思維導(dǎo)圖第4章因式分解思維導(dǎo)圖【類型覆蓋】類型一、已知代數(shù)式的值，因式分解求值【解惑】已知，，則代數(shù)式的值為（

）A． B．25 C． D．45【答案】D【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用、求代數(shù)式的值，將式子因式分解為，代入計(jì)算即得解．【詳解】解：∵，，∴，∴，故選：D．【融會(huì)貫通】1．已知，，則代數(shù)式的值是（）A．2 B． C．15 D．【答案】D【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用以及用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問題．本題的關(guān)鍵是把所求代數(shù)式分解因式．由題意利用分組分解的方法把因式分解，再利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：∵，∵，，∴，故選：D．2．如果滿足，那么代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解--公式法，把代數(shù)式分解得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：∵滿足，∴∴，故答案為：3．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式把所求式子變形為，進(jìn)一步變形得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．類型二、整除問題【解惑】可以被60和70之間某兩個(gè)數(shù)整除，這兩個(gè)數(shù)是（

）A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67【答案】C【分析】本題考查了平方差公式．利用平方差因式分解即可求解．【詳解】解：∵，∴能被和整除，∵，，∵，，∴能被65和63整除，∴這兩個(gè)數(shù)為：65和63．故選：C．【融會(huì)貫通】1．若n為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被3整除 B．被4整除 C．被4n整除 D．被2024整除【答案】B【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解后，判斷即可．【詳解】解：，故的值總能被4整除；故選B．2．分解因式；若a是整數(shù)，則一定能被整數(shù)k（k是一位整數(shù)）整除，整數(shù)k的最大值是．【答案】6【分析】此題考查了因式分解以及應(yīng)用，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，然后得到，，是三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：；∵a是整數(shù)，∴，，是三個(gè)連續(xù)的整數(shù)∴能被，，，整除∴整數(shù)k的最大值是6．故答案為：，6．3．（1）設(shè)是一個(gè)四位數(shù)（表示千位上的數(shù)字，表示百位上的數(shù)字，表示十位上的數(shù)字，表示個(gè)位上的數(shù)字），若可以被9整除，請(qǐng)你證明這個(gè)數(shù)也可以被9整除；（2）用問題（1）的結(jié)論，驗(yàn)證一下2025能否被9整除．【答案】（1）見詳解；（2）能，驗(yàn)證見詳解【分析】本題考查了整式加法的應(yīng)用，因式分解；（1）將這個(gè)數(shù)化為，即可得證；（2）可得能被9整除，即可驗(yàn)證；能用因式分解將表示數(shù)的整式化為能被9整除的和是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：能被9整除能被9整除，能被9整除，這個(gè)數(shù)能被9整除；（2）能被9整除能被9整除．類型三、規(guī)律問題【解惑】數(shù)學(xué)小組在研究式子時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)M，N是具有某種關(guān)聯(lián)關(guān)系的兩位數(shù)時(shí)，具有一定的運(yùn)算規(guī)律：①②③④根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：(1)填空：；(2)若兩位數(shù)M，十位上的數(shù)字為a，個(gè)位上的數(shù)字為b，寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并加以證明；(3)小智發(fā)現(xiàn)某一式子的結(jié)果恰好是一個(gè)整數(shù)的平方，直接寫出M的值．【答案】(1)3(2)，見解析(3)65【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，能根據(jù)所給等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中所給等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．（2）用含a，b的等式表示出（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并進(jìn)行證明即可．（3）根據(jù)題意建立關(guān)于a，b的等式，再進(jìn)行分析即可．【詳解】（1）解：由題知，因?yàn)椋?，，，所以．故答案為?．（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：．證明如下：左邊＝右邊，故此等式成立．（3）因?yàn)榈慕Y(jié)果恰好是一個(gè)整數(shù)的平方，所以是一個(gè)整數(shù)的平方．因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，解得，所以．【融?huì)貫通】1．觀察個(gè)位上的數(shù)字是5的兩位數(shù)的平方（任意一個(gè)個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)可用代數(shù)式來表示，其中，n為正整數(shù)），會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律．請(qǐng)你仔細(xì)觀察，探索其規(guī)律．第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；…(1)寫出第4個(gè)等式：_______；(2)用含n的等式表示你的猜想并證明；(3)計(jì)算：=_______．