集合的概念（第一課時(shí)）.9.15集合的含義與表達(dá)理解康托爾德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），191月6日病逝于哈雷。學(xué)習(xí)目的1.理解集合的含義以及集合中元素確實(shí)定性、互異性與無序性.2.掌握元素與集合之間的屬于關(guān)系并能用用符號(hào)表達(dá).3.掌握常用數(shù)集及其專用符號(hào)，學(xué)會(huì)使用集合語言論述數(shù)學(xué)問題.4.掌握集合的表達(dá)措施：自然語言、集合語言(列舉法、描述法)，并能互相轉(zhuǎn)換.能選擇合適的措施表達(dá)集合.數(shù)集自然數(shù)的集合,有理數(shù)的集合,不等式x-7<3的解的集合…初中學(xué)習(xí)了哪些集合的實(shí)例點(diǎn)集圓(到一種定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合)線段的垂直平分線(到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合),等等.“請(qǐng)我們班所有的女生起立！”，咱們班所有的女生能不能構(gòu)成一種集合？“請(qǐng)我們班身高在1.70米的男生起立！”，他們能不能構(gòu)成一種集合？其實(shí)，生活中有諸多東西能構(gòu)成集合，例如新華字典里所有的中文可以構(gòu)成一種集合等等。大家能不能再舉某些生活中的實(shí)際例子呢？一般地,我們將某些確定的對(duì)象當(dāng)作一種整體就構(gòu)成一個(gè)集合(簡(jiǎn)稱為集).構(gòu)成集合的對(duì)象叫這個(gè)集合的元素。集合的概念（1）世界上最高的山能不能構(gòu)成集合？（2）世界上的高山能不能構(gòu)成集合？思考：（3）由實(shí)數(shù)1、2、3、1組成的集合有幾個(gè)元素？（4）由實(shí)數(shù)1、2、3、1組成的集合記為A,由實(shí)數(shù)3、1、2、組成的集合記為B,這兩個(gè)集合元素相同嗎？集合元素具有以下三個(gè)特征

確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了

互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。

無序性：集合中的元素是無先后順序的，即集合里的任何兩個(gè)元素可以交換位置這些性質(zhì)都是從概念中得到的,概念是知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),思維的發(fā)源地.判斷如下元素的全體與否構(gòu)成集合,并闡明理由:(1)不小于3不不小于11的偶數(shù);(2)我國的小河流（3）所有不不小于10的自然數(shù).（4）某班個(gè)子高的同學(xué)；（5）不等式x—2>0的所有解.（6）方程X2-1=0的所有解.問題：假如用A表達(dá)會(huì)計(jì)1班學(xué)生構(gòu)成的集合，a表達(dá)會(huì)計(jì)1班的一位同學(xué)，b表達(dá)會(huì)計(jì)2班的一位同學(xué),那么a、b與集合A分別有什么關(guān)系？由此看出元素與集合之間有什么關(guān)系？由于集合是某些確定對(duì)象的集體,因此可以當(dāng)作整體,一般用大寫字母A,B,C等表達(dá)集合.而用小寫字母a,b,c等表達(dá)集合中的元素.

元素與集合的關(guān)系有兩種:假如a是集A的元素，記作:假如a不是集A的元素，記作：例如，用A表達(dá)“1~20以內(nèi)所有的偶數(shù)”構(gòu)成的集合，則有4?A，3?A，等等。元素與集合的關(guān)系常用的數(shù)集數(shù)集符號(hào)自然數(shù)集(非負(fù)整數(shù)集)N正整數(shù)集N*

或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R集合的分類：有限集：具有有限個(gè)元素的集合無限集：具有無限個(gè)元素的集合如自然數(shù)集空集：不含任何元素的集合記作Φ判斷0與N,N*,Z的關(guān)系?課堂練習(xí)P3

