/安徽省黃山市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．有一組數(shù)據(jù)為：5，6，7，7，8，9，9，10，10，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）A．6 B．8 C．9 D．7.52．設(shè)為直線，，兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．，且，則 B．，且，則C．，且，則 D．，且，則3．已知平面向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．4．設(shè)事件與事件滿足：，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與事件不是相互獨(dú)立事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件C．事件與事件是相互獨(dú)立事件 D．事件與事件不是相互獨(dú)立事件5．如果復(fù)數(shù)滿足，那么復(fù)數(shù)可能是（

）A． B． C． D．6．“黃梅時(shí)節(jié)家家雨，青草池塘處處蛙”，黃梅時(shí)節(jié)就是梅雨季節(jié)，每年6月至7月會(huì)出現(xiàn)持續(xù)天陰有雨的天氣，它是一種自然氣候現(xiàn)象．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，長(zhǎng)江中下游某地區(qū)在黃梅時(shí)節(jié)每天下雨的概率為．假設(shè)每天是否下雨互不影響，則該地區(qū)黃梅時(shí)節(jié)連續(xù)三天中至少有兩天下雨的概率為（

）A． B． C． D．7．中，，.為中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，將沿翻折，使到的位置，且平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．定義域在的函數(shù)圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為、，向量，設(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，其中，，若不等式恒成立，則稱函數(shù)是定義在上的“級(jí)線性近似函數(shù)”，其中最小的正實(shí)數(shù)稱為該函數(shù)的線性近似系數(shù)，現(xiàn)給出下列兩個(gè)定義在上的函數(shù)：（1）；（2）則這兩個(gè)函數(shù)的線性近似系數(shù)的和為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有100個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為50的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是C．當(dāng)總體由有明顯差異的幾部分構(gòu)成時(shí)，可以采用分層隨機(jī)抽樣D．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為9，則數(shù)據(jù)，，，標(biāo)準(zhǔn)差為8110．如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則（

）A． B．C． D．11．如圖，正方形的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．與平面所成的角的正弦值為C．始終為鈍角三角形D．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知是虛數(shù)單位，，則.13．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，每輪比賽甲、乙各射擊一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率為，每輪比賽中甲、乙兩人射擊的結(jié)果互不影響，若在一輪射擊中，恰好有一人中靶的概率為，則.14．如圖1，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，直線平面，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足.（如圖2）.記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，則下列四個(gè)判斷中，正確的個(gè)數(shù)有個(gè).①

②

③

④.

四、解答題（本大題共5小題）15．從1～30這30個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，設(shè)事件表示選到的數(shù)能被3整除，事件表示選到的數(shù)能被5整除，求下列事件的概率.(1)這個(gè)數(shù)既能被3整除也能被5整除；(2)這個(gè)數(shù)能被3整除或能被5整除；(3)這個(gè)數(shù)既不能被3整除也不能被5整除.16．已知銳角三角形的三條邊分別為，，，所對(duì)的角分別為，，，其外接圓的半徑為，且.(1)若，求；(2)如圖，點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍.17．為進(jìn)一步推動(dòng)防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙工作，預(yù)防和減少電信網(wǎng)絡(luò)詐騙案件的發(fā)生，某市開(kāi)展防騙知識(shí)大宣傳活動(dòng).舉辦了“網(wǎng)絡(luò)防騙”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值，根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本成績(jī)的平均數(shù)和下四分位數(shù)；(2)已知若總體劃分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為.證明：；(3)已知落在的平均成績(jī)是59，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組樣本成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.18．一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為虛數(shù)單位，都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作，叫做復(fù)數(shù)的三角形式.

特別是當(dāng)時(shí)，，即是歐拉發(fā)明的歐拉公式——復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.請(qǐng)你根據(jù)材料解決以下問(wèn)題：(1)設(shè)復(fù)數(shù)，，求，的三角形式；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，求；(3)在中，已知為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊.借助平面直角坐標(biāo)系及閱讀材料中所給復(fù)數(shù)相關(guān)內(nèi)容，證明.溫馨提示：使用復(fù)數(shù)以外的方法證明不給分.19．如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，底面為直角三角形，其中為直角頂點(diǎn)，.點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，，，分別是線段，，，上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形為平行四邊形.設(shè).(1)設(shè)點(diǎn)在平面的射影，當(dāng)二面角從0增加到的過(guò)程中，求線段掃過(guò)的區(qū)域的周長(zhǎng)；(2)若是以為底邊的等腰三角形；（?。┣笞C：平面；（ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，多面體的體積恰好為2.

