4．5函數(shù)的應(yīng)用（二）第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）例1求方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).分析：可以先借助計(jì)算工具畫出函數(shù)的圖象或列出x，y的對(duì)應(yīng)值表，為觀察?判斷零點(diǎn)所在區(qū)間提供幫助.解：設(shè)函數(shù)，利用計(jì)算工具，列出函數(shù)的對(duì)應(yīng)值表（表），并畫出圖象（圖）.由表和圖可知，，，則.由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).容易證明，函數(shù)，是增函數(shù)，所以它只有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.例2借助信息技術(shù)，用二分法求方程的近似解（精確度為0.1）.解：原方程即，令，用信息技術(shù)畫出函數(shù)的圖象（圖4.5-4），并列出它的對(duì)應(yīng)值表（表）.觀察圖或表，可知，說明該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).取區(qū)間的中點(diǎn)，用信息技術(shù)算得.因?yàn)?，所?再取區(qū)間的中點(diǎn)，用信息技術(shù)算得.因?yàn)?，所?同理可得，，.由于，所以，原方程的近似解可取為1.375.例3人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，表示時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.表是1950~1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：（1）如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；（2）如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在哪一年我國(guó)的人口數(shù)達(dá)到13億？分析：用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立具體人口增長(zhǎng)模型，就是要確定其中的初始量和年平均增長(zhǎng)率r.解：（1）設(shè)1951~1959年我國(guó)各年的人口增長(zhǎng)率分別為，，…，.由，可得1951年的人口增長(zhǎng)率.同理可得，，，，，，，，.于是，1951~1959年期間，我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為.令，則我國(guó)在1950~1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為，.根據(jù)表4.5-4中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并畫出函數(shù)（）的圖象（圖4.5-6）.由圖可以看出，所得模型與1950~1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.（2）將代入，由計(jì)算工具得.所以，如果按表4.5-4的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.例42010年，考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？分析：因?yàn)樗劳錾餀C(jī)體內(nèi)碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選擇函數(shù)（，且；，且）建立數(shù)學(xué)模型.解：設(shè)樣本中碳14的初始量為k，衰減率為p（），經(jīng)過x年后，殘余量為y.根據(jù)問題的實(shí)際意義，可選擇如下模型：（，且；；）.由碳14的半衰期為5730年，得.于是，所以.由樣本中碳14的殘余量約為初始量的55.2%可知，，即.解得.由計(jì)算工具得.因?yàn)?010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此水壩大概是公元前2902年建成的.例5假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？分析：我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù).解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)（）進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)（）進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)（）進(jìn)行描述.三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是增函數(shù).要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析.我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況（表）.再畫出三個(gè)函數(shù)的圖象（圖）由表和圖可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二?方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同.可以看到，盡管方案一?方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一?方案二所無法企及的.從每天所得回報(bào)看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過2億元下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù).通過信息技術(shù)列表如下（表）.因此，投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8~10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，則應(yīng)選擇方案三.例6某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：，，，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？分析：本例提供了三個(gè)不同增長(zhǎng)方式的獎(jiǎng)勵(lì)模型，按要求選擇其中一個(gè)函數(shù)作為刻畫獎(jiǎng)金總數(shù)與銷售利潤(rùn)的關(guān)系.由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬元，所以銷售人員的銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過公司總的利潤(rùn).于是，只需在區(qū)間上，尋找并驗(yàn)證所選函數(shù)是否滿足兩條要求：第一，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，即最大值不大于5；第二，獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%，即.不妨先畫出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)圖象，得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.解：借助信息技術(shù)畫出函數(shù)，，，的圖象（圖）.觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間上，模型，的圖象都有一部分在直線的上方，只有模型的圖象始終在的下方，這說明只有按模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求.下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元.對(duì)于模型，它在區(qū)間上單調(diào)遞增，而且當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，，所以該模型不符合要求；對(duì)于模型，由函數(shù)圖象，并利用信息技術(shù)，可知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)滿足，由于它在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，所以該模型也不符合要求；對(duì)于模型，它在區(qū)間上單調(diào)遞增，而且當(dāng)時(shí)，，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求.