專題十一統(tǒng)計11.1用樣本估計總體五年高考考點抽樣方法與總體分布的估計1.(2024新課標(biāo)Ⅱ,4,5分,易)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并整理得下表:畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論中正確的是()A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間答案C2.(2022全國甲,2,5分,易)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:則()A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差答案B3.(2021全國甲理,2,5分,易)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是()A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間答案C4.(2020課標(biāo)Ⅲ文,3,5分,易)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10x1,10x2,…,10xn的方差為()A.0.01B.0.1C.1D.10答案C5.(多選)(2021新高考Ⅱ,9,5分,易)下列統(tǒng)計量中可用于度量樣本x1,x2,…,xn離散程度的有()A.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.x1,x2,…,xn的中位數(shù)C.x1,x2,…,xn的極差D.x1,x2,…,xn的平均數(shù)答案AC6.(多選)(2021新高考Ⅰ,9,5分,易)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案CD7.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅰ,9,5分,中)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則()A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差答案BD8.(2021全國乙,文17,理17,12分,中)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如表:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y,樣本方差分別記為(1)求x,y,s12,(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高如果y?x≥2s12+解析(1)x=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10s12=110[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2s22=110[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2(2)由(1)得y?x=0.3,s12從而(y?x)2=0.09,2s12+s所以(y?x)2>2s12+s因此新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.9.(2023全國乙理,17,12分,難)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗結(jié)果如下:試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為s2.(1)求z,s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高如果z≥2s210,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,解析(1)zi=xi-yi(i=1,2,…,10)依次為9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,則z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61(2)由(1)知z=11,s2=61,則z?2s∴z≥2s210.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.0001).解析(1)平均年齡為(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)設(shè)事件A為“該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,∴估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率為0.89.(3)設(shè)事件B=“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”,事件C=“任選一人患這種疾病”,由條件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B11.(2023新課標(biāo)Ⅱ,19,12分,難)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.解析(1)由題意知(c-95)×0.002=0.5%,(1分)得c=97.5,(2分)q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%.(4分)(2)當(dāng)c∈[95,100]時,f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02.(7分)當(dāng)c∈(100,105]時,f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.∴f(c)=?0.008c+0.82,95≤c≤100,由于f(c)在區(qū)間[95,100]單調(diào)遞減,在區(qū)間(100,105]單調(diào)遞增,(該理由一定要寫,不寫扣分)(10分)∴f(c)min=f(100)=0.02.(12分)三年模擬基礎(chǔ)強化練1.(2024河南名校高考模擬,1)已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績(單位:分)為72,78,80,81,83,86,88,90,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是()A.86B.87C.88D.90答案B2.(2024重慶第二次質(zhì)量檢測,4)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2,4,m,13,16,17,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的35,則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是()A.4B.4.5C.5D.9答案C3.(2024山西部分學(xué)校月考,6)已知一組正數(shù)x1,x2,x3,x4,x5的方差為s2=15i=15xi2-9,則另一組數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2A.4B.5C.6D.7答案B4.(2025屆云南昆明一中第二次聯(lián)考)從某小型加工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100件作為樣本,將該樣本進(jìn)行某項質(zhì)量指標(biāo)值測量,下圖是測量結(jié)果x的頻率分布直方圖.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表,則在下列選項中,關(guān)于該樣本統(tǒng)計量的敘述不正確的選項是()A.質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間[195,205)的產(chǎn)品約有33件B.質(zhì)量指標(biāo)值的極差在50與70之間C.質(zhì)量指標(biāo)值的第60百分位數(shù)大于205D.質(zhì)量指標(biāo)值的方差的估計值是150答案C5.(多選)(2025屆廣東部分學(xué)校大聯(lián)考,9)降雨量是指從天空降落到地面上的液態(tài)或固態(tài)(經(jīng)融化后)水,未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度,一般以毫米為單位.