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）通過觀察可得第4個(gè)式子；（2）通過觀察可得第n個(gè)式子，根據(jù)完全平分公式進(jìn)行換算即可證明答案；（3）利用規(guī)律逆向計(jì)算，再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：第4個(gè)等式為：，故答案為：；（2）解：猜想用含n的等式表示為：，證明：，故用含n的等式表示為：；（3）解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的式子，找到式子規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（1）填空：第一行：________；第二行：________；第三行：________；第四行：________．（2）找出規(guī)律，寫出第n行的等式：________；（3）請(qǐng)說明第行等式成立的理由．【答案】（1）1；25；121；361（2）（3）見解析【分析】本題考查了規(guī)律型:數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法和加法可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果；（2）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以寫出第n行的等式；（3）根據(jù)因式分解的方法可以說明第n行等式成立的理由．【詳解】解：（1）第一行：；第二行：；第三行：；第四行：；故答案為：1；25；121；361；（2）第n行的等式是：，故答案為：；（3）證明：∵∴3．實(shí)踐與探究：事實(shí)上，在數(shù)字的運(yùn)算中，蘊(yùn)含著很多奧秘，例如下列等式：……(1)根據(jù)上述三個(gè)等式的規(guī)律，請(qǐng)直接寫出第四個(gè)等式；(2)根據(jù)上述規(guī)律，寫出第n個(gè)等式(用含有字母n的代數(shù)式表示)，請(qǐng)通過運(yùn)算說明該等式成立；(3)運(yùn)用（2）中的結(jié)論，把因式分解；【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】此題考查了此題考查數(shù)字類變化規(guī)律，平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算，利用提公因式法因式分解，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．（1）根據(jù)上面式子的規(guī)律即可寫出第4個(gè)式子；（2）探索以上式子的規(guī)律，結(jié)合（1）即可寫出第n個(gè)等式，然后根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算證明即可；（3）首先由得到，然后利用提公因式法分解因式即可．【詳解】（1）∵∴第四個(gè)等式為；（2）由（1）中的規(guī)律可得，第n個(gè)等式為證明如下：；（3）．類型四、智慧數(shù)問題【解惑】在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，比如：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如：，，，我們稱12，20，28這三個(gè)數(shù)為“智慧數(shù)”(1)40________“智慧數(shù)”，44________“智慧數(shù)”．（填“是”或“不是”）(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)是和（其中n取正整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“智慧數(shù)”是8的倍數(shù)嗎？為什么？(3)如圖，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從2開始的連續(xù)偶數(shù)．…，按此規(guī)律拼疊到正方形，其邊長(zhǎng)為200，求陰影部分的面積．【答案】(1)40不是“智慧數(shù)”，44是“智慧數(shù)”(2)由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“智慧數(shù)”不是8的倍數(shù)(3)20200【分析】（1）根據(jù)“智慧數(shù)”的定義進(jìn)行判定；（2）根據(jù)新定義列代數(shù)式，再進(jìn)行因式分解；（3）根據(jù)題意列代數(shù)式，再依據(jù)（2）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算求解．【詳解】（1）解：，40不是“智慧數(shù)”，44是“智慧數(shù)”；（2）解：，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“智慧數(shù)”不是8的倍數(shù)；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，定義新運(yùn)算，利用（2）的結(jié)論求（3）是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．若一個(gè)整數(shù)能表示成（，是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“智慧數(shù)”．例如：是“智慧數(shù)”，因?yàn)?；再如：（，是整?shù)），所以也是“智慧數(shù)”．（1）請(qǐng)你再寫一個(gè)小于的“智慧數(shù)”，并判斷是否為“智慧數(shù)”（填是或者否）；（2）已知（，是整數(shù)），是常數(shù)，要使為“智慧數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)值，并說明理由；（3）如果數(shù)，都是“智慧數(shù)”，試說明也是“智慧數(shù)”．【答案】（1）之一均可；是；（2），見解析；（3）見解析【分析】（1）利用“完美數(shù)”的定義可得；（2）利用配方法，將S配成完美數(shù)，可求k的值（3）根據(jù)完全平方公式，可證明mn是“完美數(shù)”；【詳解】解：（1）∵8＝22＋22∴8是完美數(shù)，之一均可是智慧數(shù)；故答案為之一均可；是；（2）∵S＝x2＋4y2＋4x?12y＋k＝（x＋2）2＋（2y?3）2＋k?13∴k＝13時(shí)，S是智慧數(shù)（3），都是“智慧數(shù)”設(shè)，∴===（ac＋bd）2＋（ad?bc）2為整數(shù)則和也是整數(shù)∴是“智慧數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的運(yùn)用，閱讀理解題目表述的意思是本題的關(guān)鍵．2．一個(gè)形如的五位自然數(shù)（其中a表示該數(shù)的萬位上的數(shù)字，b表示該數(shù)的千位上的數(shù)字，c表示該數(shù)的百位上的數(shù)字，d表示該數(shù)的十位上的數(shù)字，e表示該數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字，且），若有且，則把該自然數(shù)叫做“對(duì)稱數(shù)”，例如在自然數(shù)12321中，，則12321是一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”.