答案1．【正確答案】B【分析】由中位數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】這一組數(shù)據(jù)按從小到大為：，共9個(gè)，則中位數(shù)位于這組數(shù)據(jù)的第5個(gè)數(shù)據(jù)，為8.故選B.2．【正確答案】C【分析】結(jié)合線、面間的位置關(guān)系依次判斷即可．【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，根據(jù)條件，或平行、相交都有可能，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)條件，或都有可能，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)知，顯然正確，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)條件，或都有可能，故D錯(cuò)誤，故選C.3．【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解作答.【詳解】向量，，則，與同向的單位向量為，所以在上的投影向量為.故選D.4．【正確答案】C【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以事件和事件是相互?dú)立事件，故C正確，則與，與和和都是相互獨(dú)立事件.故選C.5．【正確答案】D【分析】將選項(xiàng)代入條件，利用模的公式進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】A選項(xiàng)：時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，則，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，則，故D正確.故選D.6．【正確答案】B【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出恰有兩天下雨的概率和恰有三天下雨的概率，然后相加，即可得到結(jié)果.【詳解】該地區(qū)黃梅時(shí)節(jié)連續(xù)三天中恰有兩天下雨的概率為，該地區(qū)黃梅時(shí)節(jié)連續(xù)三天中恰有三天下雨的概率為，所以該地區(qū)黃梅時(shí)節(jié)連續(xù)三天中至少有兩天下雨的概率為.故選B.7．【正確答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，說(shuō)明異面直線與所成角的大小等于，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及解三角形知識(shí)即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榫€段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，，所以，，而，所以，而是中點(diǎn)，所以，在三角形中，，由余弦定理有，由于，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，由折疊關(guān)系可知，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋?，所以，在三角形中，，由余弦定理有，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的大小等于，故所求為.故選A.8．【正確答案】C【分析】由題意可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)在線段上，然后可得，然后對(duì)每個(gè)函數(shù)逐一求解即可.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)在線段上，所以，對(duì)于，由函數(shù)，得，，直線方程為，而在上的值域是，，線性近似系數(shù)為．對(duì)于，由函數(shù)可得，，方程為，由三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可知，線性近似系數(shù)為，故所求為.故選C.9．【正確答案】BC【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特征，計(jì)算出相應(yīng)的概率可判斷A；根據(jù)平均數(shù)求出，再利用方差公式進(jìn)行計(jì)算可判斷B；根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的定義可判斷C；先計(jì)算的方差，再計(jì)算，，，的方差可判斷D.【詳解】對(duì)于A，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有100個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為50的樣本，個(gè)體被抽到的概率是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，則這組數(shù)據(jù)的方差是，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)總體由有明顯差異的幾部分構(gòu)成時(shí)，可以采用分層隨機(jī)抽樣，故C正確；對(duì)于D，若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為9，則數(shù)據(jù)的方差為，所以，，，的方差為，則，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化為以向量為基底表示向量，利用平面向量基本定理的推理，即可判斷A，并判斷B，利用A的結(jié)果，結(jié)合數(shù)量積的公式表示，即可判斷C，利用基底表示向量和，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律，即可判斷D.【詳解】，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，即，則，故B正確；因?yàn)?，所以，，故C錯(cuò)誤；,，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)正方體中，證明線線垂直；利用線面角定義，先找到角，再計(jì)算夾角的正弦值；在三角形中，利用余弦定理求角判斷三角形形狀；根據(jù)題意先找到點(diǎn)的軌跡形狀是圓的一半，計(jì)算長(zhǎng)度得答案；【詳解】對(duì)于A，正方形中，平面,因?yàn)槠矫?所以，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)，當(dāng)不可能與點(diǎn)重合時(shí)，不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，正方形中，是平面內(nèi)兩條相交直線，平面，，設(shè)點(diǎn)交平面于點(diǎn),所以點(diǎn)到平面的高為，則為與平面所成的角，且，所以與平面所成的角的正弦值為，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知,進(jìn)而在直角三角形中，，在中，由余弦定理可得,所以為鈍角，C正確；對(duì)于D，根據(jù)選項(xiàng)B可知，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓的一部分，又因?yàn)槭堑冗吶切危?可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓的一半，則點(diǎn)的軌跡為長(zhǎng)度為，D正確；故選BCD.【方法總結(jié)】立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型空間中軌跡問(wèn)題的解答思路：（1）根據(jù)已知條件確定和待求點(diǎn)相關(guān)的平行、垂直關(guān)系；（2）用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）根據(jù)軌跡形狀即可求解出軌跡長(zhǎng)度其他量；12．【正確答案】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及模的計(jì)算公式即可求解.【詳解】，.故答案為.13．【正確答案】【分析】利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，解得.故答案為.14．【正確答案】3【分析】通過(guò)空間直線、平面的位置關(guān)系作出相應(yīng)角，結(jié)合解直角三角形得出對(duì)應(yīng)三個(gè)角的正余弦值一一判定即可.【詳解】