再計(jì)算按模型獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤(rùn)的25%，即當(dāng)時(shí)，是否有，即成立.令，，利用信息技術(shù)畫出它的圖象（圖）.由圖象可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，即.所以，當(dāng)時(shí)，，說明按模型獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤(rùn)的25%.綜上所述，模型確實(shí)能符合公司要求.4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解練習(xí)1．圖（1）（2）（3）分別為函數(shù)在三個(gè)不同范圍的圖象.能否僅根據(jù)其中一個(gè)圖象，得出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間只有一個(gè)零點(diǎn)的判斷？為什么？（1）（2）（3）2．利用計(jì)算工具畫出函數(shù)的圖象，并指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）.4.5.2用二分法求方程的近似解練習(xí)3．借助信息技術(shù),用二分法求函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)零點(diǎn)的近似值(精確度為0.1)4．借助信息技術(shù),用二分法求方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解(精確度為0.1).4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用練習(xí)5．已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為0.3%；1970年世界人口為36億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為2.1%．（1）用馬爾薩斯人口模型計(jì)算，什么時(shí)候世界人口是1650年的2倍?什么時(shí)候世界人口是1970年的2倍？（2）實(shí)際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2004年世界人口還沒有達(dá)到72億．你對(duì)同樣的模型得出的兩個(gè)結(jié)果有何看法？6．在一段時(shí)間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期為21個(gè)月，那么1萬只野兔增長(zhǎng)到1億只野兔大約需要多少年？7．1959年，考古學(xué)家在河南洛陽(yáng)偃師市區(qū)二里頭村發(fā)掘出了一批古建筑群，從其中的某樣本中檢測(cè)出碳14的殘余量約為初始量的，能否以此推斷二里頭遺址大概是什么年代的？（碳14的半衰期為5730年）練習(xí)8．某地今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，61，68為了預(yù)測(cè)以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型，乙選擇了模型，其中為患病人數(shù)，為月份數(shù)，都是常數(shù)。結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為74，78，83，你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型更符合實(shí)際？9．由于提高了養(yǎng)殖技術(shù)并擴(kuò)大了養(yǎng)殖規(guī)模，某地的肉雞產(chǎn)量在不斷增加，2008-2018年的11年，上市的肉雞數(shù)量如下：時(shí)間/年20082009201020112012201320142015201620172018肉雞數(shù)量/噸7690785080008150831084608620870892090809230同期該地的人口數(shù)如下：時(shí)間/年20082009201020112012201320142015201620172018人口數(shù)/萬100.0101.2102.4103.6104.9106.1107.4108.7110.111.3112.7（1）分別求出能近似地反映上述兩組數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)；（2）如果2017年該地上市的肉雞基本能滿足本地的需求，那么2018年是否能滿足市場(chǎng)的需求？（3）按上述兩表的變化趨勢(shì)，你對(duì)該地2018年后肉雞市場(chǎng)的發(fā)展有何建議?習(xí)題4.5復(fù)習(xí)鞏固10．下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是______.（填寫上所有符合條件的圖號(hào)）

11．已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：x123456y136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064函數(shù)在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)？為什么？12．已知函數(shù)，求證：方程在內(nèi)至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.13．利用信息技術(shù)，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)（精確度為0.1）.14．利用信息技術(shù)，用二分法求方程的近似解（精確度為0.1）.15．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍．那么開機(jī)后多少分，該病毒會(huì)占據(jù)64MB內(nèi)存（）？綜合運(yùn)用16．設(shè)函數(shù)，且，求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）利用信息技術(shù)，畫出函數(shù)的圖象；（3）求函數(shù)的零點(diǎn)（精確度為0.1）18．如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：）與時(shí)間1（單位：月）的關(guān)系為.關(guān)于下列說法：①浮萍每月的增長(zhǎng)率為1；②第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過；③浮萍每月增加的面積都相等；④若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別是，則，其中正確的說法是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④19．一種藥在病人血液中的量保持在以上時(shí)才有療效，而低于時(shí)病人就有危險(xiǎn)，現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥，果藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，那么應(yīng)在什么時(shí)間范圍再向病人的血液補(bǔ)充這種藥（精確到0.1h）？20．人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從升到乃至級(jí)別，國(guó)際數(shù)據(jù)公司（IDC）的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49ZB，2009年的數(shù)據(jù)量為0.8ZB，2010年增長(zhǎng)到1.2ZB，2011年的數(shù)量更是高達(dá)1.82ZB，而到了2020年，預(yù)計(jì)全世界所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模將達(dá)到2011年的44倍，為了較好地描述2008年起全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與時(shí)間x（單位：年）的關(guān)系，根據(jù)上述數(shù)據(jù)信息，從函數(shù)和中選擇一個(gè)，并求出解析式.21．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表.身高/60708090100110120130140150160170體重/6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的關(guān)系式.（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為，