8.3雙曲線高考新風(fēng)向·創(chuàng)新考法思維引導(dǎo)回歸本質(zhì)(2024新課標(biāo)Ⅱ,19,17分,難)知雙曲線C:x2-y2=m(m>0),點(diǎn)P1(5,4)在C上,k為常數(shù),0<k<1.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn(n=2,3,…):過Pn-1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn-1,令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對稱點(diǎn).記Pn的坐標(biāo)為(xn,yn).(1)若k=12,求x2,y2(2)證明:數(shù)列{xn-yn}是公比為1+k1?(3)設(shè)Sn為△PnPn+1Pn+2的面積.證明:對任意正整數(shù)n,Sn=Sn+1.創(chuàng)新考法本題融合了直線、雙曲線和數(shù)列知識,試題突出創(chuàng)新導(dǎo)向,設(shè)計(jì)全新的試題情境、呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式,提升了壓軸題的思維量,突出理性思維和數(shù)學(xué)探究,考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.本題創(chuàng)新性強(qiáng),在具體內(nèi)容和難度設(shè)計(jì)上環(huán)環(huán)相扣,設(shè)計(jì)布局科學(xué)合理,對今后的數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用.解析(1)如圖1所示,由已知直線P1Q1的方程為y-4=12(x-5),即y=1又點(diǎn)P1(5,4)在雙曲線x2-y2=m上,∴m=52-42=9,聯(lián)立x2?y2=9,y=12x+32,消去y得x2-2x-15=0,解得x=5或x=-3,由P由已知Q1關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P2,則P2(3,0),故x2=3,y2=0.(2)證法一:由已知Pn(xn,yn)在雙曲線上,如圖2所示,設(shè)Pn-1(xn-1,yn-1)(n=2,3,…),則xn?12?yn?12=9,由已知得直線Pn-1Qn-1的方程為y-yn-1=聯(lián)立x2?y2=9,y=yn?1+k(x?xn?1),消去y得(1-k2)x2-2k(yn-1-kx設(shè)Qn-1(x0,y0),∵xn-1是方程(※)的一個根,∴由根與系數(shù)的關(guān)系得x0+xn-1=2k∴x0=2k∴y0=k(x0-xn-1)+yn-1=k2即Qn-12k則Pn?2∴xn-yn=k=(k∴xn?ynxn?1?yn?1=∴數(shù)列{xn-yn}是公比為1+k1?證法二:由已知Pn(xn,yn),則Pn關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是Qn-1(-xn,yn),又Pn-1(xn-1,yn-1)且Pn-1Qn-1是斜率為k的直線,∴yn?yn?1?xn?xn?1=∴x①-②可得(xn-xn-1)(xn+xn-1)=(yn-yn-1)(yn+yn-1),∴yn?y即y④-③得(xn-yn)-(xn-1-yn-1)=k[(xn-yn)+(xn-1-yn-1)],∴(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xn-1-yn-1),∴xn∴數(shù)列{xn-yn}是公比為1+k1?(3)證法一:如圖3,設(shè)Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Pn+2(xn+2,yn+2),∴Pn+1Pn=(xn-xn+1,yn-yn+1),Pn+1Pn+2=(xn+2-xn+1,∴S△PnPn+1Pn+2==1=1=12|(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)-(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)|又∵xn-yn=(x1-y1)1+k1?kn?1=1+k1?kn?1(n=1,2,3,…),且(xn,yn)∴xn+yn=9x令1+k1?k=p,由0<k<1,得p>1∴xn=12(pn-1+9p1-n),yn=12(9p1-n-pn∴(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)=14(pn-1+9p1-n-pn-9p-n)(9p-1-n-pn+1-9p-n+pn=14[9(1-p)2p-2+(1-p)2p2n-1-81(p-1)2p-2n-1-9(p-1)2]=14(p-1)2(9p-2-9+p2n-1-81p-2n又(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)=14(pn+1+9p-n-1-pn-9p-n)(9p1-n-pn-1-9p-n+pn=14[(p-1)2p2n-1+9(p-1)2-81(1-p)2p-2n-1-9(1-p)2p-2]=14(p-1)2(9-9p-2+p2n-1-81p-2n∴S△PnPn+1Pn+2=12×14|18(p-1)2-18(1-p)2p-2|=9∴Sn=94[(p-1)2-(1-p)2·p-2]=94(p-1)21?1p2=9(p?1)2(p2?1)4p2證法二:要證Sn+1=Sn,即證S△即證PnPn+3∥Pn+1Pn+2,(三角形同底等高模型)設(shè)1+k1?k=p,同證法一得xn-yn=pxn=12(pn-1+9p1-n),yn=12(9p1-n-pn則k=1-2=1-2pk=1-2=1-2p故kPn+1Pn+2=kPnPn+3,即Pn五年高考考點(diǎn)1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2021北京,5,4分,易)若雙曲線x2a2?y2b2=1的離心率為2,且過點(diǎn)(A.2x2-y2=1B.x2-y2C.5x2-3y2=1D.x2答案B2.(2020浙江,8,4分,易)已知點(diǎn)O(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2,且P為函數(shù)y=34?x2圖象上的點(diǎn),則|OP|=(A.22答案D3.(2022天津,7,5分,中)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,拋物線y2=45x的準(zhǔn)線l經(jīng)過F1,且l與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A.若∠F1F2AA.x2C.x2答案D4.(2020課標(biāo)Ⅰ文,11,5分,中)設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2-y23=1的兩個焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為(A.72答案B5.(2024天津,8,5分,中)雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.點(diǎn)P在雙曲線右支上,直線PF2的斜率為2.若△PF1F2是直角三角形A.x2C.x2答案A考點(diǎn)2雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2024全國甲理,5,5分,易)已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為(0,4),(0,-4),點(diǎn)(-6,4)在該雙曲線上,則該雙曲線的離心率為()A.4B.3C.2D.2答案C2.(2023全國甲理,8,5分,中)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,C的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B兩點(diǎn)A.5答案D3.(2020課標(biāo)Ⅲ理,11,5分,中)設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為5.P是C上一點(diǎn),且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4A.1B.2C.4D.8答案A4.(2020課標(biāo)Ⅱ,文9,理8,5分,中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn).若△ODE的面積為8A.4B.8C.16D.32答案B5.(2023全國乙理,11,5分,中)設(shè)A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn),下列四個點(diǎn)中,可以為線段AB中點(diǎn)的是(A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)答案D6.(2024新課標(biāo)Ⅰ,12,5分,易)設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|F1A|=13,|答案37.(2022北京,12,5分,易)已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為y=±33答案-38.(2023北京,12,5分,易)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),離心率為2,則C的方程為.

