高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因為，所以，.故選：B.2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.2【答案】D【解析】因為，則，∴.故選：D.3.已知向量滿足.若，則實數(shù)（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】由，得，由，得，所以.故選：B4.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解法一：函數(shù)的定義域為R，函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故選：A解法二：特值當(dāng)時，，排除B，D，當(dāng)時，，排除C，對A：當(dāng)時，，因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以，故A成立.故選A．5.一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）A.5 B.5.5 C.14 D.14.5【答案】D【解析】上四分位數(shù)即第百分位數(shù)，因為，所以上四分位數(shù)為第位和第位的平均數(shù)，即，故選：D.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量與關(guān)于x軸對稱，向量若滿足的點A的軌跡為E，則（）A.E是一條垂直于x軸的直線 B.E是一個半徑為1的圓C.E是兩條平行直線 D.E是橢圓【答案】B【解析】設(shè)，由題有，，所以，，所以，即，所以點的軌跡是一個半徑為1的圓，故選：B．7.由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）A.34 B.33 C.32 D.30【答案】B【解析】由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成數(shù)列，則一位自然數(shù)有3個，兩位自然數(shù)有個，三位自然數(shù)有個，四位自然數(shù)有個，又四位自然數(shù)為2024為四位自然數(shù)中的第6個，所以.故選：B8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點,若,且雙曲線的離心率為,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為雙曲線的離心率為，所以，因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設(shè)，則，由得，解得，所以，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為隨機(jī)事件，，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為互斥事件，則B.若，則C.若互斥事件，則D.若相互獨立，則【答案】ABD【解析】對于A，若為互斥事件，則，故A正確；對于B，若，則，故B正確；對于C，若為互斥事件，則，所以，故C錯誤；對于D，若相互獨立，則，故D正確.故選：ABD.10.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種數(shù)值解法——牛頓法，用“作切線”的方法求函數(shù)零點.如圖，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】AC【解析】由得，所以在點處的切線方程，令，得，故A正確.，故，即，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，且為敵增數(shù)列，故B錯誤，C正確，所以，故D錯誤.故選：AC11.把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點,為上底面橢圓的右焦點，，P為線段上的動點，E為線段上的動點，MN為過點的下底面的一條動弦(不與AB重合)，則下列選項正確的是（）A.當(dāng)平面時，為的中點B.三棱錐外接球的表面積為C.若點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，則的最大值為D.三棱錐體積的最大值為8【答案】ACD【解析】由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，得分別是中點，而柱體中為矩形，連接，由，，∴四邊形為平行四邊形，，當(dāng)平面時，平面，平面平面，則，有，中，是中點，則為的中點，A選項正確；，，，則中，，，外接圓半徑為，，則平面，三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，B選項錯誤；點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，令，則，又，則，，，，由橢圓性質(zhì)知，則當(dāng)或時，的最大值為，C選項正確；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，，令，且，則，，當(dāng)時，有最大值，在下底面內(nèi)以為原點，構(gòu)建如上圖的直角坐標(biāo)系，且，則橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，，，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為，D選項正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的展開式中各項式系數(shù)和為32，則展開式中的常數(shù)項為_________．【答案】10【解析】令，則當(dāng)時，常數(shù)項為．故答案為：10.13.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的值域為，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】因為，所以，其中，相鄰的后面一個使得成立的值為：，且，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：．故答案是：.14.足球是一項很受歡迎的體育運(yùn)動.如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場的底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運(yùn)動時,往往需要找到一點，使得最大，這時候點就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點處（，）時，根據(jù)場上形勢判斷,有、兩條進(jìn)攻線路可供選擇.若選擇線路，則甲帶球_________碼時,到達(dá)最佳射門位置；若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達(dá)最佳射門位置.【答案】；【解析】若選擇線路，設(shè)，其中，，，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，此時，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時，到達(dá)最佳射門位置；若選擇線路，以線段的中點為坐標(biāo)原點，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，直線的方程為，設(shè)點，其中，，，所以，，令，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時，到達(dá)最佳射門位置.