同時(shí)規(guī)定：若該“對(duì)稱數(shù)”的前兩位數(shù)與后兩位數(shù)的平方差是693的奇數(shù)倍，則稱該“對(duì)稱數(shù)”為“智慧對(duì)稱數(shù)”.如在“對(duì)稱數(shù)”43734中，，則43734是一個(gè)“智慧對(duì)稱數(shù)”．(1)將一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時(shí)，將千位上與萬位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后的這兩個(gè)“對(duì)稱數(shù)”為一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”．例如：12321與21312為一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”，求證：任意的一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”之和是最小“對(duì)稱數(shù)”的倍數(shù)；(2)求出所有的“智慧對(duì)稱數(shù)”中的最大“智慧對(duì)稱數(shù)”．【答案】(1)見解析(2)最大的“智慧對(duì)稱數(shù)”為81918【分析】（1）根據(jù)新定義表示一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”，相加變形后可得結(jié)論；（2）根據(jù)“智慧對(duì)稱數(shù)”表示這兩個(gè)數(shù)：和，作平方差列式：，且被7的奇數(shù)倍整除，進(jìn)行分類討論即可確定結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵“對(duì)稱數(shù)”：，“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”：，∴，∵，∴，∵，，∴，∵最小“對(duì)稱數(shù)”是11211，∴，∵a、b都是正整數(shù)，∴能被11211整除，∴任意的一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”之和是最小“對(duì)稱數(shù)”的倍數(shù)；（2）解：由（1）知五位“對(duì)稱數(shù)”形式為，若此“對(duì)稱數(shù)”為“智慧對(duì)稱數(shù)”，，且被7的奇數(shù)倍整除.∵，，∴，∴，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，不符合題意，∴所有的“智慧對(duì)稱數(shù)”為：43734，34743，52725，61716，16761，81918，18981．∴最大的“智慧對(duì)稱數(shù)”為81918．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用、新定義和多位數(shù)的表示方法，比較復(fù)雜，理解“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”和“智慧對(duì)稱數(shù)”的定義并熟練掌握因式分解是關(guān)鍵．3．大自然中就充滿了各種各樣的神秘?cái)?shù)字和規(guī)律．如，神秘的數(shù)字7，彩虹有7種顏色、音樂有7個(gè)基本音階等；“勾股數(shù)”，能夠構(gòu)成直角三角形三條邊．小明研究正整數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：有的正整數(shù)能夠表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，并把這類正整數(shù)稱為“偶像數(shù)”．如，，則4，12稱為“偶像數(shù)”．(1)試寫出一個(gè)“偶像數(shù)”，并表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差；(2)求證：任意的“偶像數(shù)”都能被4整除．【答案】(1)20，(2)見解析【分析】本題主要考查平方差公式，理解新定義，熟練掌握平方差公式的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“偶像數(shù)”的定義寫出一個(gè)“偶像數(shù)”即可；（2）根據(jù)題意用兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差表示出“偶像數(shù)”，利用平方差公式化簡(jiǎn)即可判斷；【詳解】（1）“偶像數(shù)”20（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為和，其中n為自然數(shù)為自然數(shù)為整數(shù)能夠被4整除即任意的“偶像數(shù)”都能被4整除類型五、新定義問題【解惑】【新定義】如果a，b都是非零整數(shù)，且，那么就稱a是“4倍數(shù)”．【驗(yàn)證】嘉嘉說：是“4倍數(shù)”，淇淇說：也是“4倍數(shù)”，通過簡(jiǎn)便計(jì)算判斷他們說得對(duì)錯(cuò)？【證明】設(shè)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間數(shù)是（n是整數(shù)），通過計(jì)算說明這三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是“4倍數(shù)”．【答案】驗(yàn)證：嘉嘉的說法正確，淇淇的說法錯(cuò)誤證明：證明見解析【分析】驗(yàn)證：利用平方差公式及有理數(shù)的乘法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論；證明：利用完全平方公式將展開，然后合并同類項(xiàng)，再提公因式，將其變形為，于是結(jié)論得證．【詳解】解：驗(yàn)證：，是“4倍數(shù)”，故嘉嘉的說法正確；，不是“4倍數(shù)”，故淇淇的說法錯(cuò)誤；證明：，是整數(shù)，是整數(shù)，這三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是“4倍數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，有理數(shù)乘法運(yùn)算律，整式的四則混合運(yùn)算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．定義：如果一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和等于十位數(shù)字，則稱這個(gè)三位數(shù)為“和諧數(shù)”．