答案x29.(2021全國乙文,14,5分,易)雙曲線x24?y25=1的右焦點(diǎn)到直線答案510.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),離心率e=2答案y=3x;y=-3x11.(2021全國乙理,13,5分,易)已知雙曲線C:x2m-y2=1(m>0)的一條漸近線為3x+my=0,則C的焦距為答案412.(2022全國甲文,15,5分,中)記雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x答案2(答案不唯一,在(1,5]范圍內(nèi)取值均可)13.(2023新課標(biāo)Ⅰ,16,5分,中)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,F1A答案3三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練1.(2024山東聊城一模,5)設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若C的一條漸近線的傾斜角為60°,且|PF1|-|PF2|=2A.1B.3C.2D.4答案D2.(2025屆重慶烏江新高考協(xié)作體聯(lián)考,5)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F1且與漸近線垂直的直線與雙曲線C左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),若tan∠F1BF2A.615C.5答案A3.(2025屆湖北武漢江漢開學(xué)考,7)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),若△ABF1A.6C.1,答案D4.(2024山東泰安二模,8)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點(diǎn),P是C左支上一點(diǎn),A(0,66),當(dāng)△APF的周長最小時,該三角形的面積為(A.366答案D5.(多選)(2025屆湖南郴州一模,10)已知曲線C:x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈(0,π),則下列說法正確的是()A.若cosθ=0,則曲線C表示兩條直線B.若cosθ>0,則曲線C是橢圓C.若cosθ<0,則曲線C是雙曲線D.若cosθ=-sinθ,則曲線C的離心率為2答案ACD6.(2025屆北京中關(guān)村中學(xué)月考,14)已知雙曲線x2-y23=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一動點(diǎn),則雙曲線的漸近線為,PA答案y=±3x;-27.(2025屆江蘇南通名校聯(lián)盟聯(lián)考,12)已知F1,F2是雙曲線E:x29?y216=1的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,如果MF1⊥M答案168.(2025屆湖南長沙六校聯(lián)考,13)已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為2,過點(diǎn)F1的直線l交E的左支于A,B兩點(diǎn).|OB|=|OF1|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)O到直線l答案1+能力拔高練1.(2025屆浙江省名校協(xié)作體開學(xué)考,7)已知A,B是橢圓x24+y23=1與雙曲線x24?y23=1的公共頂點(diǎn),M是雙曲線上一點(diǎn),直線MA,MB分別交橢圓于C,DA.3答案B2.(2024浙江杭州二中模擬,7)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a,b>0)的左焦點(diǎn)為F,過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn),且|FB|=4|FA|,A.y=±23C.y=±23答案C3.(2024浙江杭州二中、紹興一中、溫州中學(xué)、金華一中三模,8)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a,b>0)上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的兩點(diǎn)A,B,以及雙曲線上的另一點(diǎn)C,使得△A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.2答案A4.(多選)(2025屆浙江新陣地聯(lián)盟聯(lián)考,10)已知F1、F2分別是雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)Q是圓A:(x-2)2+(y-3)2=12上的動點(diǎn),下列說法正確的是()A.三角形AF1F2的周長是12B.若雙曲線E與雙曲線C有相同的漸近線,且雙曲線E的焦距為8,則雙曲線E的方程為x2-y2=8C.若|QF1|+|QF2|=8,則Q的位置不唯一D.若P是雙曲線左支上一動點(diǎn),則|PF2|+|PQ|的最小值是5+3答案ACD5.(多選)(2024重慶一中模擬,10)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作斜率為3的直線,與雙曲線相交于點(diǎn)P,若|PF1|=3|F1F2|,則雙曲線的離心率可能是()A.3+1答案AD6.(多選)(2025屆湖南長沙雅禮中學(xué)月考,11)直線y=kx與雙曲線x24?y23=1交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P位于第一象限,過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn)A.若|PQ|=27,則PF⊥QFB.若PF⊥QF,則△PQF的面積為4C.|PF||PN|D.|PF|-|PN|的最小值為4答案AD7.(2025屆江蘇南京六校聯(lián)合體學(xué)情調(diào)研,14)設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為2,P為C上