第三章函數(shù)第12課時(shí)二次函數(shù)課前循環(huán)練（限時(shí)5分鐘）1.

（廣東真題）一組數(shù)據(jù)2，6，5，2，4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）A.2

B.4

C.5

D.62.

（廣東真題）到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（

）A.三條中線的交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)C.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)D.三條角平分線的交點(diǎn)BD

圖3-12-1D

50°

①通過對實(shí)際問題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義.

②能畫二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的關(guān)系.

③會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實(shí)際問題.

④知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.

課標(biāo)要求對接教材

人教：九上第二十二章

二次函數(shù)

北師：九下第二章

二次函數(shù)

考點(diǎn)梳理考點(diǎn)復(fù)習(xí)1.二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)

②④⑤2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)_____________________圖象a>0a<0

開口方向向上向下最值增減性減小增大增大減小例2.已知拋物線y=x2-2x-8.（1）開口方向是

；

（2）對稱軸是

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

；

（3）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是

；

（4）當(dāng)x

時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x

時(shí)，y隨x的增大而減??；

（5）當(dāng)x=

時(shí)，y有最

值為

.

向上直線x=1（1，-9）（4，0），（-2，0）

>1<11小-93.拋物線y=a（x-h）2+k與y=ax2的關(guān)系（1）拋物線y=a（x-h）2+k與y=ax2的形狀相同，位置不同，y=a（x-h）2+k是由y=ax2通過平移得到的，平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.

（2）y=ax2的圖象y=a（x-h）2的圖象y=a（x-h）2+k的圖象（h，k）

右左上下例3.

將拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，所得到的拋物線解析式為

.（寫成一般式）

y=3x2+12x+11

4.確定二次函數(shù)的解析式（1）若已知拋物線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)解析式為一般式：__________

；

（2）若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：

；

（3）若已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可設(shè)解析式為兩點(diǎn)式：___

y=ax2+bx+c（a≠0）

y=a（x-h）2+k（a≠0）

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）例4.

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3）.求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式.解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）.將點(diǎn)（0，3）代入上式，得-3a=3.解得a=-1.∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.

5.二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系代數(shù)式作用字母符號圖象的特征a決定開口方向a>0開口

a<0開口

c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）c>0交點(diǎn)在x軸上方c=0拋物線經(jīng)過

c<0交點(diǎn)在x軸

向上向下原點(diǎn)下方代數(shù)式作用字母符號圖象的特征ab>0對稱軸在y軸左側(cè)b=0對稱軸是

ab<0對稱軸在y軸

b2-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2-4ac>0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac=0與x軸有

交點(diǎn)

b2-4ac<0與x軸

交點(diǎn)

y軸右側(cè)一個(gè)沒有例5.

如圖3-12-2，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），其對稱軸為直線x=-1.有下列結(jié)論：①abc<0；②a+b+c<0；③2a-b=0；④4ac-b2>0；⑤若P（-5，y1），Q（m，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，且y1>y2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-5<m<3.其中正確的結(jié)論有

（

）A.1個(gè)

B.2個(gè)C.3個(gè)

D.4個(gè)圖3-12-2C6.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系（1）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系Δ=b2-4ac方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根情況拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)情況Δ>0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)交點(diǎn)Δ=0

Δ<0

方程ax2+bx+c=0的根是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根一個(gè)交點(diǎn)

沒有實(shí)數(shù)根沒有交點(diǎn)6.（2）二次函數(shù)與不等式的關(guān)系①不等式ax2+bx+c>0的解集?拋物線y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；②不等式ax2+bx+c<0的解集?拋物線y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍例6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖3-12-3所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根：

；

（2）寫出不等式ax2+bx+c>0的解集：

；

（3）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍：

；

（4）若方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)圖象寫出k的取值范圍：

.

圖3-12-3x1=1，x2=31<x<3x>2k<27.二次函數(shù)的應(yīng)用運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，首先要用二次函數(shù)表示問題中變量之間的關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解，從而獲得實(shí)際問題的答案例7.

某超市購進(jìn)一批單價(jià)為8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可銷售20件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷售單價(jià)每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，那么將銷售價(jià)定為

元時(shí)，才能使每天所獲銷售利潤最大.

11廣東中考1.

（2024·廣東題8，3分，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)）若點(diǎn)（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函數(shù)y=x2的圖象上，則

（

）A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3

C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2A2.

（2023·廣東題10，3分，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征）如圖3-12-4，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為

（

）A.-1B.-2C.-3D.-4圖3-12-4B

A4.

（2021·廣東題12，4分，二次函數(shù)圖象與幾何變換）把拋物線y=2x2+1向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為

.

y=2（x+1）2-2或y=2x2+4x5.

