次函數(shù)y=kx+b（k\neq0）的圖像經(jīng)過點(1,3)，學(xué)生可以得出不同的結(jié)論。當k=1時，將點(1,3)代入y=x+b，可得3=1+b，解得b=2，此時函數(shù)表達式為y=x+2；當k=2時，代入y=2x+b，可得3=2\times1+b，解得b=1，函數(shù)表達式為y=2x+1。所以，關(guān)于這個一次函數(shù)可以得出多種結(jié)論，如不同的函數(shù)表達式，以及函數(shù)的增減性等結(jié)論，當k>0時，函數(shù)y隨x的增大而增大。解決結(jié)論開放型問題，學(xué)生需要全面分析已知條件，充分挖掘條件中蘊含的信息。運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法，從不同的角度進行思考和推理?？梢酝ㄟ^類比、歸納、猜想等方式，探索可能存在的不同結(jié)論。同時，要對得出的結(jié)論進行驗證，確保結(jié)論的正確性。這種類型的開放題能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新意識，讓學(xué)生學(xué)會突破常規(guī)思維，發(fā)現(xiàn)問題的多種可能性，提高學(xué)生的綜合分析能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。2.2.3策略開放型策略開放型問題的特點是解題策略多樣，學(xué)生可以根據(jù)自己的知識儲備和思維方式，選擇不同的方法來解決問題。這類問題沒有固定的解題模式，旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性。例如，在計算25\times32時，學(xué)生可以采用不同的解題策略。一種策略是將32拆分成4\times8，然后利用乘法結(jié)合律進行計算，即25\times32=25\times(4\times8)=(25\times4)\times8=100\times8=800；另一種策略是將25拆分成5\times5，32拆分成4\times8，則25\times32=(5\times5)\times(4\times8)=(5\times4)\times(5\times8)=20\times40=800；還可以利用乘法分配律，把32寫成30+2，則25\times32=25\times(30+2)=25\times30+25\times2=750+50=800。又如，在證明三角形全等的問題中，已知在\triangleABC和\triangleDEF中，AB=DE，\angleB=\angleE，BC=EF，要證明\triangleABC\cong\triangleDEF。學(xué)生可以選擇“邊角邊”（SAS）定理直接證明；也可以先作輔助線，如過點A作AG\perpBC于點G，過點D作DH\perpEF于點H，通過證明\triangleABG\cong\triangleDEH，得到AG=DH，BG=EH，再證明\triangleAGC\cong\triangleDHF，最后利用“角邊角”（ASA）定理證明\triangleABC\cong\triangleDEF。面對策略開放型問題，學(xué)生首先要對問題進行深入分析，理解問題的本質(zhì)和要求。然后回顧所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法，思考哪些方法可以應(yīng)用到該問題的解決中。在選擇解題策略時，要考慮策略的可行性和簡便性。通過嘗試不同的策略，學(xué)生可以比較各種方法的優(yōu)缺點，從而優(yōu)化解題思路。這種類型的開放題能夠讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)解題方法的多樣性，提高學(xué)生靈活運用知識解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力。2.2.4綜合開放型綜合開放型問題在條件、結(jié)論和解題策略上都具有開放性，是一種較為復(fù)雜的開放題類型。這類問題往往需要學(xué)生綜合運用多種知識和技能，從多個角度進行思考和探索。例如，在一個實際生活情境中，某商場舉行促銷活動，已知商品的原價為x元，現(xiàn)推出兩種促銷方案：方案一，打八折銷售；方案二，滿100元減20元。請你根據(jù)不同的商品價格，分析哪種促銷方案更優(yōu)惠。在這個問題中，條件具有開放性，商品價格x是不確定的，學(xué)生需要考慮不同價格區(qū)間的情況。結(jié)論也不唯一，對于不同的x值，可能方案一更優(yōu)惠，也可能方案二更優(yōu)惠，或者兩種方案優(yōu)惠程度相同。解題策略同樣多樣，學(xué)生可以通過列代數(shù)式進行計算比較，設(shè)方案一的售價為y_1=0.8x，方案二的售價為y_2，當x<100時，y_2=x；當x\geq100時，y_2=x-20\times\lfloor\frac{x}{100}\rfloor（\lfloor\frac{x}{100}\rfloor表示x除以100的整數(shù)部分），然后分情況討論y_1與y_2的大小關(guān)系；也可以通過列舉具體的價格數(shù)值來進行分析比較。再如，在一個幾何與函數(shù)結(jié)合的問題中，已知拋物線y=ax^2+bx+c（a\neq0）與x軸交于A(x_1,0)，B(x_2,0)兩點（x_1<x_2），與y軸交于點C(0,-3)，且x_1+x_2=2，x_1x_2=-3。請你設(shè)計一個與該拋物線相關(guān)的問題，并解答。這個問題中，學(xué)生可以自行設(shè)計問題，如求拋物線的表達式、求\triangleABC的面積、探究在拋物線上是否存在一點P，使得\triangleABP的面積是\triangleABC面積的2倍等。不同的問題設(shè)計對應(yīng)不同的解題策略和結(jié)論，需要學(xué)生綜合運用二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積公式等知識進行求解。解決綜合開放型問題，學(xué)生需要具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和較強的綜合運用能力。首先要對問題所涉及的各個知識點有清晰的認識，然后將這些知識有機地結(jié)合起來。在分析問題時，要全面考慮各種可能的情況，運用多種思維方法，如邏輯思維、發(fā)散思維、創(chuàng)新思維等。通過不斷嘗試和探索，找到解決問題的最佳途徑。這種類型的開放題能夠全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力，對學(xué)生的思維發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)具有重要的作用。三、中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的特點分析3.1不確定性與探究性中學(xué)數(shù)學(xué)開放題最顯著的特點之一就是不確定性，這主要體現(xiàn)在條件、結(jié)論和解題方法三個方面。在條件上，開放題的條件可能是不完整的，需要學(xué)生自己去補充相關(guān)條件才能進行解題。例如，在一個關(guān)于三角形面積計算的問題中，只給出了三角形的一條邊長，要計算其面積，學(xué)生就需要思考還需要哪些條件，如這條邊上的高或者其他邊與角的信息等，然后自行尋找或假設(shè)這些條件。這種條件的不確定性，打破了學(xué)生對題目條件完整、明確的常規(guī)認知，促使學(xué)生主動思考，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和對知識的綜合運用能力。開放題的結(jié)論也具有不確定性，往往不是唯一的。以“已知一個數(shù)的平方等于16，求這個數(shù)”為例，按照常規(guī)思維，學(xué)生很容易想到這個數(shù)是4，但實際上，因為(-4)^2=16，所以這個數(shù)也可以是-4，答案不唯一。這種結(jié)論的不確定性，要求學(xué)生突破思維定式，從多個角度去思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。解題方法的不確定性同樣是開放題的重要特征。由于開放題沒有固定的解題模式，學(xué)生可以根據(jù)自己的知識儲備和思維方式，選擇不同的解題方法。