數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合要求的．

1.下列實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.1B.0C.2D.2

2.中國(guó)古算詩(shī)詞歌賦較多．古算詩(shī)詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪漫形式．下

列分別是古算詩(shī)詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸

對(duì)稱(chēng)圖形也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A.B.C.D.

3.若x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的值可以是（）

A.2B.1C.0D.2

4.福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”——云紋青銅大繞，如圖1．云紋青銅大繞是西周樂(lè)器，鼓飾變形

獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風(fēng)穩(wěn)重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝煌．圖2為

其示意圖，它的主視圖是（）

A.B.C.D.

1

5.不等式x12的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2

A.B.

C.D.

6.在分別寫(xiě)有1，1，2的三張卡片中，不放回地隨機(jī)抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概

率是（）

1

1112

A.B.C.D.

4323

7.某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)

在同一條直線上，BACEDF90,B45,DEF60．當(dāng)AD∥BC時(shí)，ADE的大小為

（）

A.5B.15C.25D.35

8.為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，增加學(xué)生實(shí)踐機(jī)會(huì)，某校擬用總長(zhǎng)為5米的籬笆，在兩邊都足夠長(zhǎng)的直角圍墻的一角，

圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實(shí)踐基地，如圖所示．設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程（）

2

A.5x26B.51x6C.x(5x)6D.5(1x)26

9.如圖，PA與O相切于點(diǎn)A，PO的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)C．AB∥PC，且交O于點(diǎn)B．若P30，

則BCP的大小為（）

A.30B.45C.60D.75

2

10.已知點(diǎn)A2,y1,B1,y2在拋物線y3xbx1上，若3b，則下列判斷正確的是（）

A.1y1y2B.y11y2C.1y2y1D.y21y1

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．

11.為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對(duì)自己的體重進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計(jì)．為方便記錄，他將體重增加1.5kg

2

記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作_______．

12.某房梁如圖所示，立柱ADBC，E，F(xiàn)分別是斜梁AB，AC的中點(diǎn)．若ABAC8m，則DE的

長(zhǎng)為_(kāi)______m．

k

13.若反比例函數(shù)y的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1)，則常數(shù)k_______．

x

14.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若

OA2,OD1，則△AOE與DOF的面積之和為_(kāi)______．

15.某公司為選拔英語(yǔ)翻譯員，舉行聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)綜合測(cè)試，其中聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)成績(jī)（百分制）按

4:3:2:1的比例計(jì)算最終成績(jī)．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)及最終成績(jī)?nèi)?/p>

下表：

項(xiàng)目

聽(tīng)說(shuō)讀寫(xiě)最終成績(jī)

員工

甲A70809082

乙B90807082

由以上信息，可以判斷A，B的大小關(guān)系是A_______B．（填“>”“=”或“<”）

16.彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的．胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力F

的大小與彈簧伸長(zhǎng)（或壓縮）的長(zhǎng)度x成正比，即Fkx，其中k為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；質(zhì)量為m

的物體重力為mg，其中g(shù)為常數(shù)．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為6厘米．在其彈性限

度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米時(shí)，所掛物體

的質(zhì)量為_(kāi)______千克．

3

三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

17.計(jì)算：20|12|8

18.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB,AD的延長(zhǎng)線上，CBECDF,ACBACD．求證：ABAD．

1aa22a1

19.先化簡(jiǎn)，再求值：2，其中a51．

aa

20.甲、乙兩人是新華高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員．以下是他們?cè)趨⒓痈咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊(duì)員集訓(xùn)期間的測(cè)

試成績(jī)及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息．

信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)（單位：分）

日期2月2月3月3月3月4月4月4月5月5月

隊(duì)員10日21日5日14日25日7日17日27日8日20日

甲75807381908385929596

乙82838682928387868485

22

其中，甲、乙成績(jī)的平均數(shù)分別是x甲85,x乙85；方差分別是s甲58.4，s乙a．

信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線（單位：分）

年份20202021202220232024

獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線9089908990

試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，解決以下問(wèn)題：

4

（1）計(jì)算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對(duì)甲、乙的成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)；

（2）計(jì)算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說(shuō)明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，

選誰(shuí)更合適；

（3）若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰(shuí)更合適？為什么？

21.如圖，VABC是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，CEBC，垂足為C，EF是由CD沿CE方向平移

得到的．已知EF過(guò)點(diǎn)A，BE交CD于點(diǎn)G．

（1）求DCE的大??；

（2）求證：CEG是等邊三角形．

22.如圖，矩形ABCD中，ABAD．

（1）求作正方形EFGH，使得點(diǎn)E，G分別落在邊AD,BC上，點(diǎn)F，H落在BD上；（要求：尺規(guī)作圖，

不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）若AB2,AD4，求（1）中所作的正方形的邊長(zhǎng)．

23.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bx2的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,t),B(2,t)．

b

（1）求的值；

a

3

（2）已知二次函數(shù)yax2bx2的最大值為1a2．

4

①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

2

x11x22

②若Mx1,m,Nx2,m為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，且m0，求證：．

mx12

24.閱讀材料，回答問(wèn)題．

主兩個(gè)正數(shù)的積與商的位數(shù)探究

5

題

提小明是一位愛(ài)思考的小學(xué)生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時(shí)，他根據(jù)算式

出

“46292;3521735;663117293，猜想：m位的

問(wèn)

正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個(gè)(mn1)位的正整數(shù)．

題

分

析

問(wèn)題1小明的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；否則，請(qǐng)舉出反例

探

究

小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問(wèn)題的研究推廣到有理數(shù)的乘

法，進(jìn)而遷移到對(duì)除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，

規(guī)定：如果一個(gè)正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a10n，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)的位數(shù)是n1，數(shù)

字是a．

借此，小華研究了兩個(gè)數(shù)乘積的位數(shù)問(wèn)題，提出并證明了以下命題．

命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且ABC，

則必有c≥a且cb，或ca且cb．并且，當(dāng)c≥a且cb時(shí)，pmn1；

推當(dāng)ca且cb時(shí)，pmn．

廣證明：依題意知，A，B，C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為a10m1,b10n1,c10p1，

延

其中a，b，c均為正數(shù)．

伸

由ABC，得ab10mn2c10p1，

ab

即10pmn1．（*）

c

aababa1

當(dāng)c≥a且cb時(shí)，“1，所以b10，又，所以

cccc10

1abab

10．由（*）知，1，所以pmn1；

10cc

aab

1b10

ccab

當(dāng)c≥a且cb時(shí)，，所以所以110，

babc

1a1

c