如264，因?yàn)樗陌傥粩?shù)字2與個(gè)位數(shù)字4之和等于十位數(shù)字6，所以264是“和諧數(shù)”．(1)最小的“和諧數(shù)”是______，最大的“和諧數(shù)”是______；(2)試說明“和諧數(shù)”一定能被11整除．【答案】(1)110；990(2)見解析【分析】此題考查了利用分解因式的應(yīng)用．（1）按照題意寫出最小的“和諧數(shù)”與最大的“和諧數(shù)”即可；（2）可設(shè)“和諧數(shù)”為，則有，再通過計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)和諧數(shù)百位上的數(shù)是a，十位上的數(shù)為b，個(gè)位上的數(shù)為c，由題意，得，要想求最小的和諧數(shù)，就是a最小時(shí)，a最小是1，b最小是，此時(shí)c最小是0，所以最小的“和諧數(shù)”時(shí)110；最大的“和諧數(shù)”，就是a最大時(shí)，a最大是9，十位上b最大是9，此時(shí)，所以最大的“和諧數(shù)”是990．由題意可得：最小的“和諧數(shù)”是110，最大的“和諧數(shù)”是990；故答案為：110；990；（2）解：設(shè)這個(gè)“和諧數(shù)”（百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c），由題意，得，∴“和諧數(shù)”為，則有：，∵a，b是整數(shù)，∴是整數(shù)，∴任意“和諧數(shù)”一定能被11整除．2．若將自然數(shù)中能被整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)稱為“倍點(diǎn)”，取任意的一個(gè)“倍點(diǎn)”，到點(diǎn)距離為的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別記為，，定義：若數(shù)，則稱數(shù)為“尼爾數(shù)”，例如：若所表示的數(shù)為，則，，那么，若所表示的數(shù)為，則，，那么，所以，是“尼爾數(shù)”．(1)請(qǐng)直接判斷和是不是“尼爾數(shù)”，并且證明所有“尼爾數(shù)”一定被除余；(2)已知兩個(gè)“尼爾數(shù)”的差是，求這兩個(gè)“尼爾數(shù)”．【答案】(1)6不是，39是；證明見解析(2)，或，【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識(shí)的遷移能力，理解“尼爾數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“尼爾數(shù)”的定義，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，則，，數(shù)，令，解方程，如果的解中有能被整除的自然數(shù)，那么是“尼爾數(shù)”，否則不是；同理可判斷是不是“尼爾數(shù)”；令是自然數(shù)，然后證明被除余即可；（2）設(shè)這兩個(gè)“尼爾數(shù)”分別是，、都是自然數(shù)，根據(jù)兩個(gè)“尼爾數(shù)”的差是列出方程，整理，得，根據(jù)、都是自然數(shù)，求出、的值，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，則，，數(shù)．令，，，不能被整除，不是“尼爾數(shù)”；令，，，是能被整除的自然數(shù)，是“尼爾數(shù)”；令是自然數(shù)，，而，所有“尼爾數(shù)”一定被除余；（2）解：設(shè)這兩個(gè)“尼爾數(shù)”分別是，、都是自然數(shù)，根據(jù)題意，得，整理，得．、都是自然數(shù)，，或，解得，或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．故這兩個(gè)“尼爾數(shù)”是，或，．3．定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如（為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減運(yùn)算與整式的加、減運(yùn)算類似，復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的乘方運(yùn)算類似，例如：；；；根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)填空：______，______，______；(2)化簡(jiǎn)：；(3)請(qǐng)你參照這一知識(shí)，將分解成兩個(gè)復(fù)數(shù)的積．【答案】(1)，，；(2)(3)【分析】本題考查因式分解，讀懂定義，能利用復(fù)數(shù)的定義對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算解題；（2）根據(jù)定義可知，且個(gè)結(jié)果為一組循環(huán)，由此求解即可；（3）將原式化為，再因式分解即可．【詳解】（1）解：，，，故答案為：，，；（2）解：；（3）解：，．類型六、配方法求最值【解惑】先閱讀材料內(nèi)容，再解決問題：①若，求m和n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．②已知x為實(shí)數(shù)，求的最小值．解：∵而∴有最小值2(1)若，求的值；(2)設(shè)、為實(shí)數(shù)，求的最小值．【答案】(1)(2)3【分析】本題考查了完全平方公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．（1）先利用完全平方公式分解因式，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性求出x，y的值，然后代入的值；（2）先利用完全平方公式分解因式，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性求解即可．【詳解】（1）解：∵∴∴，∴，∴（2）解：∵而，∴有最小值3【融會(huì)貫通】1．我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變（恒等變形）．這可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等問題．例如：(1)分解因式：________．(2)求代數(shù)式的最小值：，對(duì)于代數(shù)式，無論x取何值，都大于或等于0，再加上，則，故的最小值為________．請(qǐng)完成上面的填空．(3)根據(jù)材料解決下列問題：①分解因式：【請(qǐng)仿照（1）進(jìn)行解答】________．②多項(xiàng)式是否有最大值？若有，請(qǐng)求出最大值．【答案】(1)(2)(3)①；②5【分析】本題考查了配方法因式分解、配方法求代數(shù)式的最值、完全平方公式，熟記公式，讀懂材料，掌握配方法的步驟和運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．