（2024·廣東題20，9分，二次函數(shù)的應(yīng)用）廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美.

某果商以每噸2萬元的價(jià)格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100t.

市場調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50t.

該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值.

（題中“元”為人民幣）解法一：（求利潤）設(shè)該果商定價(jià)為每噸x萬元，每天的利潤為w萬元.

由題意，得w=（x-2）［100+50（5-x）］=-50（x-4.5）2+312.5.

∵-50<0，∴當(dāng)x=4.5時(shí)，w有最大值，最大值為312.5.

答：該果商定價(jià)為每噸4.5萬元時(shí)，每天的利潤最大，最大值為312.5萬元.

解法二：（求銷售收入）設(shè)該果商定價(jià)為每噸x萬元，每天的銷售收入為w萬元.

由題意，得w=x［100+50（5-x）］=-50（x-3.5）2+612.5.

∵-50<0，∴當(dāng)x=3.5時(shí)，w有最大值，最大值為612.5.

答：該果商定價(jià)為每噸3.5萬元時(shí)，每天的銷售收入最大，最大值為612.5萬元.

高分擊破【典型考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題

得分點(diǎn)分析1.

（2022·廣東）如圖3-12-5，拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB=4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

溫馨提示：此類考題常見于廣東省中考數(shù)學(xué)試卷的第22題，分值一般為13分，答題時(shí)要注意書寫格式，分步書寫，慢做會(huì)求全對，評卷老師是分步給分的哦！【典型考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用2.

（2024·煙臺）每年5月的第三個(gè)星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”.

康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅，計(jì)劃在該月銷售.

根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛.

公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元.

設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元，每天的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

（2）全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

【典型錯(cuò)例】在二次函數(shù)的應(yīng)用中，忽略自變量的取值范圍3.

用一段長為24m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場，若墻長8m，則這個(gè)養(yǎng)雞場的最大面積為

（

）A.36m2

B.64m2C.72m2

D.96m2B

圖3-12-7（-2，0）（4，0）（0，-4）種子生長：等角問題（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使∠BCM=∠ABC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；圖3-12-7

答圖3-12-1生長變式：角度變式（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使∠BCN=15°？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；解：存在.

如答圖3-12-2，設(shè)點(diǎn)N為第一象限內(nèi)的拋物線上的一點(diǎn)，且∠BCN=15°，CN與x軸交于點(diǎn)D.

答圖3-12-2圖3-12-7

答圖3-12-2種子成樹：綜合創(chuàng)新（4）如圖3-12-8，若D是拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A，B，D的圓與DF交于點(diǎn)E，求△ABE的面積.

圖3-12-8

答圖3-12-3中考演練（限時(shí)15分鐘）一、選擇題1.

（2023·蘭州）已知二次函數(shù)y=-3（x-2）2-3，下列說法正確的是

（

）A.對稱軸為直線x=-2B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）C.函數(shù)的最大值是-3D.函數(shù)的最小值是-3C

3.

（2024·天津，跨學(xué)科融合）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的關(guān)系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）.

有下列結(jié)論：①小球從拋出到落地需要6s；②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是30m；③小球運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)5s時(shí)的高度.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

（

）A.0B.1C.2D.3C2.

（2024·包頭）將拋物線y=x2+2x向下平移2個(gè)單位長度后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為

（

）A.y=（x+1）2-3B.y=（x+1）2-2C.y=（x-1）2-3D.y=（x-1）2-2A4.

（2024·貴州）如圖3-12-9，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），則下列說法正確的是

（

）A.二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1B.二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2C.當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而減小D.二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3圖3-12-9D

圖3-12-10B二、填空題6.

（2024·濱州）將拋物線y=-x2先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，則平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.

7.

（2024·寧夏）若二次函數(shù)y=2x2-x+m的圖象與x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是

.

（1，2）

8.

（2024·遼寧）如圖3-12-11，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），若點(diǎn)C（2，3）在拋物線上，則AB的長為

.

圖3-12-114三、解答題9.

（2023·宿遷）某商場銷售A，B兩種商品，每件進(jìn)價(jià)均為20元.

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元.

（1）求A，B兩種商品的銷售單價(jià)；

（2）經(jīng)市場調(diào)研，A種商品按原售價(jià)銷售，可售出40件，原售價(jià)每降價(jià)1元，銷售量可增加10件；B種商品的售價(jià)不變，A種的商品售價(jià)不低于B種商品的售價(jià).

設(shè)A種商品降價(jià)m元，如果A，B兩種商品的銷售量相同，那么當(dāng)m取何值時(shí)，商場銷售A，B兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？（2）∵A種的商品售價(jià)不低于B種商品的售價(jià)，∴30-m