高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市廬江縣2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所?故選：B.2.在單位圓中，的圓心角所對的弧長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，因?yàn)榘霃綖?，所以的圓心角所對的弧長為.故選：B.3.若a＞1，則的最小值是（）A.2 B.aC. D.3【答案】D【解析】由a＞1，有a－1＞0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝2時(shí)取等號.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對任意的，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因，即函?shù)為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除C選項(xiàng)；因?yàn)?，，則，所以，函數(shù)在上不是增函數(shù)，排除D選項(xiàng).故選：A.6.使“或”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】各選項(xiàng)中，只有為或的真子集，其余均不為真子集，故“”是“或”的一個(gè)充分不必要條件.故選：C.7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減且過點(diǎn)0，1，定義域?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞增且過點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下：所以與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于0，1，又，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，綜上可得.故選：D.8.已知為上的奇函數(shù)，，若且，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由且，，則在上單調(diào)遞增，∵為奇函數(shù)，，，故為偶函數(shù)，而，則，解得：.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若集合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，所以，，故AD正確；所以，，故BC錯(cuò)誤.故選：AD.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.是的對稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象【答案】AB【解析】對于A：的最小正周期為，故A正確；對于B：當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C：，所以不是的對稱軸，故C錯(cuò)誤；對于D：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到：，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞減B.，x2∈R，C.D.，，有【答案】ACD【解析】由為偶函數(shù)知函數(shù)關(guān)于x=1對稱，得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故可求出fx的周期為：，且，故.當(dāng)，，得函數(shù)fx在上單調(diào)遞增，由fx關(guān)于x=1對稱得fx在區(qū)間上單調(diào)遞減且解析式為：，又因?yàn)閒x關(guān)于點(diǎn)對稱得fx在區(qū)間上單調(diào)遞減且解析式為：，從而得：fx在上單調(diào)遞減.對于A項(xiàng)：知函數(shù)fx在區(qū)間上單調(diào)遞減，又由，得函數(shù)fx在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：令，，得：，，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)：由，且，因?yàn)閒x在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)：由A項(xiàng)知：fx在區(qū)間上單調(diào)遞減，由的解析式及函數(shù)周期，可知fx在區(qū)間上的解析式為：，開口向下且具有凹函數(shù)性質(zhì)，從而有，有，故，都有，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集是__________.【答案】【解析】等價(jià)于，即，得到，解得，故不等式的解集為.13.已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為__________.【答案】【解析】①若，則，解得，滿足集合中只有一個(gè)元素，所以符合題意；②若，則為一元二次方程，因?yàn)榧嫌星抑挥幸粋€(gè)元素，所以，解得.綜上所述：的取值集合為.14.已知函數(shù)滿足：，則______．【答案】【解析】，則，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意，得，由得，即，解得：或，故不等式的解集為或x>12.（2）由題意得，的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，即的解集為，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，在開口向上，且與軸沒有交點(diǎn)時(shí)，的解集為，所以，解得，即，綜上：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的研究調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽課時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)時(shí)，圖象是二次函數(shù)的一部分，頂點(diǎn)為，聽課時(shí)間為12分鐘與聽課時(shí)間為8分鐘的注意力指數(shù)都為78，聽課時(shí)間為4分鐘的注意力指數(shù)為62；當(dāng)時(shí)，圖象是線段，其中．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳，要使學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，教師安排核心內(nèi)容應(yīng)在什么時(shí)間段？解：（1）由于聽課時(shí)間為12分鐘與聽課時(shí)間為8分鐘的注意力指數(shù)都為78，，所以頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入上式得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入上式得：，解得，所以.所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，老師在時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.①求函數(shù)的解析式；②若，其中，求的值.解：（1），令，得，則函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）（i）由題意，將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長度，得到，再將所得函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則.（ii）由得，，，則，，即.19.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為為奇函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的圖象的對稱中心.并說明理由；（2）已知函數(shù)，問是否有對稱中心？若有，求出對稱中心；若沒有，請說明理由；（3）對于不同的函數(shù)與，若的圖象都是有且僅有一個(gè)對稱中心，分別記為和.①求證：當(dāng)時(shí)，的圖象仍有對稱中心；②問：當(dāng)時(shí)，的圖象是否仍一定有對稱中心？若一定有，請說明理由；若不一定有，請舉出具體的反例.解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為奇函數(shù)；而，則，于是，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象的對稱中心為.