（1）利用平方差公式分解即可；（2）根據(jù)閱讀材料即可得出結(jié)果；（3）①根據(jù)材料中方法求解即可；②利用配方法將多項(xiàng)式，轉(zhuǎn)化為，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：；（2）解：根據(jù)題意：的最小值為；（3）解：①原式；②，對(duì)于代數(shù)式，無論x取何值，都小于或等于0，再加上5，則，故的最大值為5．2．閱讀理解并解答：我們把多項(xiàng)式，叫做完全平方式，在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式．同樣地，把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行部分因式分解可以來解決求代數(shù)式值的最大（或最?。┲祮栴}．(1)例如：①，是非負(fù)數(shù)，即，，則這個(gè)代數(shù)的最小值是2，這時(shí)相應(yīng)的的值是，②，是非負(fù)數(shù)，即，，則這個(gè)代數(shù)式的最小值是______，這時(shí)相應(yīng)的的值是_______；(2)知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)______時(shí)，代數(shù)式的最小值是______；(3)知識(shí)運(yùn)用：若，當(dāng)______時(shí)，有最______值（填“大”或“小”），這個(gè)值是______；(4)知識(shí)拓展：若，求的最小值．【答案】(1)，3(2)2，1(3)1，大，3(4)【分析】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，由此即可得；（2）利用完全平方公式可得，根據(jù)是非負(fù)數(shù)求解即可得；（3）利用完全平方公式可得，根據(jù)是非負(fù)數(shù)求解即可得；（4）先根據(jù)已知等式可得，再利用完全平方公式可得，根據(jù)是非負(fù)數(shù)求解即可得．【詳解】（1）解：∵，∴這個(gè)代數(shù)式的最小值是，此時(shí)，∴這個(gè)代數(shù)式取得最小值時(shí)，相應(yīng)的的值是，故答案為：，3．（2）解：，∵是非負(fù)數(shù)，即，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為1，故答案為：2，1．（3）解：，∵是非負(fù)數(shù)，即，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值，最大值為3，故答案為：1，大，3．（4）解：，，則，∵是非負(fù)數(shù)，即，∴，∴的最小值為．3．用配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例如，①用配方法因式分解：，原式；②若，利用配方法求M的最小值：，∵，∴當(dāng)時(shí)，M有最小值6．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)用配方法分解因式：；(2)若，求M的最小值及a的值；(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，M有最小值．(3)【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用．（1）利用配方法得到，再利用平方差公式分解因式即可；（2）利用配方法得到，再由，即可得到答案；（3）由配方法得到，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到字母的值，代入代數(shù)式求值即可．【詳解】（1）解：（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，M有最小值．（3）∵∴則，則，∴類型七、求證問題【解惑】已知整數(shù)，，，．滿足，．(1)求證：為正數(shù)；(2)若為偶數(shù)，判斷是否可以為奇數(shù)，說明你理由．【答案】(1)證明見詳解(2)不可以，理由見詳解【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、奇數(shù)和偶數(shù)的識(shí)別等知識(shí)，熟練掌握完全平方公式的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非負(fù)性質(zhì)即可證明．（2）由，，，為整數(shù)，為偶數(shù)，可得出為偶數(shù)，進(jìn)而可得出為偶數(shù)，為偶數(shù)，若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則為奇數(shù)，與為偶數(shù)矛盾，則不可以為奇數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴∵，則∴為正數(shù)．（2）不可以，理由如下：∵，，，為整數(shù)，為偶數(shù)，∴為偶數(shù)，∵，∴為偶數(shù)，∴，同為偶數(shù)或者同為奇數(shù)，∴為偶數(shù)，若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，∴為奇數(shù)，∴為奇數(shù)與為偶數(shù)矛盾，∴不可以為奇數(shù)．【融會(huì)貫通】1．求證：是一個(gè)完全平方數(shù)．【答案】見解析【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．設(shè)，將原式整理成，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可證明．【詳解】解：設(shè)，則，原式，是一個(gè)完全平方數(shù)．2．已知實(shí)數(shù)a，b，c，m，n滿足，．求證：為非負(fù)數(shù)．【答案】見解析【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、分式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考的運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力．根據(jù)題意得出，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；【詳解】證明：，，，．則，，，是實(shí)數(shù)，，為非負(fù)數(shù)．3．若、、為非零實(shí)數(shù)，且，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，平方差公式，先分組再綜合運(yùn)用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分組分解因式的思想方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】證明：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．