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為，，角A的平分線交于點，且．（1）求A的大小；（2）若，求的面積．解：（1）因為，所以由正弦定理可得．因為，所以，所以，故，又因為，所以．（2）由題意可知，即，化簡可得．在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍）．則．16.如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面；（2）若平面，求二面角正弦值．解：（1）如圖：取中點，中點，連接，一方面：因為，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，從而，又因為面，面，所以面，另一方面：又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為面，面，所以面，結(jié)合以上兩方面，且注意到平面，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）若平面，又平面，所以，又，所以以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個法向量為，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.17.三月“與輝同行”攜手湖北文旅，云游湖北省博物館、賞東湖櫻花園、夜上黃鶴樓……一路走來，講述關(guān)于湖北的歷史人文、詩詞歌賦，為廣大網(wǎng)友帶來一場荊楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相繼迎來了旅游熱潮．咸寧的大幕東源花谷，向陽湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客紛至沓來，現(xiàn)對3月中下旬至4月上旬的大幕東源花谷賞花節(jié)會部分游客做問卷調(diào)查，其中75%的游客計劃只游覽大幕東源花谷，另外25%的游客計劃既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會．每位游客若只游覽大幕東源花谷，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，則獲得2份文旅紀(jì)念品．假設(shè)每位來大幕東源花谷游覽的游客與是否參加“向陽花田”音樂會是相互獨立的，用頻率估計概率．（1）從大幕東源花谷的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）記n個游客得到文旅紀(jì)念品的總個數(shù)恰為個的概率為，求的前n項和．解：（1）據(jù)題意，每位游客只游覽大幕東源花谷的概率為，得到1份文旅紀(jì)念品；既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會的概率為，獲得2份文旅紀(jì)念品，則X的可能取值為3，4，5，6，其中，，，，所以X的分布列為X3456P．（2）因為n個游客得到文旅紀(jì)念品的總個數(shù)恰為個，則只有1人既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，于是，則．于是，兩式相減，得，所以．18.已知，，為平面上的一個動點.設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.（1）求的軌跡方程；（2）直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.解：（1）由題意設(shè)點，由于，故，整理得，即的軌跡方程為；（2）由題意知直線斜率分別為，，且滿足，設(shè)直線的方程為，令，則可得，即，直線，同理求得，又直線的方程為，令，得，即，故，當(dāng)時，取到最大值12，即存在最大值，最大值為12.19.羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點有關(guān)，是由法國數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾于1691年提出的．它的表達(dá)如下：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得．（1）運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，則存在，使得．（2）已知函數(shù)，若對于區(qū)間內(nèi)任意兩個不相等的實數(shù)，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．（3）證明：當(dāng)時，有．解：（1）令，則，令函數(shù)，則，顯然在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，由羅爾定理，存在，使得，即，所以.（2）依題意，，不妨令，則恒成立，由（1）得，于是，即，因此，令，求導(dǎo)得，函數(shù)上單調(diào)遞增，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，其值域為，則，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）令函數(shù)，顯然函數(shù)在上可導(dǎo)，由（1），存在，使得，又，則，因此，而，則，即，所以.湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因為，所以，.故選：B.2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.2【答案】D【解析】因為，則，∴.故選：D.3.已知向量滿足.若，則實數(shù)（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】由，得，由，得，所以.故選：B4.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解法一：函數(shù)的定義域為R，函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故選：A解法二：特值當(dāng)時，，排除B，D，當(dāng)時，，排除C，對A：當(dāng)時，，因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以，故A成立.故選A．5.一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）A.5 B.5.5 C.14 D.14.5【答案】D【解析】上四分位數(shù)即第百分位數(shù)，因為，所以上四分位數(shù)為第位和第位的平均數(shù)，即，故選：D.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量與關(guān)于x軸對稱，向量若滿足的點A的軌跡為E，則（）A.E是一條垂直于x軸的直線 B.E是一個半徑為1的圓C.E是兩條平行直線 D.E是橢圓【答案】B【解析】設(shè)，由題有，，所以，，所以，即，所以點的軌跡是一個半徑為1的圓，故選：B．7.由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）A.34 B.33 C.32 D.30【答案】B【解析】由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成數(shù)列，則一位自然數(shù)有3個，兩位自然數(shù)有個，三位自然數(shù)有個，四位自然數(shù)有個，又四位自然數(shù)為2024為四位自然數(shù)中的第6個，所以.