15.3.2等邊三角形-第2課時(shí)

含30°

角的直角三角形的性質(zhì)第十五章

軸對(duì)稱【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的兩個(gè)全等的含30°

角的直角三角尺，嘗試拼出不同的三角形。?提問：你能拼出哪些三角形？在拼出的三角形中，有沒有特殊的三角形？引導(dǎo)學(xué)生觀察拼出的圖形，發(fā)現(xiàn)可以拼出等邊三角形。?以小組為單位，討論：從拼出的等邊三角形中，你能發(fā)現(xiàn)含30°

角的直角三角形的直角邊與斜邊之間有什么關(guān)系？學(xué)生可能會(huì)通過測(cè)量、觀察等方法，猜想出在直角三角形中，30°

角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。?證明猜想?引導(dǎo)學(xué)生將猜想轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)命題：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求證：BC=1/2AB。?組織學(xué)生分組討論證明方法。教師巡視各小組，觀察學(xué)生的討論情況，并適時(shí)給予指導(dǎo)。鼓勵(lì)學(xué)生從已學(xué)的等邊三角形知識(shí)出發(fā)，思考如何構(gòu)造輔助線來證明。?經(jīng)過討論，部分學(xué)生可能會(huì)想到以下證明方法：?方法一：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD=BC，連接AD。?因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠ACD=90°。?在△ABC和△ADC中，?BC=DC（輔助線作法）?∠ACB=∠ACD（已證）?AC=AC（公共邊）?所以△ABC≌△ADC（SAS）。?則AB=AD，∠B=∠D。?又因?yàn)椤螧AC=30°，∠B=60°，所以∠D=60°。?所以△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60°

的等腰三角形是等邊三角形）。?所以AB=BD，又因?yàn)锽C=1/2BD，所以BC=1/2AB。?方法二：在AB上截取BE=BC，連接CE。?因?yàn)椤螧=60°，BE=BC，所以△BCE是等邊三角形（有一個(gè)角是60°

的等腰三角形是等邊三角形）。?則∠BEC=60°，CE=BC。?又因?yàn)椤螦=30°，所以∠ACE=∠BEC-∠A=30°。?所以AE=CE（等角對(duì)等邊）。?所以AE=BC，又因?yàn)锳B=AE+BE，BE=BC，所以AB=2BC，即BC=1/2AB。?請(qǐng)小組代表展示證明過程，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié)，強(qiáng)調(diào)證明的思路和方法，以及書寫的規(guī)范性。?得出性質(zhì)?經(jīng)過證明，我們得到了含30°

角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。?用符號(hào)語言表示為：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB。?強(qiáng)調(diào)使用該性質(zhì)的前提條件是在直角三角形中，并且要明確30°

角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系。通過對(duì)比不同的圖形，讓學(xué)生判斷哪些情況可以使用該性質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)條件的理解。?（三）例題講解（15分鐘）?例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，求BC的長(zhǎng)。?分析：直接應(yīng)用含30°

角的直角三角形的性質(zhì)，因?yàn)椤螦=30°，所以BC是30°

角所對(duì)的直角邊，AB是斜邊，根據(jù)性質(zhì)BC=1/2AB。?解：在Rt△ABC中，?∵∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm?∴BC=1/2AB=1/2×8=4cm?例2：如圖，是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長(zhǎng)？?分析：因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以AD=1/2AB。又因?yàn)镈E⊥AC，∠A=30°，所以在Rt△ADE中，DE是30°

角所對(duì)的直角邊，AD是斜邊，可求出DE的長(zhǎng)；同理，在Rt△ABC中，可求出BC的長(zhǎng)，而BD=1/2AB-AD=0。?解：?∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AB=7.4m?∴AD=1/2AB=1/2×7.4=3.7m?在Rt△ADE中，?∵∠A=30°，DE⊥AC?∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85m?在Rt△ABC中，?∵∠A=30°，BC⊥AC?∴BC=1/2AB=1/2×7.4=3.7m?BD=AB-AD=7.4-3.7=0（這里說明BD在本題中實(shí)際是AB的一半，其長(zhǎng)度為3.7m，之前設(shè)BD是為了與后續(xù)計(jì)算格式統(tǒng)一）?例3：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，求證：BE=3AE。?分析：連接AD，因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得AD⊥BC，∠BAD=1/2∠BAC=60°。又因?yàn)镈E⊥AB，所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，可得出AD與AE的關(guān)系；再在Rt△ABD中，∠B=30°，可得出AB與AD的關(guān)系，進(jìn)而得到AB與AE的關(guān)系，從而證明BE=3AE。?證明：連接AD。?∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)?∴AD⊥BC，∠BAD=1/2∠BAC（等腰三角形三線合一）?∵∠BAC=120°?∴∠BAD=60°?在Rt△ADE中，?∵DE⊥AB，∠BAD=60°?∴∠ADE=30°?∴AD=2AE?在Rt△ABD中，?∵∠B=30°?∴AB=2AD?∴AB=4AE?又∵BE=AB-AE?∴BE=4AE-AE=3AE?引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題思路和方法，讓學(xué)生體會(huì)如何在復(fù)雜圖形中識(shí)別和運(yùn)用含30°