類型八、十字相乘法【解惑】分解因式：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分解因式，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方差公式分解因式即可；（2）根據(jù)十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：．（2）解：∵常數(shù)項(xiàng)，而，為一次項(xiàng)系數(shù)，∴．【融會(huì)貫通】1．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為，得，則．．解得：．另一個(gè)因式為的值為，解法二：二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，當(dāng)，即時(shí)，．把代入，得，而．問題：仿照以上兩種方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及的值．【答案】另一個(gè)因式為的值為20【分析】本題主要考查整式的運(yùn)算，因式分解的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)材料解法一提示設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)因式分解的方法展開，再根據(jù)同類項(xiàng)的知識(shí)即可求解；根據(jù)材料解法二提示當(dāng)時(shí)，解出的值代入二次三項(xiàng)式求出的值，再進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：解法一：設(shè)另一個(gè)因式為，由題意得：，則，解得：，另一個(gè)因式為的值為20．解法二：二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，當(dāng)，即時(shí)，，把代入，得，而．另一個(gè)因式是的值為20．2．閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，還有分組分解法、拆項(xiàng)法、配方法等．一般情況下，我們需要綜合運(yùn)用多種方法才能解決問題．例如：分解因式：．解：原式第1步：拆項(xiàng)法，將拆成和第2步：分組分解法，通過添括號(hào)進(jìn)行分組第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)第4步：提公因式法(整體)；第5步：十字相乘法，最后結(jié)果分解徹底(1)請(qǐng)你試一試分解因式：；(2)請(qǐng)你試一試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意原式可化為，再提取公因式可得，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行分解因式可得，再提取公因式可得，可化為，應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行分解因式即可得出答案；（2））原式可化為再提取公因式可得，再提取公因式可得，再應(yīng)用實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式即可得出答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．3．閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法．（1）二次項(xiàng)系數(shù)（2）常數(shù)項(xiàng)，驗(yàn)算：“交叉相乘之和”．①；②；③；④（3）發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)系數(shù)，即，則．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．仿照以上方法分解因式．二次項(xiàng)系數(shù)_________________．常數(shù)項(xiàng)____________．發(fā)現(xiàn)“交叉相乘之和”的結(jié)果______________________________等于一次項(xiàng)系數(shù)______，則______．【答案】見解析【分析】本題考查利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，解答關(guān)鍵是仿照例題方法解題．根據(jù)題意利用十字相乘解題即可．【詳解】解：二次項(xiàng)系數(shù)．常數(shù)項(xiàng)發(fā)現(xiàn)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)系數(shù)，則．類型九、分組分解法【解惑】分解因式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是：（1）直接提取公因式x即可；（2）先提取公因式，然后根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（3）原式先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（4）第一個(gè)括號(hào)先提取公因式a，然后兩個(gè)括號(hào)間提取公因式即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【融會(huì)貫通】1．解答下列各題：(1)分解因式：；(2)若a，b()都是正整數(shù)且滿足，求的值；(3)若a，b為實(shí)數(shù)且滿足，，求S的最小值．【答案】(1)；(2)8；(3)6．【分析】（1）利用分組分解法解答即可；（2）利用因式分解法，求解后求的值即可；（3）根據(jù)，得，代入，構(gòu)造實(shí)數(shù)的非負(fù)性，求S的最小值．本題考查了因式分解，解方程組，實(shí)數(shù)的非負(fù)性求最值，熟練掌握因式分解，實(shí)數(shù)的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：．（2）解：，∵,,∴,∴,∴,解得，故．（3）解：由，得，∴，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，∴S的最小值為6．2．先閱讀，再解決問題：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式分解的方法叫分組分解法．例如：．