高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省許昌市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知為等差數(shù)列，為其前n項和.若，公差，則m的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故選：B.2.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為，所以拋物線準(zhǔn)線為又，所以圓心坐標(biāo)，半徑為2由已知得：圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，則，所以故選：C.3.在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為.事件表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，則，故選：C.4.已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由題圖中的對稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.故選：C5.已知平面上兩點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“單曲型直線”，下列直線中是“單曲型直線”的是（）①；②y=2；③；④.A.①③ B.③④ C.②③ D.①②【答案】D【解析】∵|PM|-|PN|=6，∴點P在以M、N為焦點的雙曲線的右支上，即（x＞0）.對于①，聯(lián)立消y得7x2-18x-153=0，∵=（-18）2-4×7×（-153）＞0，∴y=x+1是“單曲型直線”．對于②，聯(lián)立消y得x2=，∴y=2是“單曲型直線”．對于③，聯(lián)立整理得144=0，不成立．∴不是“單曲型直線”．對于④，聯(lián)立消y得20x2+36x+153=0，∵=362-4×20×153＜0，∴y=2x+1不是“單曲型直線”．故符合題意的有①②．故選D6.一圓形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6個座位.現(xiàn)讓3個大人和3個小孩入座進餐，要求任何兩個小孩都不能坐在一起，則不同的入座方法總數(shù)為（）A.6 B.12 C.72 D.144【答案】C【解析】由題意可知，任何兩個小孩都不能坐在一起，則任何兩個大人也不能坐在一起，不妨看作大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大兩種類型，三個大人的入座方法有種，三個小孩的入座方法有種，則不同的入座方法總數(shù)為種.故選：C7.幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點是銳角的一邊上的兩點，試著在邊上找一點，使得最大”.如圖，其結(jié)論是：點為過兩點且和射線相切的圓的切點.根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，點在軸上移動，當(dāng)取得最大值時，該圓的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可知，點為過兩點且和軸相切的圓的切點，線段中點坐標(biāo)為，又，所以線段的垂直平分線方程為，所以以為弦的圓的圓心在直線上，故設(shè)該圓圓心為，又因為該圓與軸相切，所以圓的半徑，又，所以，解得或，當(dāng)時，是鈍角，故舍去.所以此時圓的方程為.故選：C8.已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數(shù)有三個零點，所以方程有三個根，即方程有三個根，令（），當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以在上遞減，所以的大致圖像如圖所示，由圖像可得當(dāng)時，直線與的圖像有三個交點，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多個符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由圖形特征可知都是負(fù)相關(guān)，都是負(fù)數(shù)，比的相關(guān)系數(shù)更強，所以，，都是正相關(guān)，比的相關(guān)系數(shù)更強，所以，所以AC正確.故選：AC10.下列命題中，正確的命題的序號為（）A.已知隨機變量服從二項分布，若，則B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變C.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則當(dāng)時概率最大【答案】BCD【解析】對于A，，解得，A錯誤；對于B，方差反映的是數(shù)據(jù)與均值的偏移程度，因此每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，每個新數(shù)據(jù)與新均值的偏移不變，方差恒不變，B正確；對于C，服從正態(tài)分布，，C正確；對于D，，則，由，解得，所以．D正確．故選：BCD．11.若正方體的棱長為1，且，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時，的最小值為D.若，點P的軌跡為一段圓弧【答案】AC【解析】因為，其中，所以點P在平面內(nèi)運動，對于A：取AD中點E、中點F，連接EF，所以，因為平面，平面，所以平面，當(dāng)時，則，所以點P在線段EF上運動，因為平面，所以無論點P在EF任何位置，P到平面的距離不變，即高不變，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B：取中點G，中點H，連接GH，當(dāng)時，，所以點P在GH上運動，假設(shè)平面，又，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，所以GH不平行平面，所以P在GH上運動時，P到平面的距離在變化，所以三棱錐的體積不是定值，故B錯誤；對于C：連接，，，當(dāng)時，可得三點共線，將沿翻折至與平面共面，如下圖所示連接AB，當(dāng)P為AB與交點時，最小，即為AB，因為均為面對角線，所以，即為等邊三角形，又，，所以，，所以在中，由正弦定理得，所以，故C正確；對于D：分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，則，設(shè)，所以，所以因為平面，平面，所以，又，所以，所以，整理得，所以，即，所以P點軌跡為線段，故D錯誤故選：AC三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的方差為________．【答案】.【解析】因為，所以，且則，因此的方差為，故答案為：.13已知，則__________.【答案】【解析】因為是的系數(shù)，所以.故答案為：.14.現(xiàn)有n（，）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第k（，2，3，…，n）個袋中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出四個球（每個取后不放回），若第四次取出的球為白球的概率是，則______.【答案】9【解析】設(shè)選出的是第k個袋，連續(xù)四次取球的方法數(shù)為，第四次取出的是白球的取法有如下四種情形：4白，取法數(shù)為：，1紅3白，取法數(shù)為：，2紅2白，取法數(shù)為：，3紅1白：取法數(shù)為：，所以第四次取出的是白球的總情形數(shù)為：，則在第k個袋子中取出的是白球的概率為：，因為選取第k個袋的概率為，故任選袋子取第四個球是白球的概率為：，當(dāng)時，.