比如在解決幾何證明題時，學(xué)生既可以運用傳統(tǒng)的幾何定理進行推理證明，也可以通過建立坐標系，利用代數(shù)方法來解決問題；在解決函數(shù)問題時，學(xué)生可以通過分析函數(shù)的性質(zhì)、圖像，或者運用函數(shù)的相關(guān)公式、定理等不同方法來求解。這種不確定性，使得開放題具有強烈的探究性。當學(xué)生面對一個條件不完整、結(jié)論不確定、解題方法多樣的開放題時，常規(guī)的解題思路和方法往往難以直接應(yīng)用，這就激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，促使他們主動去探究問題。學(xué)生需要通過觀察、分析、猜想、驗證等一系列探究活動，嘗試不同的思路和方法，去尋找解決問題的途徑。在探究過程中，學(xué)生不再是被動地接受知識，而是積極主動地參與到學(xué)習(xí)中，成為學(xué)習(xí)的主體。他們需要自己去思考問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出假設(shè)，并通過實踐去驗證假設(shè)，從而培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力。例如，在探究一個關(guān)于數(shù)列規(guī)律的開放題時，學(xué)生需要仔細觀察數(shù)列中數(shù)字的變化，嘗試找出其中的規(guī)律，提出自己的猜想，然后通過計算、推理等方法來驗證猜想是否正確。在這個過程中，學(xué)生不斷地嘗試、探索，思維得到了充分的鍛煉，探究能力也得到了提高。開放題的探究性還體現(xiàn)在它能夠促進學(xué)生之間的合作與交流。由于開放題的解題思路和方法多樣，學(xué)生在探究過程中往往會遇到不同的問題和困難，這就需要他們與同學(xué)進行合作交流，共同探討解題方法。通過合作交流，學(xué)生可以分享彼此的想法和經(jīng)驗，拓寬自己的思維視野，從不同的角度去思考問題，從而更好地解決問題。同時，合作交流也培養(yǎng)了學(xué)生的團隊合作精神和溝通能力，使學(xué)生學(xué)會傾聽他人的意見，尊重他人的觀點，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。3.2發(fā)散性與創(chuàng)新性中學(xué)數(shù)學(xué)開放題具有獨特的發(fā)散性特點，這一特點體現(xiàn)在多個方面。在解決開放題時，學(xué)生的思維不受固定模式的束縛，能夠從不同的角度、運用不同的方法去思考問題。例如，在解決一道幾何證明題時，學(xué)生可以通過傳統(tǒng)的幾何定理推導(dǎo)來證明結(jié)論，也可以通過建立坐標系，利用代數(shù)方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解。這種思維的發(fā)散性使得學(xué)生能夠突破常規(guī)，發(fā)現(xiàn)新的解題思路和方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。在教學(xué)實踐中，有許多案例可以體現(xiàn)開放題對學(xué)生發(fā)散性和創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)。例如，在學(xué)習(xí)三角形全等的判定定理后，給出這樣一道開放題：“已知在\triangleABC和\triangleDEF中，AB=DE，\angleA=\angleD，請?zhí)砑右粋€條件，使得\triangleABC\cong\triangleDEF。”這道題的答案不唯一，學(xué)生可以從不同的判定定理出發(fā)，添加不同的條件。有的學(xué)生根據(jù)“邊角邊”（SAS）定理，添加AC=DF；有的學(xué)生根據(jù)“角邊角”（ASA）定理，添加\angleB=\angleE；還有的學(xué)生根據(jù)“角角邊”（AAS）定理，添加\angleC=\angleF。在這個過程中，學(xué)生的思維得到了充分的發(fā)散，他們不再局限于單一的解題思路，而是積極思考不同的可能性，從而培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力。再如，在學(xué)習(xí)函數(shù)時，給出這樣一道開放題：“已知一次函數(shù)y=kx+b（k\neq0）的圖像經(jīng)過點(1,3)，請你設(shè)計一個問題，并解答?！睂W(xué)生們提出了各種各樣的問題，有的學(xué)生求k和b的值，有的學(xué)生求當x=2時y的值，有的學(xué)生探究函數(shù)的增減性，還有的學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖像與坐標軸的交點設(shè)計問題。學(xué)生們從不同的角度對函數(shù)進行了探究，充分展示了他們的發(fā)散性思維和創(chuàng)新能力。在解決這些問題的過程中，學(xué)生不僅鞏固了函數(shù)的相關(guān)知識，還學(xué)會了如何運用函數(shù)知識解決實際問題，提高了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。又如，在幾何圖形的面積計算問題中，給出一個不規(guī)則圖形，讓學(xué)生計算其面積。學(xué)生們采用了多種方法，有的學(xué)生將不規(guī)則圖形分割成幾個規(guī)則圖形，然后分別計算它們的面積，再將這些面積相加；有的學(xué)生采用補全的方法，將不規(guī)則圖形補成一個規(guī)則圖形，然后用規(guī)則圖形的面積減去補上的部分的面積；還有的學(xué)生通過等積變換的方法，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為與之面積相等的規(guī)則圖形進行計算。這些不同的解法體現(xiàn)了學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性，學(xué)生們在解決問題的過程中，不斷嘗試新的方法和思路，提高了自己的創(chuàng)新能力。通過這些案例可以看出，中學(xué)數(shù)學(xué)開放題能夠引導(dǎo)學(xué)生進行發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。在開放題的教學(xué)過程中，教師要鼓勵學(xué)生大膽思考、積極探索，尊重學(xué)生的不同想法和觀點，為學(xué)生提供一個寬松、自由的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生的發(fā)散性和創(chuàng)新性思維得到充分的發(fā)展。3.3層次性與發(fā)展性中學(xué)數(shù)學(xué)開放題具有顯著的層次性與發(fā)展性特點，這使得它在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有獨特的價值。層次性體現(xiàn)在開放題的難度和解題要求可以根據(jù)學(xué)生的認知水平和能力進行靈活設(shè)置，能滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。從難度層次來看，開放題可以設(shè)計為基礎(chǔ)、提高和拓展三個層次?；A(chǔ)層次的開放題，條件相對簡單，結(jié)論也較為容易得出，主要目的是讓學(xué)生初步接觸開放題，了解其特點和解題思路。例如，在學(xué)習(xí)三角形面積公式后，給出這樣一道開放題：“已知一個三角形的底是4厘米，高是3厘米，你能提出哪些與這個三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)問題？”學(xué)生可以提出求三角形面積、求與它等底等高的平行四邊形面積等簡單問題，通過解決這些問題，學(xué)生能夠鞏固三角形面積公式的應(yīng)用，初步培養(yǎng)問題提出能力和發(fā)散思維。提高層次的開放題，條件和結(jié)論的復(fù)雜程度有所增加，需要學(xué)生綜合運用所學(xué)知識進行分析和推理。比如，在學(xué)習(xí)了勾股定理后，給出題目：“在一個直角三角形中，已知兩條直角邊的長度分別為3和4，你能求出這個直角三角形的哪些信息？”學(xué)生不僅要運用勾股定理求出斜邊的長度，還可以進一步求出三角形的面積、斜邊上的高，以及各個角的三角函數(shù)值等信息。這類開放題能幫助學(xué)生加深對知識的理解，提高知識的綜合運用能力和邏輯思維能力。