(1)分解因式：；(2)若，求m和n的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、分組法因式分解等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用分組法進(jìn)行因式分解成為解題的關(guān)鍵．（1）先將原式分組后進(jìn)行因式分解即可；（2）先將原式分組后進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列二元一次方程組求解即可．【詳解】（1）解：．（2）解：∵，∴，∴，∴，解得：．3．因式分解課后，老師給同學(xué)們布置了如下作業(yè)．因式分解：．小明：將“”看成整體，令，則原式，再將“A”還原，可以得到原式．張老師：上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)大家仿照小明的做法完成下列題目．(1)因式分解：．(2)因式分解：．(3)因式分解：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．（1）直接利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（2）分組后然后利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（3）將看成整體，令，進(jìn)行因式分解，再將“B”還原代入，再次因式分解即可．【詳解】（1）解：（2）解：；（3）解：令，則．將代入，得原式．類型十、因式分解的圖形應(yīng)用【解惑】根據(jù)以下素材，完成三個(gè)任務(wù)：以下所有拼接的圖形都是拼成既沒有縫隙也沒有重疊的圖形．素材一某綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備了如圖所示的三種卡片，其中型卡片是邊長(zhǎng)為的正方形，型卡片是長(zhǎng)為寬為的長(zhǎng)方形，且．素材二將1張型卡片沿對(duì)角線剪開，得到兩張直角三角形卡片．素材三小組操作發(fā)現(xiàn)，將2張型卡片，3張型卡片（所拼成的長(zhǎng)方形既沒有縫隙也沒有重疊）．得到了一個(gè)代數(shù)恒等式：．【問題解決】【任務(wù)1】用1張型和2張型卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，用含的代數(shù)式表示這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；【任務(wù)2】現(xiàn)共有10張型卡片，25張型卡片和18張型卡片，請(qǐng)你選取若干張卡片，將取出的這些卡片拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)你列舉兩種拼正方形的方案（寫出各種型號(hào)的卡片數(shù)量和相應(yīng)的正方形的邊長(zhǎng)；其中一種方案正方形的邊長(zhǎng)要最大）；【任務(wù)3】將2張型卡片剪成4張直角三角形卡片，再從型卡片中挑選若干張（長(zhǎng)方形除外）．請(qǐng)畫出示意圖，并寫出與該平行四邊形的面積相關(guān)的代數(shù)恒等式．（用含的數(shù)學(xué)等式表示）要求：4張直角三角形卡片全部使用；型卡片至少選一種；拼出的平行四邊形的面積最小才能得滿分．【答案】任務(wù)1：圖見解析，周長(zhǎng)為：；任務(wù)2：①，②，③，②，圖案見解析；任務(wù)3：圖見解析：．【分析】本題考查了圖形與乘法公式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．任務(wù)1：根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式求解；任務(wù)2：根據(jù)完全平方公式求解；任務(wù)3：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解．熟練掌握完全平方公式和因式分解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：任務(wù)1：如圖所示：周長(zhǎng)為：；任務(wù)2：如圖所示：，現(xiàn)共有9張型卡片，24張型卡片和16張型卡片；如圖所示：，現(xiàn)共有1張型卡片，2張型卡片和1張型卡片；如圖所示：，現(xiàn)共有4張型卡片，4張型卡片和1張型卡片；如圖所示：，現(xiàn)共有1張型卡片，4張型卡片和4張型卡片；任務(wù)3：如圖所示：．【融會(huì)貫通】1．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到的數(shù)學(xué)等式為．請(qǐng)解答下列問題：(1)圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式為___________：(2)請(qǐng)利用第（1）小題中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；(3)小靈同學(xué)用2張邊長(zhǎng)為的正方形，3張邊長(zhǎng)為的正方形，7張兩邊分別為的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)大長(zhǎng)方形，請(qǐng)你直接寫出該大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬．【答案】(1)(2)19(3)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為【分析】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、因式分解的應(yīng)用，利用面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積各矩形的面積之和求解即可；（2）將，，代入（1）中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由題意得，再分解因式即可得到答案．【詳解】（1）解：從總體看，大正方形的邊長(zhǎng)為，面積為；從部分看，圖形的面積為；∴；（2）解：∵，，∴∴；（3）解：由題意可知：，∴大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為．2．如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m，寬為n的全等小長(zhǎng)方形，且．（單位：）(1)觀察圖形，并解答問題：①代數(shù)式可以因式分解為______；②若長(zhǎng)方形紙板面積為，每塊小長(zhǎng)方形的面積為，試求圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和；(2)若再給一塊邊長(zhǎng)都為n的小正方形，和兩塊長(zhǎng)為m、寬為n的小長(zhǎng)方形，請(qǐng)用給出的所有圖形拼湊出一個(gè)長(zhǎng)方形，并畫出這個(gè)長(zhǎng)方形，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)①

