第第頁上海市寶山區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．直線x=1的傾斜角為2．在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點(diǎn)P(1，2，4)3．直線l過點(diǎn)(2，3)，且與向量a=4．雙曲線x24?5．某產(chǎn)品經(jīng)過4次革新后，成本由原來的200元下降到125元.如果這種產(chǎn)品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是（結(jié)果精確到0.1%）.6．若2x2+(m7．若實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則直線ax+by+c=0必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.8．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，M、N分別是BB1、AC的中點(diǎn)，設(shè)AB9．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=1n(n+1)，其前n項(xiàng)的和為10．如圖，記棱長為1的正方體為C1，以C1各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為C2，以C2各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為C3，以C3各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為C4，…，以此類推得到一系列的多面體Cn11．已知a、b是空間互相垂直的單位向量，且|c|=8，c?a12．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1(?c，0)，F(xiàn)2(c，0)，直線y=kx(k>0)與雙曲線C在第一、三象限分別交于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).有下列結(jié)論：①二、單選題13．若ab<0，bc<0，則直線ax+by+c=0不經(jīng)過第象限（）A．一 B．二 C．三 D．四14．已知a=(2，?1A．4 B．3 C．2 D．115．若直線y=kx?1與曲線y=?x2A．(43，+∞) B．[116．已知空間直線a、b和平面α滿足：a⊥b，a?α，b//α.若點(diǎn)P∈α，且點(diǎn)P到直線a、A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線三、解答題17．已知直線l1：mx+3y+1=0（1）若l1//l（2）若直線l2在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)m18．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：x=?1，已知?jiǎng)狱c(diǎn)T到點(diǎn)F(1，0)的距離等于點(diǎn)T（1）過點(diǎn)F且斜率為2的直線與曲線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求線段AB的長；（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線x?y+4=0的最短距離.19．已知E、F分別是正方體ABCD?A1B1C（1）A1D與（2）二面角C?D（3）點(diǎn)M在棱CD上，若A1M與平面B1C120．在數(shù)列{an}中，an=?1，n=12an?1（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=(an+3bn)cos21．已知橢圓Γ：x2（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）A、B分別為橢圓Γ的上、下頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓Γ的左焦點(diǎn)F作直線l交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，與y軸交于M點(diǎn).①若點(diǎn)Q是線段CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；②設(shè)直線AD與直線BC交于點(diǎn)N，求證：OM?

答案解析部分1．【答案】9【解析】【解答】直線x=1與x軸垂直，由傾斜角的定義知，直線x=1的傾斜角為90°.

故答案為：90°.2．【答案】(【解析】【解答】根據(jù)關(guān)于xOy平面對稱點(diǎn)的性質(zhì)知，點(diǎn)P(1，2，4)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，2，-4).

故答案為：(1，2，-4)

【分析】在空間直角坐標(biāo)系O?xyz3．【答案】x+2y?8=0【解析】【解答】直線l與向量a=(1，2)垂直，所以a=(1，2)是直線l的一個(gè)法向量，

設(shè)P(x，y)是直線l上任意一點(diǎn)，M(2，3)，MP→=(x-2，y-3)是l的一個(gè)方向向量，

則a→·MP→=0，即x-2+2(y-3)=0，x+2y-8=04．【答案】3【解析】【解答】由題得，雙曲線漸近線方程為y=±12x，設(shè)漸近線的夾角為α，

則tanα=12-(-12)1+125．【答案】11.1%【解析】【解答】設(shè)每次降價(jià)的百分比為x，

則200(1-x)4=125，解得x≈11.1%，所以每次革新后成本下降的百分比是11.1%.

故答案為：11.1%6．【答案】-2【解析】【解答】由題意，m2+m=2，解得m=1或m=-2，

當(dāng)m=1時(shí)，方程為2x2+2y2+2x+1=0，即x2+y2+x+12=0，配方得(x-12)2+y2=-7．【答案】（1，-2）【解析】【解答】由題意，2b=a+c，直線ax+by+c=0可化為2ax+(a+c)y+2c=0，

即a(2x+y)+c(y+2)=0，由2x+y=0y+2=0，得x=1y=-2，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-2)，

故答案為：(1，-2)

【分析】先由等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，代入直線方程得到關(guān)于a，c的方程，分離出8．【答案】a【解析】【解答】NM→=AM→-AN→=AB→+BM→-12AC→9．【答案】(【解析】【解答】因?yàn)閍n=1n(n+1)=1n-1n+1，

所以Sn=a1+a2+…+an=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-10．【答案】3【解析】【解答】由題意，正方體C1各面中心為頂點(diǎn)的正八面體的中截面（垂直平分相對頂點(diǎn)連線的界面）是正方形，

該正方形對角線長等于正方體的棱長，所以a2=12=22，以C2各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為C3，

正方體C3面對角線長等于C2棱長的23，所以對角線長23×22=23，a3=232=13，以此類推，

a4=a11．【答案】4【解析】【解答】由已知，a→=b→=1，c→=8，a→·b→=0，c→?a→=c→?b→=212．【答案】①②④【解析】【解答】對于①如圖，連接AF1，AF2，BF1，BF2，易得OF1=OF2，AO=BO，所以四邊形AF1BF2是平行四邊形，故①正確；