拓展層次的開放題則具有更高的難度和挑戰(zhàn)性，往往需要學(xué)生具備較強的創(chuàng)新思維和綜合素養(yǎng)。例如，在學(xué)習(xí)了函數(shù)知識后，給出一個實際生活中的問題：“某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，成本與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系為C=0.1x^2+2x+100（C表示成本，x表示產(chǎn)量），產(chǎn)品的售價為每件10元。為了使工廠獲得最大利潤，產(chǎn)量應(yīng)該控制在多少？請你設(shè)計一個方案，并說明理由。”解決這個問題，學(xué)生需要綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識，建立數(shù)學(xué)模型，通過分析和計算來確定最優(yōu)方案。這種類型的開放題能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力和創(chuàng)新思維。不同層次的開放題能滿足不同能力水平學(xué)生的需求。對于學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，基礎(chǔ)層次的開放題可以幫助他們樹立學(xué)習(xí)信心，逐步掌握數(shù)學(xué)知識和解題方法。通過解決這些相對簡單的開放題，他們能夠體驗到成功的喜悅，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性。而對于學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生，提高層次和拓展層次的開放題則為他們提供了更廣闊的發(fā)展空間，讓他們能夠充分發(fā)揮自己的潛力，挑戰(zhàn)更高難度的問題，進一步提升自己的數(shù)學(xué)能力和思維水平。發(fā)展性是指開放題能夠隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入和能力的提升，不斷拓展和深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和知識體系。在學(xué)生學(xué)習(xí)的不同階段，同一道開放題可以有不同的解法和思考角度。例如，在學(xué)習(xí)一元一次方程時，有這樣一道開放題：“某商店購進一批商品，每件進價為10元，售價為15元。如果要獲得利潤100元，需要賣出多少件商品？”學(xué)生可以通過列一元一次方程(15-10)x=100來求解，得出需要賣出20件商品。當學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)知識后，這道題可以從函數(shù)的角度進行思考，設(shè)賣出x件商品，利潤為y元，則y=(15-10)x=5x，這是一個一次函數(shù)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)，也能得出當y=100時，x=20。這種隨著知識的增長和能力的提升，對同一問題有不同的理解和解決方法，體現(xiàn)了開放題的發(fā)展性。開放題還能促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的持續(xù)提升。在解決開放題的過程中，學(xué)生需要不斷地思考、探索和嘗試，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維。隨著學(xué)生對開放題的深入研究，他們的數(shù)學(xué)思維會逐漸從簡單的直觀思維向復(fù)雜的抽象思維發(fā)展，從單一的解題思路向多元化的解題策略發(fā)展。例如，在解決幾何開放題時，學(xué)生最初可能只能通過觀察和簡單的推理來得出結(jié)論，隨著學(xué)習(xí)的深入，他們會學(xué)會運用多種幾何定理和方法進行證明和計算，還能通過建立幾何模型來解決更復(fù)雜的問題。這種能力的發(fā)展不僅有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中取得更好的成績，也為他們今后的學(xué)習(xí)和生活打下堅實的基礎(chǔ)。四、中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)實踐案例4.1案例一：三角形面積計算開放題教學(xué)4.1.1教學(xué)目標與設(shè)計思路教學(xué)目標旨在讓學(xué)生深入理解三角形面積公式的推導(dǎo)過程，熟練掌握三角形面積的計算方法，能運用所學(xué)知識解決實際問題，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。通過開放題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新能力和合作交流能力，讓學(xué)生學(xué)會從不同角度思考問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在設(shè)計思路上，以學(xué)生為中心，采用探究式教學(xué)方法。先通過復(fù)習(xí)已學(xué)的平行四邊形面積計算知識，引導(dǎo)學(xué)生回顧面積公式的推導(dǎo)過程，為三角形面積公式的推導(dǎo)做鋪墊。接著，呈現(xiàn)三角形面積計算的開放題，如給出一個三角形的部分信息，讓學(xué)生嘗試求出其面積，由于條件不完整，學(xué)生需要思考還需要哪些條件才能求解，從而激發(fā)學(xué)生的探究欲望。在學(xué)生探究過程中，鼓勵學(xué)生自主思考、合作交流，嘗試不同的方法來解決問題。教師適時引導(dǎo)，幫助學(xué)生逐步理清思路，找到解決問題的關(guān)鍵。最后，通過對學(xué)生解題過程和結(jié)果的討論與總結(jié)，深化學(xué)生對三角形面積計算的理解，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神。例如，在教學(xué)中，教師可以提供一些不同形狀、不同條件的三角形，讓學(xué)生分組討論如何計算它們的面積，每個小組可以嘗試不同的方法，如割補法、等積變換法等，然后在全班進行交流分享，讓學(xué)生從不同的解法中拓寬思維，提高解決問題的能力。4.1.2教學(xué)過程與學(xué)生表現(xiàn)在教學(xué)過程中，教師首先進行復(fù)習(xí)導(dǎo)入，提問學(xué)生平行四邊形的面積公式是什么，以及是如何推導(dǎo)出來的。學(xué)生們積極回答，回憶起平行四邊形面積公式為S=ah（a為底，h為高），是通過割補法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形推導(dǎo)出來的。接著，教師呈現(xiàn)開放題：“現(xiàn)有一個三角形，已知一條邊長為5厘米，你能求出它的面積嗎？”學(xué)生們一開始有些疑惑，思考后發(fā)現(xiàn)僅知道一條邊長無法直接求出面積，需要知道這條邊上的高或者其他相關(guān)條件。于是，學(xué)生們開始分組討論，有的小組提出可以假設(shè)這條邊為底邊，然后自己設(shè)定一個高的值來計算面積；有的小組則思考如何通過測量等方法獲取高的信息。在小組討論過程中，學(xué)生們積極發(fā)言，分享自己的想法。有個小組的學(xué)生說：“我們假設(shè)這條5厘米的邊為底邊，高設(shè)為4厘米，根據(jù)三角形面積公式S=\frac{1}{2}ah（a為底，h為高），那么這個三角形的面積就是\frac{1}{2}??5??4=10平方厘米。”另一個小組的學(xué)生則提出不同的思路：“我們覺得可以通過作輔助線，把這個三角形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形來求解。比如，以這條5厘米的邊為底邊，作一個與之等底等高的平行四邊形，因為三角形面積是等底等高平行四邊形面積的一半，求出平行四邊形面積后再除以2就能得到三角形面積?！边€有小組想到可以利用相似三角形的性質(zhì)，通過與已知面積的三角形進行對比來求解。教師在各小組間巡視，傾聽學(xué)生的討論，適時給予引導(dǎo)和鼓勵。當學(xué)生們遇到困難時，教師會提問啟發(fā)他們，如“我們學(xué)過的哪些知識可以幫助我們解決這個問題呢？”“你們能從不同的角度思考一下嗎？”