故答案為：．四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，當(dāng)時，，由于滿足，所以的通項公式為，因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，所以，所以；（2）因為，所以.16.將氫儲存在甲基環(huán)乙烷和甲苯等有機液體中是儲氫和運輸氫的重要方向.2023年12月俄羅斯科學(xué)院西伯利亞分院科研人員用鎳和錫取代鉑，研發(fā)出一種新型高效的脫氫催化劑，脫氫效率達99.9%，且對儲氫載體沒有破壞作用，可重復(fù)使用.近年來，我國氫能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，下表是某市氫能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：年份20182019202020212022年份編號x12345銷量y(萬臺)23.52.589（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量；（2）為了研究不同性別的學(xué)生對氫能源的了解情況，某校組織了一次有關(guān)氫能源的知識競賽活動，隨機抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的數(shù)據(jù)：了解不了解合計男生25女生20合計（i）根據(jù)已知條件，填寫上述2×2列聯(lián)表；（ii）依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別有關(guān)?參考公式：1.回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為2.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：（1）年份編號的平均數(shù)，銷量的平均數(shù)，所以，又所以，于，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，又因為年份2024對應(yīng)的編號為7，所以，故可以預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量約為12.4萬臺．（2）（?。└鶕?jù)男生和女生各60名，補全列聯(lián)表為：

了解不了解合計男生352560女生204060合計5565120（ⅱ）零假設(shè)：該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：，依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別有關(guān).17.如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，,點在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點，且.（1）求證:平面平面;（2）若斜棱柱的高為，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取BC中點為，連接，在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點，平面ABC，又平面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點，分別為軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，斜棱柱的高為，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，曲線上兩點，連線斜率記為，求證：.解：（1）由題意，定義域為，即，對于方程，，當(dāng)，即時，，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即或時，方程有兩不等根，，，而，，所以當(dāng)時，，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，或時，，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）可知，函數(shù)有兩個極值點，則，且，，因為，所以要證，即證，即證，也即證（*）成立.設(shè)，函數(shù)，由（1）知在上單調(diào)遞增，且，所以時，，所以（*）成立，原不等式得證.19.已知是拋物線上任意一點,且到的焦點的最短距離為.直線與交于兩點,與拋物線交于兩點，其中點在第一象限，點在第四象限.（1）求拋物線的方程.（2）證明：（3）設(shè)的面積分別為，其中為坐標(biāo)原點，若，求.解：（1）設(shè)，易知，準(zhǔn)線方程為，所以.當(dāng)時，取得最小值，由，解得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)直線與軸交于點，因為直線的斜率顯然不為0，所以設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去得，所以，所以，同理可得，所以.（3）因為，所以，即.因為，所以，即，所以，由（2）知，所以，故，所以，即，化簡得，解得或，若，則，這與矛盾，所以，所以.河南省許昌市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知為等差數(shù)列，為其前n項和.若，公差，則m的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故選：B.2.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為，所以拋物線準(zhǔn)線為又，所以圓心坐標(biāo)，半徑為2由已知得：圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，則，所以故選：C.3.在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為.事件表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，則，故選：C.4.已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由題圖中的對稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.故選：C5.已知平面上兩點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“單曲型直線”，下列直線中是“單曲型直線”的是（）①；②y=2；③；④.A.①③ B.③④ C.②③ D.①②【答案】D【解析】∵|PM|-|PN|=6，∴點P在以M、N為焦點的雙曲線的右支上，即（x＞0）.對于①，聯(lián)立消y得7x2-18x-153=0，∵=（-18）2-4×7×（-153）＞0，∴y=x+1是“單曲型直線”．對于②，聯(lián)立消y得x2=，∴y=2是“單曲型直線”．對于③，聯(lián)立整理得144=0，不成立．∴不是“單曲型直線”．對于④，聯(lián)立消y得20x2+36x+153=0，∵=362-4×20×153＜0，∴y=2x+1不是“單曲型直線”．故符合題意的有①②．故選D6.一圓形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6個座位.