高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市高郵市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.可表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以可設(shè)，則有，，，解得，，，故.故選：A.3.5名男生分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A.6 B.120 C.125 D.243【答案】D【解析】依題意，每名男生都可以報(bào)名參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)中的任何一個(gè)，且每人限報(bào)其中的一個(gè)，故每名男生的報(bào)名方法都是3種，因此5名男生的不同報(bào)法種數(shù)為.故選：D.4.對(duì)于空間中任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因A，B，C三點(diǎn)不共線，則不共線，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，即四點(diǎn)共面，也即存在唯一的一組實(shí)數(shù)，滿足，即，整理得：.對(duì)于A，因，可得，因，故此時(shí)點(diǎn)P不在平面ABC內(nèi)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，可得，因，故此時(shí)點(diǎn)P不在平面ABC內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，可得，因，故點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，故C正確；對(duì)于D，由可得，整理得：，因，故點(diǎn)P不在平面ABC內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.設(shè)，則直線能作為下列函數(shù)圖象的切線的有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線可知，其斜率為.對(duì)于A，由可得，即該曲線上的任何點(diǎn)的切線斜率均為非負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，原因同上可知B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，因有解，故C正確；對(duì)于D，由可得，即無(wú)解，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.在長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)E在棱BC上，且，點(diǎn)G為的重心，則點(diǎn)G到直線AE的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在長(zhǎng)方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，得，由點(diǎn)E在棱BC上，且，得，的重心，則，，，，所以點(diǎn)G到直線AE的距離.故選：A7.若函數(shù)在存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在存在單調(diào)減區(qū)間，所以有解，即有解，則，又，且，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B8.設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)，均有，且，則（）A. B.C. D.是函數(shù)的極小值點(diǎn)【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，由可得，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，故?dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足關(guān)系，所以，，又，所以，，所以，故，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，，所以，C正確；因?yàn)?，令可得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：C.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.滿足不等式的x的值可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】ABC【解析】由可得：，即，由化簡(jiǎn)得：，即，解得或，綜上可得，又，故x的值可能為3，4，5，6，7.故選：ABC.10.在空間直角坐標(biāo)系中，，則（）A.向量在向量上的投影向量為B.若某直線的方向向量為，則該直線與平面平行C.異面直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，所以向量在向量上的投影向量為，A正確；對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，則，又，，所以，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，故，所以該直線可能在平面內(nèi)或與平面平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由已知，，設(shè)異面直線與所成的角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，又為平面的一個(gè)法向量，所以，所以點(diǎn)不在平面內(nèi)，D錯(cuò)誤，故選：AC.11.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.當(dāng)時(shí)，若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，令，得；令，得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，且時(shí)，，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，則，由于，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，，則，則，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即時(shí)，，若，則，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為=_________．【答案】4050【解析】.故答案為：405013.已知，則_________．（用數(shù)字作答）【答案】495【解析】由可得，故.故答案為：495.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則面積的最小值為_________．【答案】【解析】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，由得，得，故，故由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，因平面，故，故，故的面積最小值為，故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.己知函數(shù)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，則得，故.（2）令，得或，列表如下：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，的極大值為，極小值為，又因?yàn)?，，因此，函?shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16.如圖，在空間四邊形OABC中，D為棱BC上一點(diǎn)，且滿足，E為線段AD的中點(diǎn)，設(shè)．（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值．解：（1）因?yàn)?，由向量的線性運(yùn)算法則，可得：.（2）由，所以.17.（1）現(xiàn)將學(xué)號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，7號(hào)的七名同學(xué)站成一排，如果學(xué)號(hào)為1，2的兩人之間恰好有3個(gè)人，有多少種不同的排法？（用數(shù)字作答）（2）由1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，且奇數(shù)數(shù)字從小到大排列（由高數(shù)位到低數(shù)位），這樣的七位數(shù)有多少個(gè)？（用數(shù)字作答）（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任選5個(gè)組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的“五位凸數(shù)”（滿足），這樣的“五位凸數(shù)”有多少個(gè)？（用數(shù)字作答）解：（1）先排學(xué)號(hào)為1，2的兩人，有種；再在其余5人中選擇3人站在學(xué)號(hào)為1，2的兩人之間，有種；再將這5人看作整體與另外2人排成一排，有種；由分步計(jì)數(shù)原理知，共種排法；（2）不考慮限制條件，有個(gè)七位數(shù)；則4個(gè)奇數(shù)的位置一定，共有個(gè)七位數(shù)；（3）先從7個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)數(shù)字，有種；將選出的5個(gè)數(shù)中的最大數(shù)排在最中間，有1種；在選出5個(gè)數(shù)中的其余4個(gè)數(shù)中，選擇2個(gè)排在中間數(shù)的左邊，有種；將選出的5個(gè)數(shù)中的剩下的2個(gè)數(shù)，排在中間數(shù)的右邊，有1種；由分步計(jì)數(shù)原理知，共種排法.18.如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，，分別為所在邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得二面角為直二面角．（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）棱上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為．若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由已知，連接，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，又面，所以平面；取邊的中點(diǎn)記為，則；以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以；（2）由（1），，，，所以，，，記平面的法向量為，所以，不妨取，得，所以為平面的一個(gè)法向量；記直線與平面的所成角為，則，所以，直線與平面的所成角的正弦值為；（3）設(shè)，其中，，，，，，記平面的一個(gè)法向量為，則有，不妨取，解得，即；則點(diǎn)到平面的距離，整理得：即，解得或（舍去），所以，當(dāng)點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為．19.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的最小值為，求a的值；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．