在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生們不斷完善自己的思路，嘗試不同的方法。在小組討論結(jié)束后，各小組代表進行發(fā)言，向全班展示他們的解題思路和方法。其他小組的學(xué)生認真傾聽，并提出自己的疑問和建議。通過這種交流和互動，學(xué)生們不僅學(xué)習(xí)到了不同的解題方法，還拓寬了思維視野，培養(yǎng)了合作交流能力。4.1.3教學(xué)效果與反思通過這節(jié)開放題教學(xué)課，教學(xué)效果顯著。從知識掌握方面來看，學(xué)生們對三角形面積公式的理解更加深入，不僅知道公式的形式，還能理解公式的推導(dǎo)過程和應(yīng)用方法。在解決實際問題時，學(xué)生們能夠靈活運用所學(xué)知識，根據(jù)不同的條件選擇合適的解題方法，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在思維能力培養(yǎng)方面，開放題激發(fā)了學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。學(xué)生們從不同角度思考問題，提出了多種解題思路和方法，突破了傳統(tǒng)的思維模式。合作交流能力也得到了鍛煉，學(xué)生們在小組討論中積極發(fā)言，學(xué)會傾聽他人的意見，相互學(xué)習(xí)、相互啟發(fā)，提高了團隊協(xié)作能力。然而，教學(xué)過程中也存在一些問題。部分學(xué)生在面對開放題時，思維不夠活躍，仍然依賴教師的提示和指導(dǎo)，自主探究能力有待提高。在小組討論過程中，個別學(xué)生參與度不高，存在“搭便車”的現(xiàn)象。時間把控也不夠精準，導(dǎo)致部分小組的討論不夠充分，最后的總結(jié)環(huán)節(jié)略顯倉促。針對這些問題，在今后的教學(xué)中可以采取以下改進措施。加強對學(xué)生自主探究能力的培養(yǎng)，在日常教學(xué)中多設(shè)計一些開放性的問題，鼓勵學(xué)生獨立思考，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和探索精神。在小組合作學(xué)習(xí)中，明確每個學(xué)生的任務(wù)和責(zé)任，采用小組評價和個人評價相結(jié)合的方式，提高學(xué)生的參與度。合理安排教學(xué)時間，在設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)時充分考慮學(xué)生的實際情況，預(yù)留足夠的時間讓學(xué)生進行討論和交流，確保教學(xué)過程的完整性和有效性。4.2案例二：函數(shù)圖像開放題教學(xué)4.2.1教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)在函數(shù)圖像開放題教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)生動有趣的生活情境來引出開放題，激發(fā)學(xué)生的興趣。例如，以“城市出租車計費問題”為情境，展示這樣的信息：在本市乘坐出租車，起步價為8元（3千米以內(nèi)），超過3千米后，每千米收費2元。教師提問：“同學(xué)們，根據(jù)這些信息，你能構(gòu)建一個關(guān)于出租車行駛路程與費用的函數(shù)關(guān)系，并畫出函數(shù)圖像嗎？”這個問題將函數(shù)知識與實際生活緊密聯(lián)系起來，學(xué)生們會意識到函數(shù)不僅僅是抽象的數(shù)學(xué)概念，還能解決生活中的實際問題，從而激發(fā)他們的探究欲望。接著，教師進一步引導(dǎo)：“如果出租車公司推出了新的優(yōu)惠政策，比如在晚上10點到早上6點之間，每千米收費變?yōu)?.5元，那么函數(shù)關(guān)系和圖像又會發(fā)生怎樣的變化呢？”這個問題的提出，增加了問題的開放性和挑戰(zhàn)性，促使學(xué)生深入思考，為后續(xù)的自主探究和合作學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。4.2.2學(xué)生自主探究與合作學(xué)習(xí)在引出開放題后，學(xué)生們開始進行自主探究。他們首先根據(jù)題目信息，嘗試列出函數(shù)表達式。對于起步價和超出部分的計費方式，學(xué)生們需要考慮不同的行駛路程范圍，分別列出對應(yīng)的函數(shù)表達式。一些學(xué)生先確定自變量x（行駛路程）的取值范圍，當0\ltx\leq3時，費用y=8；當x\gt3時，費用y=8+2(x-3)。然后，他們根據(jù)函數(shù)表達式，選取一些特殊的點，如當x=0時，y=8；當x=3時，y=8；當x=5時，y=8+2\times(5-3)=12。通過這些點，學(xué)生們嘗試繪制函數(shù)圖像。在繪制圖像過程中，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)對于不同的取值范圍，函數(shù)圖像的表現(xiàn)形式不同。在0\ltx\leq3時，函數(shù)圖像是一條水平線段；在x\gt3時，函數(shù)圖像是一條斜率為2的直線。當教師提出新的優(yōu)惠政策后，學(xué)生們分組討論函數(shù)關(guān)系和圖像的變化。小組成員們各抒己見，有的學(xué)生認為需要重新確定函數(shù)表達式，當0\ltx\leq3時，費用y=8不變；當x\gt3且在晚上10點到早上6點之間時，費用y=8+1.5(x-3)。有的學(xué)生則思考如何在原來的圖像上體現(xiàn)這種變化，他們討論后發(fā)現(xiàn)，在新的時間段內(nèi)，函數(shù)圖像的斜率發(fā)生了改變，由原來的2變?yōu)?.5。在小組討論過程中，學(xué)生們相互交流、相互啟發(fā)，共同探討函數(shù)圖像的變化規(guī)律。他們通過計算不同點的坐標，嘗試繪制新的函數(shù)圖像，并對比兩個函數(shù)圖像的差異。例如，對比在新政策下，當x=5時，費用y=8+1.5\times(5-3)=11，與原來政策下的費用12元不同，從而直觀地看到函數(shù)圖像在相同橫坐標下縱坐標的變化。4.2.3教師指導(dǎo)與評價在學(xué)生探究過程中，教師發(fā)揮著重要的指導(dǎo)作用。當學(xué)生在確定函數(shù)表達式遇到困難時，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)的定義和性質(zhì)，幫助學(xué)生分析不同行駛路程范圍與費用之間的關(guān)系。例如，教師提問：“在不同的路程范圍內(nèi)，費用是如何隨著路程的變化而變化的呢？我們可以根據(jù)這種變化關(guān)系來確定函數(shù)表達式?！痹趯W(xué)生繪制函數(shù)圖像時，教師提醒學(xué)生注意坐標軸的刻度設(shè)置、點的標注以及圖像的平滑度。當學(xué)生對新政策下函數(shù)圖像的變化存在疑問時，教師通過舉例、畫圖等方式，幫助學(xué)生理解斜率變化對函數(shù)圖像的影響。比如，教師在黑板上畫出兩個函數(shù)圖像，一個是原來政策下的，一個是新政策下的，通過對比兩個圖像的傾斜程度，讓學(xué)生直觀地看到斜率的變化。教師對學(xué)生的表現(xiàn)進行全面評價。在評價方式上，采用過程性評價和結(jié)果性評價相結(jié)合的方式。過程性評價關(guān)注學(xué)生在探究過程中的參與度、合作能力、思維活躍度等。例如，觀察學(xué)生在小組討論中是否積極發(fā)言，是否能夠傾聽他人意見并提出自己的見解。如果發(fā)現(xiàn)某個學(xué)生在小組中表現(xiàn)積極，提出了獨特的見解，教師會及時給予肯定和表揚，如“你提出的這個思路非常新穎，很好地分析了函數(shù)圖像變化的原因，值得大家學(xué)習(xí)?！苯Y(jié)果性評價則主要關(guān)注學(xué)生對函數(shù)知識的掌握程度和解題的正確性。對于學(xué)生繪制的函數(shù)圖像和得出的函數(shù)表達式，教師認真檢查，指出其中的錯誤和不足之處。如果學(xué)生在函數(shù)表達式的書寫上出現(xiàn)錯誤，教師會耐心地講解錯誤原因，并引導(dǎo)學(xué)生進行改正。在評價結(jié)果方面，教師會對學(xué)生的表現(xiàn)進行總結(jié)和反饋。對于表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，給予充分的肯定和鼓勵，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性；對于存在不足的學(xué)生，提出具體的改進建議，幫助他們提高。