角的直角三角形的性質(zhì)，以及如何結(jié)合其他幾何知識(shí)進(jìn)行綜合解題。?（四）課堂練習(xí)（10分鐘）?在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，則AB=______cm。?如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4cm，則BD=______cm。?已知等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2a，求腰上的高。?學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的問題，并進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，重點(diǎn)指導(dǎo)他們?nèi)绾畏治鲱}目條件，運(yùn)用性質(zhì)解題；對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，鼓勵(lì)他們嘗試多種解法。?練習(xí)結(jié)束后，選取部分學(xué)生的答案進(jìn)行展示和講解，強(qiáng)調(diào)解題規(guī)范和注意事項(xiàng)。如在使用性質(zhì)時(shí)，要準(zhǔn)確判斷30°

角所對(duì)的直角邊和斜邊；在幾何證明中，要寫清每一步的依據(jù)等。?（五）課堂小結(jié)（5分鐘）?與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括含30°

角的直角三角形的性質(zhì)及其證明方法，以及運(yùn)用性質(zhì)解決問題的思路和方法。采用提問、學(xué)生總結(jié)、教師補(bǔ)充的方式，確保學(xué)生對(duì)重點(diǎn)知識(shí)掌握牢固。?強(qiáng)調(diào)在應(yīng)用含30°

角的直角三角形的性質(zhì)時(shí)，要注意前提條件，即必須是在直角三角形中，并且要明確30°

角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系。通過對(duì)比不同類型的題目，讓學(xué)生再次加深對(duì)性質(zhì)的理解和記憶。?鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)思考和探索與含30°

角的直角三角形相關(guān)的問題，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和探究精神。布置一些拓展思考的問題，如“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角一定是30°

嗎？”，激發(fā)學(xué)生課后探究的興趣。?（六）布置作業(yè)（5分鐘）?基礎(chǔ)作業(yè)：課本習(xí)題15.3第10、11題。?拓展作業(yè)：如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，BD=10cm，求AC的長(zhǎng)。?實(shí)踐作業(yè)：尋找生活中至少兩個(gè)可以用含30°

角的直角三角形的性質(zhì)來解釋或解決的實(shí)際例子，并記錄下來，下節(jié)課與同學(xué)們分享。例如，測(cè)量一個(gè)有30°

傾斜角的斜坡的高度與長(zhǎng)度的關(guān)系等，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.通過畫圖活動(dòng)和折紙活動(dòng)，進(jìn)一步體會(huì)等邊三角形的對(duì)稱性，訓(xùn)練學(xué)生的直觀想象能力.2.通過學(xué)生自主探究掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.3.通過學(xué)生猜想和歸納結(jié)論的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力.重難點(diǎn)2.這個(gè)特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之處，它有什么特殊性質(zhì)？1.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，若沿著其中一條對(duì)稱軸折疊，能產(chǎn)生什么特殊圖形？想一想:如下圖，將兩個(gè)相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？含30°角的直角三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)問題1：學(xué)生活動(dòng)

【一起探究】分離拼接ACB將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對(duì)折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？問題2：ABCD如圖，顯然，△ADC與△ABC關(guān)于AC成軸對(duì)稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性質(zhì)：

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.你還能用其他方法證明嗎？已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABC證明：延長(zhǎng)BC到D，使BD=AB，連接AD.在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．∴△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,ABCD

證明方法：倍長(zhǎng)法∴BC

=AB．

∴BC=

BD．

方法一：方法點(diǎn)撥

倍長(zhǎng)法就是延長(zhǎng)得到的線段是原線段的正整數(shù)倍，即1倍、2倍……倍長(zhǎng)法EABC證明：

在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC

=AB．

證明方法：截半法方法二：方法點(diǎn)撥在證明中，在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短的線段就是截半法.截半法含30°角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.∵在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，歸納總結(jié)應(yīng)用格式：∴

BC=AB．

ABC例1如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長(zhǎng)度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cmD利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段的值素養(yǎng)考點(diǎn)1ABCD注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長(zhǎng)度是12cm.△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA⊥BA于A，BD=9.6cm，則AD=.4.8cmBCDA如圖∠C=90°，D是CA的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∠BDC=15°，且AD=AB，則BC=AD.BCDA例2如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1C解析：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.E歸納總結(jié)含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.1ABCD

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為20.求腰上的高.解:過點(diǎn)C作CD⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.例3如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.歸納總結(jié)

含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì)．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么