降雨量可以直觀地反映一個地區(qū)某一時間段內(nèi)降水的多少,它對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水利工程、城市排水等有著重要的影響.如圖,這是A,B兩地某年上半年每月降雨量的折線統(tǒng)計圖.下列結(jié)論正確的是()A.這年上半年A地平均月降雨量比B地平均月降雨量大B.這年上半年A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)大C.這年上半年A地月降雨量的極差比B地月降雨量的極差大D.這年上半年A地月降雨量的80%分位數(shù)比B地月降雨量的80%分位數(shù)大答案ACD6.(多選)(2025屆重慶名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考,10)甲、乙兩支田徑隊的體檢結(jié)果為:甲隊體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1∶4,則下列說法正確的是()A.甲、乙兩隊全部隊員的平均體重是68kgB.甲、乙兩隊全部隊員的平均體重是65kgC.甲、乙兩隊全部隊員體重的方差是296D.甲、乙兩隊全部隊員體重的方差是306答案AC能力拔高練1.(2024上海虹口期末,14)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),其對應(yīng)關(guān)系如下表:空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)0~5051~100101~150151~200201~300>300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染為監(jiān)測某化工廠排放廢氣對周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響,某科學(xué)興趣小組在工廠附近某處測得10月1日—20日AQI的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如下:下列敘述正確的是()A.這20天中AQI的中位數(shù)略大于150B.10月4日到10月11日,空氣質(zhì)量越來越好C.這20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占25%D.10月上旬AQI的極差大于中旬AQI的極差答案C2.(多選)(2025屆甘肅高考模擬,9)已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10是公差為2的等差數(shù)列,若去掉首末兩項,則()A.平均數(shù)變大B.中位數(shù)不變C.方差變小D.極差變小答案BCD3.(多選)(2024重慶渝中期中,9)在某市高三年級舉行的一次模擬考試中,某學(xué)科共有20000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績情況,從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績(成績均為正整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計,并按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表).則下列說法正確的是()A.樣本的眾數(shù)為70B.樣本的80%分位數(shù)為78.5C.估計該市全體學(xué)生成績的平均分為70.6D.該市參加測試的學(xué)生中低于60分的學(xué)生大約有320人答案BC4.(多選)(2025屆浙江杭州開學(xué)考,9)有一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,平均數(shù)為x,若隨機刪去其中一個數(shù)據(jù),得到一組新數(shù)據(jù),記為y1,y2,…,y5,平均數(shù)為y,則()A.新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差B.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C.若x=yD.若x=y,則新數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的40答案AC5.(2025屆福建漳州第一次質(zhì)檢,14)2024年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷多選題的計分標(biāo)準(zhǔn)如下:①本題共3小題,每小題6分,共18分;②每小題四個選項中有兩個或三個正確選項,全部選對的得6分,有選錯或不選的得0分;③部分選對的得部分分.考生甲在此卷多選題的作答中,第一小題選了三個選項,第二小題選了兩個選項,第三小題選了一個選項,則他多選題的所有可能總得分(相同總分只記錄一次)的第80百分位數(shù)為.

答案136.(2025屆湖南衡陽四中月考,18)2023年,某地為了幫助中小微企業(yè)渡過難關(guān),給予企業(yè)一定的專項貸款資金支持.該地120家中小微企業(yè)的專項貸款金額(萬元)的頻率分布直方圖如圖.(1)確定a的值,并估計這120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù)).(2)按專項貸款金額進(jìn)行分層隨機抽樣,從這120家中小微企業(yè)中隨機抽取20家,記專項貸款金額在[200,300]內(nèi)應(yīng)抽取的中小微企業(yè)數(shù)為m.①求m的值;②從這m家中小微企業(yè)中隨機抽取3家,求這3家中小微企業(yè)的專項貸款金額都在[200,250)內(nèi)的概率.解析(1)根據(jù)頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為1得(0.002+0.003+a+0.006+a+0.001)×50=1,解得a=0.004,設(shè)中位數(shù)為t,專項貸款金額在[0,150)內(nèi)的頻率為0.45,在[0,200)內(nèi)的頻率為0.75,所以t在[150,200)內(nèi),則(t-150)×0.006=0.5-0.45,解得t≈158,所以估計這120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的中位數(shù)為158萬元.(2)①由題意,知抽樣比為20120專項貸款金額在[200,300]內(nèi)的中小微企業(yè)共有120×(0.004+0.001)×50=30家,所以專項貸款金額在[200,300]內(nèi)應(yīng)抽取的中小微企業(yè)有30×16=5家,即m=5②專項貸款金額在[200,250)內(nèi)和在[250,300]內(nèi)的頻率之比為4∶1,故在抽取的5家中小微企業(yè)中,專項貸款金額在[200,250)內(nèi)的有5×45=4家,分別記為A,B,C,D專項貸款金額在[250,300]內(nèi)的有5×15=1家,記為E從這5家中小微企業(yè)中隨機抽取3家的可能情況為ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種,其中這3家中小微企業(yè)的專項貸款金額都在[200,250)內(nèi)的情況有ABC,ABD,ACD,BCD,共4種,所以所求概率為P=4107.(2025屆重慶八中月考,18)某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為M(M∈[70,100]),其質(zhì)量指標(biāo)等級劃分如表:質(zhì)量指標(biāo)值M[70,75)[75,90)[90,100]質(zhì)量指標(biāo)等級廢品合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟效益,該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了1000件,將其質(zhì)量指標(biāo)值M的數(shù)據(jù)作為樣本,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.(1)若樣本數(shù)據(jù)中質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)和平均值分別為87.5和87,求a,b,c的值;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值M與利潤y(單位:萬元)的關(guān)系如表0<x質(zhì)量指標(biāo)值M[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利潤y/萬元-1010cosx2xx-5以頻率作為概率,期望作為決策依據(jù),若c=0.01,對任意的x∈0,π2,生產(chǎn)該產(chǎn)品一定能盈利,求a解析(1)由中位數(shù)為87.5,得5(