第1、2題解析:判斷一種元素與否在某個(gè)集合中,關(guān)鍵在于弄清這個(gè)集合由哪些元素構(gòu)成的.第一課時(shí)完集合的表示法（第二課時(shí)）.9.15問題(1)怎樣表達(dá)“地球上的四大洋”構(gòu)成的集合?(2)怎樣表達(dá)“方程(x-1)(x+2)=0的所有實(shí)數(shù)根”構(gòu)成的集合?｛1,-2｝把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號(hào)｛｝括起來表達(dá)集合的措施叫做列舉法.集合的表達(dá)措施｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝例1用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(3)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.(2)B={0，1}.(3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}.一種集合中的元素的書寫一般不考慮次序(集合中元素的無序性).1.確定性2.互異性3.無序性（注意：元素與元素之間用逗號(hào)隔開）思索：您能用列舉法表達(dá)不等式x-7<3的解集嗎?不能一一列舉﹨集合的表達(dá)措施運(yùn)用元素性質(zhì)表達(dá)集合的措施叫做描述法。詳細(xì)措施是：在花括號(hào)中畫一條豎線，豎線的左側(cè)寫上集合的代表元素x，并標(biāo)出元素的取值范圍，豎線的右側(cè)寫出元素所具有的特性性質(zhì)例3用描述法表達(dá)下列各集合；（1）不不小于5的所有整數(shù)構(gòu)成的集合（2）不等式2x+1≤0的解集（3）所有奇數(shù)構(gòu)成的集合（4）在直角坐標(biāo)系中，由x軸上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合；（5）在直角坐標(biāo)系中，由第一象限所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合。自然語言重要用文字語言表述,而列舉法和描述法是用符號(hào)語言表述.當(dāng)集合為元素諸多的有限集或?yàn)闊o限集時(shí)，可以在花括號(hào)內(nèi)只寫出幾種元素，其他元素用省略號(hào)表達(dá)。需要注意，寫出的元素必須讓人明白省略號(hào)表達(dá)了哪些元素列舉法重要針對(duì)集合中元素個(gè)數(shù)較少的狀況,而描述法重要合用于集合中的元素個(gè)數(shù)無限或不適宜一一列舉的狀況.練習(xí)用列舉法表達(dá)下列集合①②集合的表達(dá)措施練習(xí)P6

練習(xí)第1、2題回顧交流今天我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？集合元素的性質(zhì)：確定性，互異性，無序性2集合的含義14常用數(shù)集及其表示5集合的表示法：列舉法、描述法元素與集合的關(guān)系：

?，?3

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習(xí)題1.1A組第1、2、3題作業(yè)基礎(chǔ)練習(xí)1.填空題⑵設(shè)集合Ａ＝{-2,-1,0,1,2}，Ｂ＝{時(shí)代數(shù)式的值}．則Ｂ中的元素是＿＿＿＿＿⑴現(xiàn)有:①不大于的正有理數(shù).②我校高一年級(jí)所有高個(gè)子的同學(xué).③全部長(zhǎng)方形.④全體無實(shí)根的一元二次方程．四個(gè)條件中所指對(duì)象不能組成集合的＿＿＿．②{3,0,-1}2．選擇題⑴如下說法對(duì)的的()(A)“實(shí)數(shù)集”可記為{R}或{實(shí)數(shù)集}或{所有實(shí)數(shù)}(B){a,b,c,d}與{c,d,b,a}是兩個(gè)不一樣的集合(C)“我校高一年級(jí)全體數(shù)學(xué)學(xué)得好的同學(xué)”不能構(gòu)成一種集合,由于其元素不確定⑵已知2是集合M={}中的元素，則實(shí)數(shù)為()(A)2(B)0或3(C)3(D)0,2,3均可Cc（1）方程組的解集用列舉法表示為_______；用描述法表示為

