答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)3.2雙曲線第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程例1已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)P與，的距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由，，得，又，因此．所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為例2已知A，B兩地相距800m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡的形狀．由聲速及A，B兩處聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可知A，B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差為定值，所以爆炸點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上．因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上．解：如圖3.2-5，建立平面直角坐標(biāo)系，使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且原點(diǎn)O與線段的中點(diǎn)重合．設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，即，．又，所以，，．因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，因此．所以，炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為．圖3.2-5練習(xí)1．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，，；（2）焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（3）焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．2．求證：雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同．3．已知方程表示雙曲線，求m的取值范圍．4．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是與，焦距為8；M是雙曲線上的一點(diǎn)，且，求的值．3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例3求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程．由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)；由，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，；離心率；漸近線方程為．練習(xí)5．求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的坐標(biāo)以及離心率：（1）；

（2）；（3）；

（4）．6．求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8，；（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是16，．7．對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程．8．雙曲線的漸近線方程是，虛軸長(zhǎng)為4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．例4雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（圖3.2-10（1））．它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）．圖3.2-10解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3.2-10（2）所示的直角坐標(biāo)系，使小圓的直徑在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合．這時(shí)，上、下口的直徑，都平行于x軸，且，．設(shè)雙曲線的方程為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．因?yàn)橹睆绞菍?shí)軸，所以．又B，C兩點(diǎn)都在雙曲線上，所以由方程②，得（負(fù)值舍去）．代入方程①，得．化簡(jiǎn)得．③解方程③，得（負(fù)值舍去）．因此所求雙曲線的方程為．例5動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡．解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是點(diǎn)的集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得，即．所以，點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為6、虛軸長(zhǎng)為的雙曲線（圖3.2-11）．圖3.2-11例6如圖3.212，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求．圖3.2-12解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)分別為，．因?yàn)橹本€的傾斜角是30°，且經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，所以直線的方程為．①由消去y，得．解方程，得，．將，的值分別代入①，得，于是，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．所以．練習(xí)9．已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是．求點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀．10．求下列直線和雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)：（1），；

（2），．11．直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為，求離心率e．習(xí)題3.2復(fù)習(xí)鞏固12．雙曲線上的一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)________.13．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）焦點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．14．已知下列雙曲線的方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程：（1）；

（2）．15．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)10，虛軸長(zhǎng)8.（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是10，虛軸長(zhǎng)8.（3）離心率，經(jīng)過(guò)點(diǎn).16．如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn)．線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？17．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．綜合運(yùn)用18．m，n為何值時(shí)，方程表示下列曲線：（1）圓；

（2）橢圓；

（3）雙曲線？19．求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線的方程.20．相距1400m的A，B兩個(gè)哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，問(wèn)炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上，并求出曲線的方程．21．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和M到定直線的距離的比是，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀．22．M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MA與直線垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線垂直，垂足B位于第四象限．若四邊形OAMB（O為原點(diǎn)）的面積為3，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．23．設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，雙曲線的漸近線的斜率小于，求和的取值范圍．拓廣探索24．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線l與