比如，教師會對某個小組的學(xué)生說：“你們小組在討論過程中非常積極，對函數(shù)圖像的變化分析得也比較透徹，但是在繪制圖像時，坐標軸的刻度標注不夠清晰，希望下次能夠注意?！蓖ㄟ^這樣的評價和反饋，促進學(xué)生不斷進步，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。五、中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略與方法5.1開放題的選擇與設(shè)計原則5.1.1符合學(xué)生認知水平中學(xué)數(shù)學(xué)開放題的難度必須與學(xué)生的認知水平相契合，這是確保教學(xué)有效性的關(guān)鍵因素。開放題的難度若過高，超越了學(xué)生現(xiàn)有的知識儲備和思維能力，學(xué)生在解題過程中會遭遇重重困難，難以找到解題思路，這不僅會使學(xué)生產(chǎn)生挫敗感，還會打擊他們的學(xué)習(xí)積極性，降低學(xué)習(xí)興趣。例如，對于剛接觸一元一次方程的初一學(xué)生，如果給出一道涉及多個變量、復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的方程開放題，學(xué)生可能會因無法理解題意和運用所學(xué)知識而感到困惑和沮喪。相反，若開放題的難度過低，學(xué)生無需過多思考就能輕松解答，這樣的題目無法激發(fā)學(xué)生的思維活力，也無法達到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的，還會浪費課堂教學(xué)時間。比如，對于已經(jīng)熟練掌握三角形內(nèi)角和定理的初二學(xué)生，若給出一道簡單的已知兩個角求第三個角的三角形內(nèi)角和開放題，學(xué)生可能會覺得索然無味，無法從中獲得能力的提升。教師在選擇和設(shè)計開放題時，要充分考慮學(xué)生的年齡特點、知識基礎(chǔ)和思維發(fā)展水平。對于初一學(xué)生，他們剛從小學(xué)進入中學(xué)，數(shù)學(xué)知識相對較少，思維方式還處于從直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，此時的開放題可以側(cè)重于基礎(chǔ)知識的應(yīng)用和簡單思維能力的培養(yǎng)。例如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)運算后，可以設(shè)計這樣的開放題：“用5，-3，2，-1這四個數(shù)，通過加、減、乘、除運算，使其結(jié)果為24，每個數(shù)只能用一次，你能想出幾種方法？”這道題既鞏固了有理數(shù)的運算知識，又能鍛煉學(xué)生的思維靈活性，符合初一學(xué)生的認知水平。對于初二和初三的學(xué)生，隨著知識的積累和思維能力的提高，開放題的難度可以適當增加，注重知識的綜合運用和復(fù)雜思維能力的培養(yǎng)。在學(xué)習(xí)了相似三角形和函數(shù)知識后，可以設(shè)計這樣的開放題：“在平面直角坐標系中，已知點A(1,0)，B(0,2)，點C在x軸上，若以A，B，C為頂點的三角形與以原點O，A，B為頂點的三角形相似，求點C的坐標?！边@道題需要學(xué)生綜合運用相似三角形的性質(zhì)和函數(shù)的相關(guān)知識，通過分類討論的方法來求解，能夠有效提升學(xué)生的綜合思維能力和解決問題的能力。教師還可以根據(jù)學(xué)生的個體差異，設(shè)計分層開放題，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。對于學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生，可以提供一些具有挑戰(zhàn)性的開放題，鼓勵他們深入探究，培養(yǎng)創(chuàng)新思維；對于學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，則提供一些難度適中、逐步引導(dǎo)的開放題，幫助他們鞏固知識，增強學(xué)習(xí)信心。比如，在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，對于學(xué)優(yōu)生可以設(shè)計這樣的開放題：“已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a\neq0）的圖像經(jīng)過點(1,-2)，(-1,0)，且與x軸有兩個交點，其中一個交點的橫坐標在(-2,-1)之間，求a的取值范圍?！睂τ趯W(xué)困生，可以設(shè)計這樣的題目：“已知二次函數(shù)y=x^2+bx+c的圖像經(jīng)過點(1,0)，求b+c的值?！蓖ㄟ^分層設(shè)計開放題，使每個學(xué)生都能在自己的能力范圍內(nèi)得到發(fā)展和提高。5.1.2緊密聯(lián)系教材內(nèi)容中學(xué)數(shù)學(xué)開放題應(yīng)緊密圍繞教材內(nèi)容進行設(shè)計，這是實現(xiàn)開放題教學(xué)目標的重要基礎(chǔ)。教材是教學(xué)的核心依據(jù)，承載著數(shù)學(xué)學(xué)科的基本概念、定理、公式等重要知識體系。開放題與教材內(nèi)容緊密相連，能夠幫助學(xué)生鞏固和深化對教材知識的理解與掌握，將所學(xué)知識融會貫通，形成完整的知識結(jié)構(gòu)。開放題可以是對教材例題、習(xí)題的改編和拓展。教材中的例題和習(xí)題通常是經(jīng)過精心挑選和設(shè)計的，具有典型性和代表性。教師可以通過改變例題、習(xí)題的條件、結(jié)論或問題情境，將其轉(zhuǎn)化為開放題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，拓展學(xué)生的思維空間。例如，教材中有這樣一道關(guān)于一元二次方程的例題：“已知一元二次方程x^2-5x+6=0，求方程的解?！苯處熆梢詫⑵涓木帪殚_放題：“已知一元二次方程的兩個根分別為2和3，寫出一個符合條件的一元二次方程?！边@道開放題不僅考查了學(xué)生對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的理解，還培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維能力。開放題也可以是對教材知識的綜合應(yīng)用。數(shù)學(xué)知識之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，通過設(shè)計綜合性的開放題，能夠引導(dǎo)學(xué)生將不同章節(jié)、不同知識點的內(nèi)容有機結(jié)合起來，提高學(xué)生綜合運用知識的能力。比如，在學(xué)習(xí)了幾何圖形和函數(shù)知識后，可以設(shè)計這樣的開放題：“在一個直角三角形中，兩條直角邊的長度分別為3和4，將這個直角三角形繞著其中一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐。求這個圓錐的側(cè)面積，并探究當直角三角形的兩條直角邊長度發(fā)生變化時，圓錐側(cè)面積的變化規(guī)律?！边@道題綜合了三角形、圓錐的相關(guān)幾何知識以及函數(shù)的思想，要求學(xué)生運用勾股定理求出斜邊長度，再根據(jù)圓錐側(cè)面積公式進行計算，同時通過變量的變化探究函數(shù)關(guān)系，使學(xué)生在解決問題的過程中，加深對知識的理解和掌握，提高綜合運用知識的能力。開放題還可以根據(jù)教材中的知識點進行拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生進行深入探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探究能力。在學(xué)習(xí)了平面直角坐標系后，可以設(shè)計這樣的開放題：“在平面直角坐標系中，有一個邊長為1的正方形，它的一個頂點坐標為(0,0)。請你探究當這個正方形沿著坐標軸平移或繞著原點旋轉(zhuǎn)時，其頂點坐標的變化規(guī)律，并嘗試用數(shù)學(xué)表達式來表示這些規(guī)律?！