對于②，設(shè)A(a，b)，有對稱性有B(-a，-b)，因?yàn)锳E⊥x軸，所以E(a，0)，kBE=0-(-b)a-(-a)=12×ba=12k，故②正確；

對于③，若|OA|=c，則OA=OF1=OF2，所以△AF1F2是直角三角形，AF12+AF22=4c2，

又AF1+AF2=2a，所以AF1·AF2=2b2，13．【答案】D【解析】【解答】由題可知a，b，c均不為0，直線ax+by+c=0的斜率k=-ab>0，截距-cb>0，

所以直線14．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)閍，b，c三向量共面，所以存在唯一有序數(shù)對(x，y)，使得c→=xa→+yb→，

所以(1，3，λ)=x(2，-1，3)+y(-1，4，-2)15．【答案】B【解析】【解答】如圖，

y=?x2+4x?3可變形為(x-2)2+y2=1(y≥0)，所以曲線y=?x2+4x?3表示一個(gè)半圓，半圓的圓心為(2，0)，半徑為1，直線y=kx?1恒過(0，-1)，

當(dāng)直線y=kx?1過(1，0)時(shí)，k=1，

當(dāng)直線y=kx?116．【答案】C【解析】【解答】設(shè)b在α內(nèi)的射影為l，b到α的距離為d，以a與l交點(diǎn)O為原點(diǎn)，a為x軸，l為y軸，a與l的公垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y，0)，由題意，y=x2+d2，

所以y2-x2=d2，所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.

故答案為：C.

17．【答案】（1）解：直線l1：mx+3y+1=0則m(m+2)=1×3，解得當(dāng)m=1時(shí)，l1：x+3y+1=0，l2：當(dāng)m=?3時(shí)，l1：?3x+3y+1=0，l2：故m=?3.（2）解：當(dāng)2m?1=0，即m=12時(shí)，l2：x+滿足直線l2當(dāng)2m?1≠0且m≠?2時(shí)，則直線l2在x軸上的截距為1?2m，在y軸上的截距為1?2m由題意可知，1?2m=1?2mm+2，解得當(dāng)m=?2時(shí)直線l2綜上所述，m=?1或12【解析】【分析】(1)由l1∥l2得到m(18．【答案】（1）解：已知?jiǎng)狱c(diǎn)T到點(diǎn)F(1，0)所以曲線C的軌跡是以點(diǎn)F(1，其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x因?yàn)檫^點(diǎn)F且斜率為2的直線與曲線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，則直線AB的方程為y=2(x?1聯(lián)立①②，消去y并整理得x2設(shè)點(diǎn)A(x1，y此時(shí)|AB（2）解：不妨設(shè)點(diǎn)P(y0則點(diǎn)P到直線x?y+4=0的距離d=|易知當(dāng)y0=2時(shí)，故曲線C上的點(diǎn)(1，2)到直線【解析】【分析】（1）先利用拋物線的定義得到曲線C的方程，再由直線方程和曲線方程聯(lián)立，結(jié)合過焦點(diǎn)的弦長公式即可得到結(jié)果；

（2）設(shè)拋物線C上任意點(diǎn)P(y024，19．【答案】（1）解：在正方體ABCD?A1B以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1的方向分別為x，y，則D(0，設(shè)A1D與EF所成角為θ，所以A1D與EF所成角的大小是（2）解：平面B1D1設(shè)平面CB1D1的一個(gè)法向量為則n?D1C=y?z=0設(shè)n，DD1的夾角為α，所以二面角C?D1B（3）解：設(shè)M(0，y，0)，設(shè)A1M與平面B1C1所以當(dāng)DM=13DC，即點(diǎn)M是線段DC靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，A1【解析】【分析】（1）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1的方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，算出A1D→，EF→的坐標(biāo)，利用異面直線所成角的向量公式可得結(jié)果；

（2）易得平面B1D1C1的一個(gè)法向量為DD1=(0，0，1)，再求出平面CB1D1的一個(gè)法向量n→20．【答案】（1）解：因?yàn)閍n=?1，n=12a所以{an+3}是以所以an+3=2n，則設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，由b可得2(b1所以bn（2）解：由（1）可得cn又cosn則c所以T+=?2×其中?3+2×3?3×3+4×3+…?==3+3+…+3=3n，則T=?22n3所以T2n?1<0，顯然{T2n}是遞增數(shù)列，T10=697，T【解析】【分析】（1）將an=2an?1+3該寫成an+3=2(an?1+3)，進(jìn)一步結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出an，求bn直接利用基本量的辦法即可；

（2）先化簡21．【答案】（1）解：依題意，a2?b2=1，由點(diǎn)(1，所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：①由（1）知，A(0，1)，B(由x2+2y2=2于是x1+x2=則2x=x1+當(dāng)k≠0時(shí)，兩式相除得k=x?2y，代入上式化簡得當(dāng)k=0時(shí)，線段CD的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)(0所以Q的軌跡方程為x2+x+2y②由直線l的方程y=k(x+1)，得點(diǎn)M(0因此k≠0，當(dāng)M點(diǎn)異于A、B點(diǎn)時(shí)，設(shè)N(由B，N，C三點(diǎn)共線，得y1+1x1=y0+1