故選：B8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點,若,且雙曲線的離心率為,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為雙曲線的離心率為，所以，因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設(shè)，則，由得，解得，所以，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為隨機(jī)事件，，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為互斥事件，則B.若，則C.若互斥事件，則D.若相互獨立，則【答案】ABD【解析】對于A，若為互斥事件，則，故A正確；對于B，若，則，故B正確；對于C，若為互斥事件，則，所以，故C錯誤；對于D，若相互獨立，則，故D正確.故選：ABD.10.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種數(shù)值解法——牛頓法，用“作切線”的方法求函數(shù)零點.如圖，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】AC【解析】由得，所以在點處的切線方程，令，得，故A正確.，故，即，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，且為敵增數(shù)列，故B錯誤，C正確，所以，故D錯誤.故選：AC11.把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點,為上底面橢圓的右焦點，，P為線段上的動點，E為線段上的動點，MN為過點的下底面的一條動弦(不與AB重合)，則下列選項正確的是（）A.當(dāng)平面時，為的中點B.三棱錐外接球的表面積為C.若點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，則的最大值為D.三棱錐體積的最大值為8【答案】ACD【解析】由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，得分別是中點，而柱體中為矩形，連接，由，，∴四邊形為平行四邊形，，當(dāng)平面時，平面，平面平面，則，有，中，是中點，則為的中點，A選項正確；，，，則中，，，外接圓半徑為，，則平面，三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，B選項錯誤；點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，令，則，又，則，，，，由橢圓性質(zhì)知，則當(dāng)或時，的最大值為，C選項正確；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，，令，且，則，，當(dāng)時，有最大值，在下底面內(nèi)以為原點，構(gòu)建如上圖的直角坐標(biāo)系，且，則橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，，，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為，D選項正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的展開式中各項式系數(shù)和為32，則展開式中的常數(shù)項為_________．【答案】10【解析】令，則當(dāng)時，常數(shù)項為．故答案為：10.13.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的值域為，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】因為，所以，其中，相鄰的后面一個使得成立的值為：，且，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：．故答案是：.14.足球是一項很受歡迎的體育運(yùn)動.如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場的底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運(yùn)動時,往往需要找到一點，使得最大，這時候點就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點處（，）時，根據(jù)場上形勢判斷,有、兩條進(jìn)攻線路可供選擇.若選擇線路，則甲帶球_________碼時,到達(dá)最佳射門位置；若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達(dá)最佳射門位置.【答案】；【解析】若選擇線路，設(shè)，其中，，，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，此時，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時，到達(dá)最佳射門位置；若選擇線路，以線段的中點為坐標(biāo)原點，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，直線的方程為，設(shè)點，其中，，，所以，，令，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時，到達(dá)最佳射門位置.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為，，角A的平分線交于點，且．（1）求A的大??；（2）若，求的面積．解：（1）因為，所以由正弦定理可得．因為，所以，所以，故，又因為，所以．（2）由題意可知，即，化簡可得．在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍）．則．16.如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面；（2）若平面，求二面角正弦值．解：（1）如圖：取中點，中點，連接，一方面：因為，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，從而，又因為面，面，所以面，另一方面：又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為面，面，所以面，結(jié)合以上兩方面，且注意到平面，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）若平面，又平面，所以，又，所以以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個法向量為，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.17.三月“與輝同行”攜手湖北文旅，云游湖北省博物館、賞東湖櫻花園、夜上黃鶴樓……一路走來，講述關(guān)于湖北的歷史人文、詩詞歌賦，為廣大網(wǎng)友帶來一場荊楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相繼迎來了旅游熱潮．咸寧的大幕東源花谷，向陽湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客紛至沓來，現(xiàn)對3月中下旬至4月上旬的大幕東源花谷賞花節(jié)會部分游客做問卷調(diào)查，其中75%的游客計劃只游覽大幕東源花谷，另外25%的游客計劃既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會．每位游客若只游覽大幕東源花谷，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，則獲得2份文旅紀(jì)念品．