對(duì)于②，如圖所示，連接，因?yàn)槠矫媾c平面的交線為，所以，又因?yàn)橹本€與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，所以，即平面與平面的交線為就是直線，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，而平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，所以由題意易知：，面，則面，而面，則，即二面角的大小，故②正確；對(duì)于③，；由Q滿足，點(diǎn)是中點(diǎn)，平面，則，面，結(jié)合題意此時(shí)四邊形為矩形，則直線與平面所成的角，即；過(guò)Q作，且使得，連接，顯然，此時(shí)四邊形為平行四邊形，，則異面直線與所成的角，結(jié)合上面說(shuō)明得面，而面，則，即.所以，故③正確；對(duì)于①，由③可知，注意到，所以，故①正確；對(duì)于④，因?yàn)楣盛苠e(cuò)誤；故正確的序號(hào)有：①②③，共3個(gè).故3.15．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】利用樣本空間法，列舉滿足條件的樣本，再利用古典概型概率公式，即可求解.【詳解】（1）事件表示既能被3整除也能被5整除，包含元素，所以,所以既能被3整除又能被5整除的概率為；（2）事件表示能被3整除或能被5整除，包含，所以，所以能被3整除或能被5整除的概率為；（3）事件表示既不能被3整除也不能被5整除，共有個(gè)元素，所以，所以既不能被3整除也不能被5整除的概率為.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換得，即可求解；（2）由正弦定理得，進(jìn)行求解．【詳解】（1）由正弦定理得，，由，得，得，因?yàn)?，所以，得，得，因?yàn)椋?，解得．?）因?yàn)椋?，由得，得，，得，由正弦定理得，，得，得，因?yàn)椋?，得，得，則，得，則的取值范圍為：17．【正確答案】(1)；平均數(shù)為；下四分位數(shù)為；(2)證明見(jiàn)解析(3)，【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，求，再代入平均數(shù)公式，求平均數(shù)，并代入百分位數(shù)公式，即可求解；（2）利用總體方差公式，以及總體方差公式，進(jìn)行推導(dǎo)，即可證明；（3）代入總體平均數(shù)和總體方差公式，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，，解得：；平均數(shù)為，前2組的頻率和為，前3組的頻率和為，所以下四分位數(shù)在第3組，設(shè)為，則，得所以下四分位數(shù)為；（2），，，總體方差，又，，，因?yàn)椋?，，同理，故，；?）的頻率是，頻數(shù)是，的頻率是，頻數(shù)是所以總體平均數(shù)，總體方差.18．【正確答案】(1)，(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用正弦和余弦的和差公式計(jì)算即可；（2）利用三角形式和輻角主值的定義求解；（3）以為原點(diǎn)，為實(shí)軸正方向確定復(fù)平面，然后分別確定點(diǎn)在復(fù)平面上表示的復(fù)數(shù)為，再將三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式并求其模長(zhǎng).【詳解】（1）由于，.故，.綜上，.（2）我們有，且.據(jù)，知，，，.所以，，故.（3）以為原點(diǎn)，為實(shí)軸正方向確定復(fù)平面，并不妨設(shè)點(diǎn)在實(shí)軸上方，則點(diǎn)在復(fù)平面上分別表示復(fù)數(shù).所以.19．【正確答案】(1)(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，由面面垂直的判定定理得平面平面，所以點(diǎn)在平面上的投影在線段的中垂線上，根據(jù)二面角的變化得射影的軌跡就是線段，得在平面上的射影所掃過(guò)的平面區(qū)域?yàn)椋蟪鲋荛L(zhǎng)即可；（2）（ⅰ）取的中點(diǎn)，利用線面垂直的判定定理可得答案；（ⅱ）多面體的體積為三棱錐體積的一半，利用體積相等得可得答案.【詳解】（1）延長(zhǎng)到，使，由為直角頂點(diǎn)，，所以，所以為等邊三角形，連結(jié)，所以，，又，平面，得平面，平面，平面平面，所以平面平面，所以點(diǎn)在平面上的投影在線段的中垂線上（如圖所示），當(dāng)二面角為時(shí)，點(diǎn)三點(diǎn)重