边@道題不僅鞏固了平面直角坐標系的知識，還引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)圖形變換過程中頂點坐標的變化規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和探究能力。通過緊密聯(lián)系教材內(nèi)容設(shè)計開放題，能夠使學(xué)生更好地理解和掌握教材知識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，同時也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和連貫性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。5.1.3具有趣味性和挑戰(zhàn)性中學(xué)數(shù)學(xué)開放題應(yīng)具備趣味性和挑戰(zhàn)性，這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的重要因素。有趣的開放題能夠吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生主動參與到解題過程中，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)動力。例如，以生活中的實際問題為背景設(shè)計開放題，如“在一次家庭聚會中，媽媽準備了一些水果，蘋果、香蕉和橙子的數(shù)量之比為3:2:1。已知蘋果比橙子多6個，那么三種水果一共有多少個？你能根據(jù)這些信息提出其他數(shù)學(xué)問題并解答嗎？”這樣的題目貼近學(xué)生的生活，容易引起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。具有挑戰(zhàn)性的開放題能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，促使學(xué)生積極思考，挑戰(zhàn)自我，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力。例如，在學(xué)習(xí)了圓的知識后，可以設(shè)計這樣的開放題：“在一個半徑為5厘米的圓中，有一條弦AB，其長度為8厘米。請你探究如何在這個圓中找到一個點P，使得三角形PAB的面積最大，并求出這個最大面積?！边@道題需要學(xué)生運用圓的性質(zhì)、三角形面積公式以及數(shù)學(xué)推理等知識，具有一定的難度和挑戰(zhàn)性，能夠激發(fā)學(xué)生的探究欲望。在設(shè)計有趣且具挑戰(zhàn)性的開放題時，可以采用多種方式。比如，創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，將數(shù)學(xué)知識融入到故事、游戲、實際生活場景等情境中，讓學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。例如，設(shè)計一個“尋寶游戲”的開放題：“在一個神秘的島嶼上，藏著一批寶藏。已知寶藏的位置在一個直角三角形區(qū)域內(nèi)，三角形的兩條直角邊分別為6千米和8千米。現(xiàn)在你手中有一張地圖，地圖上標有一個坐標原點，其中一個頂點的坐標為(0,0)。請你根據(jù)這些信息，確定寶藏可能的位置，并設(shè)計一條最短的尋寶路線。”這樣的情境充滿趣味性，能夠吸引學(xué)生積極參與。還可以設(shè)計一些具有競賽性質(zhì)的開放題，如小組競賽、個人競賽等，激發(fā)學(xué)生的競爭意識和團隊合作精神。例如，開展“數(shù)學(xué)解題挑戰(zhàn)賽”，給出一道具有挑戰(zhàn)性的開放題，讓各個小組在規(guī)定時間內(nèi)進行解答，比一比哪個小組的解題方法最多、最巧妙。通過競賽的形式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)新思維。運用多媒體技術(shù)輔助開放題的設(shè)計也是一種有效的方式。利用圖片、動畫、視頻等多媒體元素，使開放題更加生動形象，增強題目的趣味性和吸引力。比如，在講解幾何圖形的開放題時，可以通過動畫展示圖形的變化過程，幫助學(xué)生更好地理解題意，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過設(shè)計具有趣味性和挑戰(zhàn)性的開放題，能夠讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力。五、中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略與方法5.2教學(xué)過程中的引導(dǎo)與啟發(fā)5.2.1問題引導(dǎo)策略在中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)中，問題引導(dǎo)策略是一種行之有效的教學(xué)方法，通過巧妙設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，逐步理解開放題的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和思維能力。在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”這一知識點時，教師可以設(shè)計這樣的開放題：“在一個三角形中，已知一個角是30^{\circ}，另一個角是60^{\circ}，你能提出哪些與這個三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)問題并解答？”在學(xué)生思考過程中，教師可以通過提問引導(dǎo)：“我們知道三角形內(nèi)角和是180^{\circ}，根據(jù)已知的兩個角，我們可以先求出什么呢？”學(xué)生很容易想到可以求出第三個角的度數(shù)，即180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}。教師接著問：“知道了三個角的度數(shù)，那我們還能進一步探究三角形的哪些性質(zhì)呢？”這就引導(dǎo)學(xué)生思考三角形按角分類的特點，發(fā)現(xiàn)這個三角形是直角三角形。教師還可以繼續(xù)提問：“如果這個三角形的一條邊長是5厘米，你能求出其他邊的長度嗎？”這又引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到直角三角形的勾股定理，進一步深入探究三角形的邊的關(guān)系。在學(xué)習(xí)函數(shù)知識時，教師給出開放題：“已知一次函數(shù)y=kx+b（k\neq0）的圖像經(jīng)過點(1,3)，你能得到哪些關(guān)于這個函數(shù)的信息？”教師可以先提問：“根據(jù)函數(shù)圖像經(jīng)過的點(1,3)，我們可以把x=1，y=3代入函數(shù)表達式，得到什么呢？”學(xué)生能得到3=k+b。教師再問：“從這個等式k+b=3，我們能確定k和b的值嗎？如果再給一個條件，比如k=1，你能求出b的值嗎？”通過這樣的提問，引導(dǎo)學(xué)生逐步分析問題，理解函數(shù)表達式中k和b的含義以及它們之間的關(guān)系。教師還可以問：“當x=2時，y的值是多少呢？”這能讓學(xué)生進一步運用函數(shù)表達式進行計算，鞏固對函數(shù)的理解。在解決幾何開放題時，例如在學(xué)習(xí)平行四邊形的判定時，教師給出題目：“在四邊形ABCD中，已知AB\parallelCD，請?zhí)砑右粋€條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形。”教師提問引導(dǎo)：“我們學(xué)過平行四邊形的哪些判定定理呢？從這些定理出發(fā)，結(jié)合已知條件AB\parallelCD，我們可以添加什么條件呢？”學(xué)生可能會想到添加AB=CD，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來判定；也可能想到添加AD\parallelBC，依據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”。教師接著問：“如果添加\angleB=\angleD，能不能判定四邊形ABCD是平行四邊形呢？為什么？”這促使學(xué)生進一步思考平行四邊形的性質(zhì)和判定之間的聯(lián)系，深入理解平行四邊形的判定方法。