高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省湘潭市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則．故選：C.2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，解得或或，所以原函數(shù)定義域為.故選：B.3.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】均是奇函數(shù)，是偶函數(shù)．故選：B.4.已知是三角形的一個內(nèi)角，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，因為，所以，即不等式的解集為．故選：C.5.“”是“關(guān)于的不等式有解”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件【答案】D【解析】若關(guān)于的不等式有解，則，得．由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件．故選：D.6.已知，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.7.如圖，這是一塊扇形菜地，是弧的中點(diǎn)，是該扇形菜地的弧所在圓的圓心，D為和的交點(diǎn)，若米，則該扇形菜地的面積是（）A.平方米 B.平方米 C.平方米 D.平方米【答案】A【解析】如圖，連接．因為是弧的中點(diǎn)，所以，米．因為，所以，所以，所以是等邊三角形，則．因為米，所以米，米，則該扇形菜地的面積是平方米．故選：A.8.已知，則的最小值為（）A.5 B.4C.3 D.2【答案】C【解析】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故的最小值為3．故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由題意得，所以．故選：BCD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.CD.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象【答案】AB【解析】由圖可知，由，得，則，A，B正確．因為，所以，得，又，所以，C錯誤．由題意得，D錯誤．故選：AB.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若在上單調(diào)遞增，則的值可以為C.存在，使得在上單調(diào)遞減D.若的值域為，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】由題意得，得，得，A正確．若在上單調(diào)遞增，則，解得，B正確．若在上單調(diào)遞減，則，不等式組無解，C錯誤．若的值域為，則，得在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，得，即．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，得恒成立，即．綜上，的取值范圍為，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的值為__________．【答案】【解析】．13.已知函數(shù)則__________．【答案】【解析】因為，所以．14.如圖，地在自西向東的一條直線鐵路上，在距地的B地有一金屬礦，地到該鐵路的距離．現(xiàn)擬定在之間的地修建一條公路到地，即修建一條的運(yùn)輸路線．若公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的倍，則當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為__________時，總運(yùn)費(fèi)最低．【答案】【解析】設(shè)當(dāng)?shù)氐降鼐嚯x為時，鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為，公路每公里運(yùn)費(fèi)為．由題意得，則總運(yùn)費(fèi)，要使總費(fèi)用最低，只需最小即可．設(shè)，則，得，則，得．當(dāng)時，總費(fèi)用最低，則，得，所以當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為時，總運(yùn)費(fèi)最低．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）求值：（為正數(shù)）．（2）若，且，求的值．解：（1）.（2）依題意，，由，得，則，即，所以．16.已知.（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，所以.（2）.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的值域；（3）若函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為2，求的取值范圍．解：（1）．由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）令，由，得，則．由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因為，所以．故在上的值域為．（3）令，得，即，則在上的零點(diǎn)個數(shù)即的圖象與直線在上的公共點(diǎn)個數(shù)．由（2）可知，所以，即的取值范圍為．18.已知是偶函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增．（1）比較與2的大?。唬?）求不等式的解集；（3）若函數(shù)，且，且不等式在上恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為是偶函數(shù)，所以．又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則，即．（2）由，得，得，解得或，即不等式的解集為．（3）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在值域為，所以不等式不恒成立．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使不等式在上恒成立，則，得，得，即．綜上，的取值范圍為．19.已知函數(shù)的定義域為．若且，則稱是凹函數(shù)；若且，則稱是凸函數(shù)．（1）已知函數(shù)．①求的解析式；②判斷是凹函數(shù)還是凸函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)，凸函數(shù)的定義證明你的結(jié)論．（2）討論函數(shù)在定義域上的凹凸性.解：（1）①根據(jù)題意，，所以；②是凹函數(shù)；，且，則，因為，所以，所以，即，故是凹函數(shù).（2），則，因為，所以，所以當(dāng)時，，即，函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)，當(dāng)時，，即，函數(shù)在定義域上為凹函數(shù).湖南省湘潭市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則．故選：C.2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，解得或或，所以原函數(shù)定義域為.故選：B.3.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】均是奇函數(shù)，是偶函數(shù)．故選：B.4.已知是三角形的一個內(nèi)角，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，因為，所以，即不等式的解集為．故選：C.5.“”是“關(guān)于的不等式有解”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件【答案】D【解析】若關(guān)于的不等式有解，則，得．由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件．故選：D.6.已知，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.7.如圖，這是一塊扇形菜地，是弧的中點(diǎn)，是該扇形菜地的弧所在圓的圓心，D為和的交點(diǎn)，若米，則該扇形菜地的面積是（）A.平方米 B.平方米 C.平方米 D.平方米【答案】A【解析】如圖，連接．因為是弧的中點(diǎn)，所以，米．因為，所以，所以，所以是等邊三角形，則．因為米，所以米，米，則該扇形菜地的面積是平方米．故選：A.8.已知，則的最小值為（）A.5 B.4C.3 D.2【答案】C【解析】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故的最小值為3．故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由題意得，所以．故選：BCD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.CD.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象【答案】AB【解析】由圖可知，由，得，則，A，B正確．因為，所以，得，又，所以，C錯誤．由題意得，D錯誤．故選：AB.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若在上單調(diào)遞增，則的值可以為C.存在，使得在上單調(diào)遞減D.若的值域為，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】由題意得，得，得，A正確．若在上單調(diào)遞增，則，解得，B正確．若在上單調(diào)遞減，則，不等式組無解，C錯誤．若的值域為，則，得在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，得，即．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，得恒成立，即．綜上，的取值范圍為，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的值為__________．【答案】【解析】．13.已知函數(shù)則__________．【答案】【解析】因為，所以．14.如圖，地在自西向東的一條直線鐵路上，在距地的B地有一金屬礦，地到該鐵路的距離．現(xiàn)擬定在之間的地修建一條公路到地，即修建一條的運(yùn)輸路線．若公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的倍，則當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為__________時，總運(yùn)費(fèi)最低．【答案】【解析】設(shè)當(dāng)?shù)氐降鼐嚯x為時，鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為，公路每公里運(yùn)費(fèi)為．由題意得，則總運(yùn)費(fèi)，要使總費(fèi)用最低，只需最小即可．設(shè)，則，得，則，得．當(dāng)時，總費(fèi)用最低，則，得，所以當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為時，總運(yùn)費(fèi)最低．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）求值：（為正數(shù)）．（2）若，且，求的值．解：（1）.（2）依題意，，由，得，則，即，所以．16.已知.（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，所以.（2）.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的值域；（3）若函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為2，求的取值范圍．解：（1）．由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）令，由，得，則．由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因為，所以．故在上的值域為．（3）令，得，即，則在上的零點(diǎn)個數(shù)即的圖象與直線在上的公共點(diǎn)個數(shù)．由（2）可知，所以，即的取值范圍為．18.已知是偶函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增．（1）比較與2的大小；（2）求不等式的解集；（3）若函數(shù)，且，且不等式在上恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為是偶函數(shù)，所以．又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則，即．（2）由，得，得，解得或，即不等式的解集為．（3）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在值域為，所以不等式不恒成立．當(dāng)時，在上