解：（1）由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，可得，①?dāng)時(shí)，若，恒成立，恒成立，可得，所以在內(nèi)單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，，可得；令得：，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．（2）由函數(shù)，可得，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，區(qū)間上單調(diào)遞增，所以（舍去）；②當(dāng)時(shí)，令，可得，（i）當(dāng)時(shí)，即，區(qū)間上單調(diào)遞增，（舍）；（ii）當(dāng)時(shí)，即，區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；令函數(shù)，可得，所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故關(guān)于方程的解為；（iii）當(dāng)時(shí)，即，區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得（舍去）；綜上所述，實(shí)數(shù)的值為．（3）當(dāng)時(shí)，，要證，即證，記函數(shù)，定義域?yàn)?，可得，令，由，可得在為單調(diào)增函數(shù)，因?yàn)?，且，所以存在，使得，即，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，將代入得，其中，故，即故當(dāng)時(shí)，．江蘇省揚(yáng)州市高郵市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.可表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以可設(shè)，則有，，，解得，，，故.故選：A.3.5名男生分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A.6 B.120 C.125 D.243【答案】D【解析】依題意，每名男生都可以報(bào)名參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)中的任何一個(gè)，且每人限報(bào)其中的一個(gè)，故每名男生的報(bào)名方法都是3種，因此5名男生的不同報(bào)法種數(shù)為.故選：D.4.對(duì)于空間中任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因A，B，C三點(diǎn)不共線，則不共線，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，即四點(diǎn)共面，也即存在唯一的一組實(shí)數(shù)，滿足，即，整理得：.對(duì)于A，因，可得，因，故此時(shí)點(diǎn)P不在平面ABC內(nèi)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，可得，因，故此時(shí)點(diǎn)P不在平面ABC內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，可得，因，故點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，故C正確；對(duì)于D，由可得，整理得：，因，故點(diǎn)P不在平面ABC內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.設(shè)，則直線能作為下列函數(shù)圖象的切線的有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線可知，其斜率為.對(duì)于A，由可得，即該曲線上的任何點(diǎn)的切線斜率均為非負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，原因同上可知B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，因有解，故C正確；對(duì)于D，由可得，即無(wú)解，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.在長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)E在棱BC上，且，點(diǎn)G為的重心，則點(diǎn)G到直線AE的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在長(zhǎng)方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，得，由點(diǎn)E在棱BC上，且，得，的重心，則，，，，所以點(diǎn)G到直線AE的距離.故選：A7.若函數(shù)在存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在存在單調(diào)減區(qū)間，所以有解，即有解，則，又，且，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B8.設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)，均有，且，則（）A. B.C. D.是函數(shù)的極小值點(diǎn)【答案】C【解析】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，由可得，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，故?dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足關(guān)系，所以，，又，所以，，所以，故，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，，所以，C正確；因?yàn)?，令可得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：C.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.滿足不等式的x的值可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】ABC【解析】由可得：，即，由化簡(jiǎn)得：，即，解得或，綜上可得，又，故x的值可能為3，4，5，6，7.故選：ABC.10.在空間直角坐標(biāo)系中，，則（）A.向量在向量上的投影向量為B.若某直線的方向向量為，則該直線與平面平行C.異面直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，所以向量在向量上的投影向量為，A正確；對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，則，又，，所以，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，所以該直線可能在平面內(nèi)或與平面平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由已知，，設(shè)異面直線與所成的角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，又為平面的一個(gè)法向量，所以，所以點(diǎn)不在平面內(nèi)，D錯(cuò)誤，故選：AC.11.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.當(dāng)時(shí)，若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，令，得；令，得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，且時(shí)，，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，則，由于，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，，則，則，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即時(shí)，，若，則，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為=_________．【答案】4050【解析】.故答案為：405013.已知，則_________．（用數(shù)字作答）【答案】495【解析】由可得，故.故答案為：495.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則面積的最小值為_________．【答案】【解析】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，由得，得，故，故由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，因平面，故，故，故的面積最小值為，故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.己知函數(shù)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，則得，故.（2）令，得或，列表如下：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，的極大值為，極小值為，又因?yàn)?，，因此，函?shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16.如圖，在空間四邊形OABC中，D為棱BC上一點(diǎn)，且滿足，E為線段AD的中點(diǎn)，設(shè)．（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值．解：（1）因?yàn)?，由向量的線性運(yùn)算法則，可得：.（2）由，所以.17.（1）現(xiàn)將學(xué)號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，7號(hào)的七名同學(xué)站成一排，如果學(xué)號(hào)為1，2的兩人之間恰好有3個(gè)人，有多少種不同的排法？（用數(shù)字作答）（2）由1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，且奇數(shù)數(shù)字從小到大排列（由高數(shù)位到低數(shù)位），這樣的七位數(shù)有多少個(gè)？（用數(shù)字作答）（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任選5個(gè)組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的“五位凸數(shù)”（滿足），這樣的“五位凸數(shù)”有多少個(gè)？（用數(shù)字作答）解：（1）先排學(xué)號(hào)為1，2的兩人，有種；再在其余5人中選擇3人站在學(xué)號(hào)為1，2的兩人之間，有種；再將這5人看作整體與另外2人排成一排，有種；由分步計(jì)數(shù)原理知，共種排法；（2）不考慮限制條件，有個(gè)七位數(shù)；則4個(gè)奇數(shù)的位置一定，共有個(gè)七位數(shù)；（3）先從7個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)數(shù)字，有種；將選出的5個(gè)數(shù)中的最大數(shù)排在最中間，有1種；在選出5個(gè)數(shù)中的其余4個(gè)數(shù)中，選擇2個(gè)排在中間數(shù)的左邊，有種；將選出的5個(gè)數(shù)中的剩下的2個(gè)數(shù)，排在中間數(shù)的右邊，有1種；由分步計(jì)數(shù)原理知，共種排法.18.如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，，分別為所在邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿直線折