通過這些具體的教學(xué)實例可以看出，問題引導(dǎo)策略能夠讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，逐步深入思考開放題，從不同角度分析問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和問題解決能力。同時，在引導(dǎo)過程中，教師要根據(jù)學(xué)生的回答及時給予反饋和鼓勵，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。5.2.2啟發(fā)式教學(xué)方法啟發(fā)式教學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)中具有重要作用，它能夠引導(dǎo)學(xué)生主動思考，發(fā)現(xiàn)解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維。在教學(xué)“一元二次方程的應(yīng)用”時，教師給出這樣一道開放題：“某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。若商場每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？”教師可以通過啟發(fā)式提問引導(dǎo)學(xué)生思考。首先問：“我們設(shè)每件襯衫降價x元，那么降價后每件襯衫的盈利是多少呢？”學(xué)生很容易回答出是(40-x)元。接著問：“降價后商場每天能銷售多少件襯衫呢？”學(xué)生根據(jù)題目條件可以得出是(20+2x)件。然后教師啟發(fā)學(xué)生：“根據(jù)盈利等于每件盈利乘以銷售數(shù)量，我們可以列出怎樣的方程呢？”學(xué)生就能列出方程(40-x)(20+2x)=1200。在學(xué)生列出方程后，教師進一步啟發(fā)：“我們?nèi)绾吻蠼膺@個一元二次方程呢？回憶一下我們學(xué)過的一元二次方程的解法?！边@引導(dǎo)學(xué)生運用配方法、公式法或因式分解法來求解方程。在學(xué)習(xí)“相似三角形”時，教師給出開放題：“在\triangleABC和\triangleDEF中，\angleA=\angleD，請?zhí)砑右粋€條件，使\triangleABC\sim\triangleDEF?！苯處焼l(fā)學(xué)生：“我們學(xué)過相似三角形的判定定理有哪些呢？從這些定理出發(fā)，結(jié)合已知條件\angleA=\angleD，我們可以添加什么條件呢？”學(xué)生可能會想到添加\angleB=\angleE，根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”來判定；也可能想到添加\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}，依據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”。教師接著啟發(fā)：“如果添加\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}，能判定這兩個三角形相似嗎？為什么？”這促使學(xué)生深入思考相似三角形判定定理的條件和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在立體幾何教學(xué)中，教師給出開放題：“一個正方體的棱長為a，沿著正方體的表面從一個頂點到它相對的頂點，怎樣走路線最短？最短路線的長度是多少？”教師可以通過實物模型或多媒體演示，啟發(fā)學(xué)生將正方體展開成平面圖形。問學(xué)生：“我們把正方體展開后，這兩個相對頂點之間的連線在平面圖形中是什么呢？”學(xué)生觀察后會發(fā)現(xiàn)是一條線段。教師再啟發(fā)：“在展開的平面圖形中，有幾種展開方式呢？哪種展開方式下這兩個頂點之間的線段最短呢？”學(xué)生通過思考和嘗試不同的展開方式，會發(fā)現(xiàn)沿著正方體的一個面和與之相鄰的面展開時，這兩個頂點之間的線段最短。然后教師引導(dǎo)學(xué)生計算這條最短路線的長度，運用勾股定理求出長度為\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a。通過以上這些教學(xué)實例可以看出，啟發(fā)式教學(xué)方法能夠充分調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性，讓學(xué)生在教師的啟發(fā)下，自主探索解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力。在教學(xué)過程中，教師要善于運用啟發(fā)式提問，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，鼓勵學(xué)生大膽提出自己的想法和見解，營造積極活躍的課堂氛圍。5.3小組合作學(xué)習(xí)與交流5.3.1小組組建與任務(wù)分配合理組建小組是開展小組合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，它直接影響著合作學(xué)習(xí)的效果。在組建小組時，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的多方面因素，遵循一定的原則。首先，要綜合考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績、學(xué)習(xí)能力、性格特點等。一般采用異質(zhì)分組的方式，即將成績好、中、差的學(xué)生合理搭配在一個小組中，這樣可以讓成績較好的學(xué)生帶動成績相對較差的學(xué)生，實現(xiàn)優(yōu)勢互補。例如，在一個四人小組中，可以安排一名成績優(yōu)秀、思維活躍且具有較強組織能力的學(xué)生作為組長，負責(zé)組織討論和協(xié)調(diào)小組活動；一名成績中等、基礎(chǔ)知識較為扎實的學(xué)生，能夠積極參與討論并提供穩(wěn)定的思路；一名成績稍差但學(xué)習(xí)態(tài)度積極的學(xué)生，在小組合作中可以得到其他成員的幫助，逐步提高自己的學(xué)習(xí)能力；還可以安排一名性格開朗、善于表達的學(xué)生，負責(zé)小組與教師或其他小組之間的溝通交流。小組規(guī)模也需要合理控制，通常以4-6人為宜。人數(shù)過少，可能無法形成足夠的思維碰撞和討論氛圍；人數(shù)過多，則可能導(dǎo)致部分學(xué)生參與度不高，出現(xiàn)“搭便車”的現(xiàn)象，且不利于小組討論的組織和管理。在任務(wù)分配方面，要根據(jù)開放題的特點進行合理安排。如果是一道綜合性較強的開放題，涉及多個知識點和解題思路，可以將任務(wù)分解成不同的部分，讓每個小組成員負責(zé)一個部分的研究和探索。比如，在解決一道關(guān)于函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的開放題時，可以讓一部分學(xué)生負責(zé)分析函數(shù)的性質(zhì)和圖像特征，另一部分學(xué)生研究幾何圖形的特點和相關(guān)定理的應(yīng)用，然后通過小組討論，將兩部分的研究成果進行整合，共同找到解題方法。也可以根據(jù)學(xué)生的特長和興趣進行任務(wù)分配。對于擅長計算的學(xué)生，可以安排他們進行數(shù)據(jù)計算和分析的任務(wù)；對于空間想象力較強的學(xué)生，讓他們負責(zé)幾何圖形的繪制和分析；對于思維活躍、富有創(chuàng)意的學(xué)生，鼓勵他們提出創(chuàng)新性的解題思路和方法。例如，在解決一個關(guān)于數(shù)學(xué)建模的開放題時，讓擅長數(shù)學(xué)計算的學(xué)生負責(zé)建立數(shù)學(xué)模型并進行求解，讓有創(chuàng)意的學(xué)生思考如何優(yōu)化模型，使其更符合實際情況。通過合理的小組組建和任務(wù)分配，可以充分發(fā)揮每個學(xué)生的優(yōu)勢，提高學(xué)生的參與度和積極性，促進小組合作學(xué)習(xí)的順利開展，讓學(xué)生在合作中共同解決開放題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。