②(2)圖見解析；【分析】本題考查了圖形面積與整式的因式分解，完全平方公式的變形應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵；（1）①由面積關(guān)系，即面積為的長(zhǎng)方形等于長(zhǎng)為、寬為的面積，由此即可求解；②由題意得：，由此可求得，由完全平方公式可求得的值，而所有裁剪線長(zhǎng)的和為，代入即可求解；（2）拼成的長(zhǎng)方形一邊為，另一邊為，畫出圖形，計(jì)算出面積即可得到因式分解的結(jié)果．【詳解】（1）解①由面積相等，得；故答案為：；②，，，，，，∴圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和為：；（2）解：如圖，．3．綜合與實(shí)踐“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，在探究“因式分解”時(shí)，我們借助直觀、形象的幾何模型，轉(zhuǎn)化成“幾何”形式來求解．運(yùn)用到了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．下面，讓我們一起來探索其中的規(guī)律．【實(shí)踐操作】如下圖我們通過對(duì)立體圖形的體積進(jìn)行變換來得到一些代數(shù)恒等式．（1）如圖1，在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，再把剩余立體圖形切割（如圖2），得到三個(gè)長(zhǎng)方體①、②、③（如圖3）．易得長(zhǎng)方體①的體積為．則長(zhǎng)方體②的體積為______，長(zhǎng)方體③的體積為______（結(jié)果不需要化簡(jiǎn)）．則因式分解______．【拓展延伸】（2）嘗試因式分解：【答案】（1）；；；（2）【分析】本題考查因式分解的幾何應(yīng)用、列代數(shù)式，根據(jù)題中給出的信息，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)幾何體各邊關(guān)系，結(jié)合長(zhǎng)方體和正方體的體積公式求解即可；（2）將（1）中的b換為，進(jìn)而化簡(jiǎn)求解即可；【詳解】解：（1）由圖1知，長(zhǎng)方體②的體積為，長(zhǎng)方體③的體積為，∴，故答案為：；；；（2）將（1）中的b換成，則，∴．【一覽眾山小】1．下列六個(gè)多項(xiàng)式中，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，能因式分解的有（）個(gè)①

②

③

④

⑤

⑥A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查因式分解的意義，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式是解題關(guān)鍵．根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案．【詳解】解：①；②不能因式分解；③，④不能因式分解；⑤；⑥，綜上可知，能因式分解的是①③⑤⑥，共4個(gè)，故選：B．2．下面有三個(gè)結(jié)論：①兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)；②兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)；③任意一個(gè)個(gè)位數(shù)是5的整數(shù)平方后一定是25的倍數(shù)．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】本題考查的是利用平方差公式分解因式，因式分解的應(yīng)用；設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為，，再利用因式分解可判斷①，設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為，，再利用因式分解可判斷②，設(shè)個(gè)位數(shù)為的整數(shù)為，再進(jìn)一步可判斷③．【詳解】解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為，，則，∵n為整數(shù)，所以中的是正奇數(shù)，∴是4的倍數(shù)，故兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)．故①不符合題意；設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為，，則，∵n為整數(shù)，所以中的是正奇數(shù)，∴是8的倍數(shù)，故兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)．故②符合題意；設(shè)個(gè)位數(shù)為的整數(shù)為，∴，∴任意一個(gè)個(gè)位數(shù)是5的整數(shù)平方后一定是25的倍數(shù)，故③符合題意；故選：C．3．若，則的值為（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】此題考查了因式分解和整式混合運(yùn)算，根據(jù)題意求出，，即可求出的值．【詳解】解∶∵，∴，∵，∴，∴解得，∴．即∵∴解得故選：C．4．分解因式：．【答案】【分析】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知提取公因式法和平方差公式因式分解的運(yùn)用；根據(jù)提取公因式法和平方差公式因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．5．若多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，那么．【答案】2【分析】本題考查了因式分解的意義，由多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，可設(shè)另一個(gè)因式為，可得．掌握因式分解的意義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為，則，即，解得．故答案為：2．6．分解因式：．【答案】【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：故答案為：．7．若一個(gè)兩位正整數(shù)a的十位上的數(shù)字為m，個(gè)位上的數(shù)字為n，且滿足．(1)寫出符合條件的所有數(shù)a；(2)若，，且p，q為正整數(shù)，求的值．【答案】(1)12或21或30；(2)．【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，巧用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．（1）由，對(duì)m，n進(jìn)行取值