.（2）集合

用列舉法表示為

.3.填空大學(xué)期間康托爾主修數(shù)論，但受外爾斯特拉斯的影響,對(duì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)分析感愛好。哈雷大學(xué)專家H.E.海涅鼓勵(lì)他研究函數(shù)論。他于1870、1871、1872年刊登三篇有關(guān)三角級(jí)數(shù)的論文。在1872年的論文中提出了以基本序列（即柯西序列）定義無理數(shù)的實(shí)數(shù)理論，并初步提出以高階導(dǎo)出集的性質(zhì)作為對(duì)無窮集合的分類準(zhǔn)則。函數(shù)論研究引起他深入探索無窮集和超窮序數(shù)的愛好和規(guī)定。1872年康托爾在瑞士認(rèn)識(shí)了J.W.R.戴德金，此后時(shí)常往來并通信討論。1873年他估計(jì)，雖然全體正有理數(shù)可以和正整數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)，但全體正實(shí)數(shù)似乎不能。他在1874年的論文《有關(guān)一切實(shí)代數(shù)數(shù)的一種性質(zhì)》中證明了他的估計(jì)，并且指出一切實(shí)代數(shù)數(shù)和正整數(shù)可以建立一一對(duì)應(yīng)，這就證明了超越數(shù)是存在的并且有無窮多。在這篇論文中，他用一一對(duì)應(yīng)關(guān)系作為對(duì)無窮集合分類的準(zhǔn)則。

格奧爾格·康托爾康托爾（GeorgCantor，1845-1918，德）

德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），191月6日病逝于哈雷。其父為搬家俄國的丹麥商人。康托爾11歲時(shí)移居德國,在德國讀中學(xué)。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副專家，1879年任專家。

康托爾在1878年這篇論文里已明確提出“勢(shì)”的概念(又稱為基數(shù))并且用“與自身的真子集有一一對(duì)應(yīng)”作為無窮集的特性。

康托爾認(rèn)為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)擴(kuò)充到無窮數(shù)。他在1879～1884年刊登的題為《有關(guān)無窮線性點(diǎn)集》論文6篇，其中5篇的內(nèi)容大部分為點(diǎn)集論，而第5篇很長(zhǎng)，此篇論述序關(guān)系，提出了良序集、序數(shù)及數(shù)類的概念。他定義了一種比一種大的超窮序數(shù)和超窮基數(shù)的無窮序列，并對(duì)無窮問題作了不少的哲學(xué)討論。在此文中他還提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未給出證明。

在1891年刊登的《集合論的一種主線問題》里，他證明了一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大，由此可知，沒有包括一切集合的集合。他在1878年論文中曾將持續(xù)統(tǒng)假設(shè)作為一種估計(jì)提出，其后在1883年論文里說即將有一嚴(yán)格證明，但他一直未能給出。

在整數(shù)和實(shí)數(shù)兩個(gè)不一樣的無窮集合之外，與否尚有更大的無窮?從1874年初起,康托爾開始考慮面上的點(diǎn)集和線上的點(diǎn)集有無一一對(duì)應(yīng)。通過三年多的探索，1877

說，“我見到了，但我不相信?！边@似乎抹煞了維數(shù)的區(qū)別。論文于1878年刊登后引起了很大的懷疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克羅內(nèi)克都反對(duì)，而戴德金早在1877年7月就看到,不一樣維數(shù)空間的點(diǎn)可以建立不持續(xù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不能有持續(xù)的一一對(duì)應(yīng)。此問題直到19才由L.E.J.布勞威爾給出證明。19世紀(jì)70年代許多數(shù)學(xué)家只承認(rèn)，有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡的，無窮只是潛在的，是就發(fā)展說的。他們不承認(rèn)已經(jīng)完畢的、客觀存在著的無窮整體，例如集合論里的多種超窮集合?？低袪柤险摽隙俗鳛橥戤呎w的實(shí)無窮，從而遭到了某些數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家的批評(píng)與襲擊，尤其是克羅內(nèi)克?？低袪栐?883年的論文和后來的哲學(xué)論文里對(duì)于無窮問題作了詳盡的討論。另首先，康托爾創(chuàng)立集合論的工作開始時(shí)就得到戴德金、外爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵(lì)和贊揚(yáng)。20世紀(jì)以來集合論不停發(fā)展，已成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論。

他的著作有：《G.康托爾全集》1卷及《康托爾-戴德金通信集》等。

康托爾是德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，19