（2），則，取，得，此時(shí)，所以有對稱中心，對稱中心為.（3）①依題意，，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象仍有對稱中心，對稱中心為.②當(dāng)時(shí)，的圖象不一定有對稱中心，如函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，得，函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，得，此時(shí)函數(shù)，定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于直線對稱，沒有對稱中心.安徽省合肥市廬江縣2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?故選：B.2.在單位圓中，的圓心角所對的弧長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，因?yàn)榘霃綖椋缘膱A心角所對的弧長為.故選：B.3.若a＞1，則的最小值是（）A.2 B.aC. D.3【答案】D【解析】由a＞1，有a－1＞0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝2時(shí)取等號.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對任意的，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因，即函?shù)為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除C選項(xiàng)；因?yàn)?，，則，所以，函數(shù)在上不是增函數(shù)，排除D選項(xiàng).故選：A.6.使“或”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】各選項(xiàng)中，只有為或的真子集，其余均不為真子集，故“”是“或”的一個(gè)充分不必要條件.故選：C.7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減且過點(diǎn)0，1，定義域?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞增且過點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下：所以與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于0，1，又，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，綜上可得.故選：D.8.已知為上的奇函數(shù)，，若且，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由且，，則在上單調(diào)遞增，∵為奇函數(shù)，，，故為偶函數(shù)，而，則，解得：.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若集合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，所以，，故AD正確；所以，，故BC錯(cuò)誤.故選：AD.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.是的對稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象【答案】AB【解析】對于A：的最小正周期為，故A正確；對于B：當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C：，所以不是的對稱軸，故C錯(cuò)誤；對于D：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到：，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞減B.，x2∈R，C.D.，，有【答案】ACD【解析】由為偶函數(shù)知函數(shù)關(guān)于x=1對稱，得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故可求出fx的周期為：，且，故.當(dāng)，，得函數(shù)fx在上單調(diào)遞增，由fx關(guān)于x=1對稱得fx在區(qū)間上單調(diào)遞減且解析式為：，又因?yàn)閒x關(guān)于點(diǎn)對稱得fx在區(qū)間上單調(diào)遞減且解析式為：，從而得：fx在上單調(diào)遞減.對于A項(xiàng)：知函數(shù)fx在區(qū)間上單調(diào)遞減，又由，得函數(shù)fx在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：令，，得：，，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)：由，且，因?yàn)閒x在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)：由A項(xiàng)知：fx在區(qū)間上單調(diào)遞減，由的解析式及函數(shù)周期，可知fx在區(qū)間上的解析式為：，開口向下且具有凹函數(shù)性質(zhì)，從而有，有，故，都有，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集是__________.【答案】【解析】等價(jià)于，即，得到，解得，故不等式的解集為.13.已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為__________.【答案】【解析】①若，則，解得，滿足集合中只有一個(gè)元素，所以符合題意；②若，則為一元二次方程，因?yàn)榧嫌星抑挥幸粋€(gè)元素，所以，解得.綜上所述：的取值集合為.14.已知函數(shù)滿足：，則______．【答案】【解析】，則，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意，得，由得，即，解得：或，故不等式的解集為或x>12.（2）由題意得，的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，即的解集為，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，在開口向上，且與軸沒有交點(diǎn)時(shí)，的解集為，所以，解得，即，綜上：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的研究調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽課時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)時(shí)，圖象是二次函數(shù)的一部分，頂點(diǎn)為，聽課時(shí)間為12分鐘與聽課時(shí)間為8分鐘的注意力指數(shù)都為78，聽課時(shí)間為4分鐘的注意力指數(shù)為62；當(dāng)時(shí)，圖象是線段，其中．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳，要使學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，教師安排核心內(nèi)容應(yīng)在什么時(shí)間段？解：（1）由于聽課時(shí)間為12分鐘與聽課時(shí)間為8分鐘的注意力指數(shù)都為78，，所以頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入上式得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入上式得：，解得，所以.所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，老師在時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.①求函數(shù)的解析式；②若，其中，求的值.解：（1），令，得，則函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）（i）由題意，將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長度，得到，再將所得函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則.（ii）由得，，，則，，即.19.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為為奇函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的圖象的對稱中心.并說明理由；（2）已知函數(shù)，問是否有對稱中心？若有，求出對稱中心；若沒有，