5.3.2合作學(xué)習(xí)過程中的互動與協(xié)作在小組合作學(xué)習(xí)過程中，成員之間的互動與協(xié)作是至關(guān)重要的，它直接關(guān)系到合作學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效果。積極有效的互動與協(xié)作能夠促進學(xué)生之間的思想交流和碰撞，拓寬學(xué)生的思維視野，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和團隊精神。在小組討論中，成員們各抒己見，分享自己的想法和觀點。例如，在探討一道關(guān)于三角形全等證明的開放題時，有的學(xué)生提出可以利用“邊角邊”定理進行證明，詳細闡述了如何找到對應(yīng)的邊和角；有的學(xué)生則認為“角角邊”定理也可行，并說明了自己的思路和依據(jù)。通過這樣的交流，學(xué)生們可以從不同的角度思考問題，發(fā)現(xiàn)自己思維的局限性，學(xué)習(xí)他人的優(yōu)點，從而完善自己的解題思路。成員之間還會相互啟發(fā)和引導(dǎo)。當某個學(xué)生在思考過程中遇到困難時，其他成員會給予幫助和提示。比如，在解決一個關(guān)于數(shù)列規(guī)律的開放題時，有個學(xué)生對數(shù)列的變化規(guī)律不太理解，小組中的其他成員會通過舉例、類比等方式，引導(dǎo)他觀察數(shù)列中數(shù)字的變化趨勢，嘗試找出規(guī)律。在這個過程中，學(xué)生們不僅解決了問題，還學(xué)會了如何幫助他人和接受他人的幫助，提高了合作能力。在互動過程中，學(xué)生們還會進行質(zhì)疑和辯論。對于不同的觀點和解題方法，學(xué)生們會提出疑問，進行深入的探討和辯論。例如，在討論一道關(guān)于不等式應(yīng)用的開放題時，兩名學(xué)生對于一種解題方法的正確性產(chǎn)生了分歧。一個學(xué)生認為這種方法是正確的，并給出了自己的推理過程；另一個學(xué)生則提出質(zhì)疑，認為其中存在漏洞。于是，他們在小組中展開了激烈的辯論，其他成員也參與進來，一起分析問題。通過辯論，學(xué)生們更加深入地理解了問題的本質(zhì)，明確了不同解題方法的適用條件和優(yōu)缺點，培養(yǎng)了批判性思維能力。為了促進良好的互動與協(xié)作，教師可以采取一些措施。比如，建立有效的小組合作規(guī)則，要求學(xué)生尊重他人的意見，認真傾聽他人的發(fā)言，不得隨意打斷別人；鼓勵學(xué)生積極參與討論，大膽表達自己的想法，對積極參與的學(xué)生給予肯定和表揚。教師還可以在小組討論過程中適時介入，當發(fā)現(xiàn)小組討論偏離主題或陷入僵局時，及時給予引導(dǎo)和啟發(fā)，幫助小組重新回到正軌，推動討論的深入進行。5.3.3交流展示與評價反饋小組交流展示是合作學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，它為學(xué)生提供了展示自己學(xué)習(xí)成果和思維過程的平臺，有助于培養(yǎng)學(xué)生的表達能力和自信心。常見的交流展示方式有多種，小組代表發(fā)言是較為常見的一種。每個小組推選一名代表，向全班匯報小組的討論結(jié)果和解題思路。代表在發(fā)言時，要清晰地闡述小組的觀點、解決問題的方法以及遇到的困難和解決措施。例如，在解決一道關(guān)于二次函數(shù)圖像性質(zhì)的開放題后，小組代表可以這樣發(fā)言：“我們小組通過對二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a\neq0）的分析，首先根據(jù)題目中給出的條件，確定了a、b、c的值，然后畫出了函數(shù)圖像。我們發(fā)現(xiàn)，當a>0時，函數(shù)圖像開口向上，對稱軸為x=-\frac{2a}，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大。在解題過程中，我們遇到了一個問題，就是在確定函數(shù)與x軸交點坐標時，計算出現(xiàn)了錯誤，后來我們通過重新檢查計算過程，發(fā)現(xiàn)是公式運用錯誤，及時進行了糾正?！蓖ㄟ^這樣的發(fā)言，其他小組的學(xué)生能夠了解該小組的解題思路和過程，從中學(xué)習(xí)到不同的方法和經(jīng)驗。小組還可以通過制作展板、演示文稿等方式進行展示。將小組討論的結(jié)果、解題過程、相關(guān)圖表等制作成展板或演示文稿，在教室中進行展示，讓學(xué)生們可以更直觀地了解各小組的學(xué)習(xí)成果。比如，在研究一個關(guān)于幾何圖形面積計算的開放題時，小組制作了一個演示文稿，詳細展示了不同幾何圖形的面積計算公式推導(dǎo)過程，以及如何運用這些公式解決開放題中的問題。在演示文稿中，還插入了一些動畫和圖片，使展示內(nèi)容更加生動形象，便于其他學(xué)生理解。教師的評價反饋對于學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展具有重要的指導(dǎo)作用。在評價時，教師應(yīng)采用多元化的評價方式。除了對學(xué)生的解題結(jié)果進行評價外，更要注重對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進行評價。關(guān)注學(xué)生在小組合作中的參與度、合作能力、思維活躍度等方面。例如，教師可以評價某個學(xué)生在小組討論中積極發(fā)言，提出了許多有價值的觀點，對小組的討論起到了推動作用；或者評價某個小組在合作過程中分工明確，成員之間協(xié)作默契，能夠有效地解決問題。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進行自評和互評。讓學(xué)生對自己在合作學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)進行自我評價，反思自己的優(yōu)點和不足，明確努力的方向。同時，組織學(xué)生進行小組互評，相互學(xué)習(xí)，共同進步。比如，在小組交流展示結(jié)束后，教師可以讓其他小組的學(xué)生對展示小組進行評價，提出自己的看法和建議。評價內(nèi)容可以包括展示內(nèi)容的準確性、完整性、創(chuàng)新性，展示方式的合理性，以及小組代表的表達能力等方面。通過自評和互評，學(xué)生能夠從多個角度了解自己的學(xué)習(xí)情況，提高自我認知能力和評價能力。教師在評價反饋時，要給予具體的反饋意見和建議。對于學(xué)生的優(yōu)點，要及時給予肯定和表揚，增強學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)積極性；對于學(xué)生存在的問題和不足，要提出具體的改進措施，幫助學(xué)生提高。比如，教師可以對某個小組說：“你們小組在展示中，解題思路非常清晰，方法也很新穎，這一點做得非常好。但是，在展示過程中，有些地方的表達還不夠準確，建議你們在今后的學(xué)習(xí)中，多注意語言的準確性和規(guī)范性?！蓖ㄟ^這樣具體的評價反饋，學(xué)生能夠明確自己的努力方向，不斷改進和提高自己的學(xué)習(xí)能力。六、中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的影響6.1對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)6.1.1發(fā)散思維與創(chuàng)新思維中學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)對學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)具有重要作用。開放題的答案不唯一、解題策略多樣等特點，為學(xué)生提供了廣闊的思維空間，促使學(xué)生突破常規(guī)思維模式，從不同角度、運用不同方法去思考問題，從而有效發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維。以一道幾何開放題為例：在平面直角坐標系中，已知點A(1,2)，B(3,4)，請你在坐標軸上找一點C，使得△ABC是等腰三角形，求點C的坐標。這道題的解題思路具有多樣性，學(xué)生可以從不同的角度進行思考。有的學(xué)生從等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)出發(fā)，分別以AB為腰和底邊進行討論。當以AB為