現(xiàn)讓3個大人和3個小孩入座進餐，要求任何兩個小孩都不能坐在一起，則不同的入座方法總數(shù)為（）A.6 B.12 C.72 D.144【答案】C【解析】由題意可知，任何兩個小孩都不能坐在一起，則任何兩個大人也不能坐在一起，不妨看作大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大兩種類型，三個大人的入座方法有種，三個小孩的入座方法有種，則不同的入座方法總數(shù)為種.故選：C7.幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點是銳角的一邊上的兩點，試著在邊上找一點，使得最大”.如圖，其結(jié)論是：點為過兩點且和射線相切的圓的切點.根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，點在軸上移動，當(dāng)取得最大值時，該圓的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可知，點為過兩點且和軸相切的圓的切點，線段中點坐標(biāo)為，又，所以線段的垂直平分線方程為，所以以為弦的圓的圓心在直線上，故設(shè)該圓圓心為，又因為該圓與軸相切，所以圓的半徑，又，所以，解得或，當(dāng)時，是鈍角，故舍去.所以此時圓的方程為.故選：C8.已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數(shù)有三個零點，所以方程有三個根，即方程有三個根，令（），當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以在上遞減，所以的大致圖像如圖所示，由圖像可得當(dāng)時，直線與的圖像有三個交點，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多個符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由圖形特征可知都是負(fù)相關(guān)，都是負(fù)數(shù)，比的相關(guān)系數(shù)更強，所以，，都是正相關(guān)，比的相關(guān)系數(shù)更強，所以，所以AC正確.故選：AC10.下列命題中，正確的命題的序號為（）A.已知隨機變量服從二項分布，若，則B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變C.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則當(dāng)時概率最大【答案】BCD【解析】對于A，，解得，A錯誤；對于B，方差反映的是數(shù)據(jù)與均值的偏移程度，因此每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，每個新數(shù)據(jù)與新均值的偏移不變，方差恒不變，B正確；對于C，服從正態(tài)分布，，C正確；對于D，，則，由，解得，所以．D正確．故選：BCD．11.若正方體的棱長為1，且，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時，的最小值為D.若，點P的軌跡為一段圓弧【答案】AC【解析】因為，其中，所以點P在平面內(nèi)運動，對于A：取AD中點E、中點F，連接EF，所以，因為平面，平面，所以平面，當(dāng)時，則，所以點P在線段EF上運動，因為平面，所以無論點P在EF任何位置，P到平面的距離不變，即高不變，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B：取中點G，中點H，連接GH，當(dāng)時，，所以點P在GH上運動，假設(shè)平面，又，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，所以GH不平行平面，所以P在GH上運動時，P到平面的距離在變化，所以三棱錐的體積不是定值，故B錯誤；對于C：連接，，，當(dāng)時，可得三點共線，將沿翻折至與平面共面，如下圖所示連接AB，當(dāng)P為AB與交點時，最小，即為AB，因為均為面對角線，所以，即為等邊三角形，又，，所以，，所以在中，由正弦定理得，所以，故C正確；對于D：分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，則，設(shè)，所以，所以因為平面，平面，所以，又，所以，所以，整理得，所以，即，所以P點軌跡為線段，故D錯誤故選：AC三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的方差為________．【答案】.【解析】因為，所以，且則，因此的方差為，故答案為：.13已知，則__________.【答案】【解析】因為是的系數(shù)，所以.故答案為：.14.現(xiàn)有n（，）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第k（，2，3，…，n）個袋中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出四個球（每個取后不放回），若第四次取出的球為白球的概率是，則______.【答案】9【解析】設(shè)選出的是第k個袋，連續(xù)四次取球的方法數(shù)為，第四次取出的是白球的取法有如下四種情形：4白，取法數(shù)為：，1紅3白，取法數(shù)為：，2紅2白，取法數(shù)為：，3紅1白：取法數(shù)為：，所以第四次取出的是白球的總情形數(shù)為：，則在第k個袋子中取出的是白球的概率為：，因為選取第k個袋的概率為，故任選袋子取第四個球是白球的概率為：，當(dāng)時，.故答案為：．四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，當(dāng)時，，由于滿足，所以的通項公式為，因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，所以，所以；（2）因為，所以.16.將氫儲存在甲基環(huán)乙烷和甲苯等有機液體中是儲氫和運輸氫的重要方向.2023年12月俄羅斯科學(xué)院西伯利亞分院科研人員用鎳和錫取代鉑，研發(fā)出一種新型高效的脫氫催化劑，脫氫效率達99.9%，且對儲氫載體沒有破壞作用，可重復(fù)使用.近年來，我國氫能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，下表是某市氫能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：年份20182019202020212022年份編號x12345銷量y(萬臺)23.52.589（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年氫能源乘用車的銷量；（2）為了研究不同性別的學(xué)生對氫能源的了解情況，某校組織了一次有關(guān)氫能源的知識競賽活動，隨機抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的數(shù)據(jù)：了解不了解合計男生25女生20合計（i）根據(jù)已知條件，填寫上述2×2列聯(lián)表；（ii）依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對氫能源的了解情況與性別有關(guān)?參考公式：1.回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為2.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：（1）年份編號的平均數(shù)，銷量的平均數(shù)，所以，又所以，于，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，又因為年份2024對應(yīng)的編號為7，所以，故可以預(yù)測2