第06講空間向量的應(yīng)用（二）：距離、夾角問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\u第06講空間向量的應(yīng)用（二）：距離、夾角問(wèn)題 1一、由空間向量研究距離問(wèn)題 2基礎(chǔ)知識(shí) 2考點(diǎn)1點(diǎn)到平面距離的向量 2考點(diǎn)2平行平面距離的向量 5考點(diǎn)3點(diǎn)到直線(xiàn)距離的向量 10二、由空間向量研究空間角問(wèn)題 14基礎(chǔ)知識(shí) 14考點(diǎn)4求異面直線(xiàn)所成的角 15考點(diǎn)5求線(xiàn)面角 18考點(diǎn)6求二面角 23考點(diǎn)7由空間向量研究存在性問(wèn)題 29三、課后作業(yè) 36單選題 36多選題 44填空題 47解答題 48

一、由空間向量研究距離問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)1．距離問(wèn)題(1)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離：已知直線(xiàn)l的單位方向向量為u，A是直線(xiàn)l上的定點(diǎn)，P是直線(xiàn)l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線(xiàn)l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為(如圖)．點(diǎn)P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．考點(diǎn)1\o"點(diǎn)到平面距離的向量求法"\t"/gzsx/zj165976/_blank"點(diǎn)到平面距離的向量【例1.1】（23-24高二上·北京順義·期末）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A．1 B．3 C．102 D．【解題思路】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面BCD1的法向量為n=0,1,3，以及【解答過(guò)程】由題意，以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為因?yàn)锳B=3，BC=2，AA所以D0,0,0則D1不妨設(shè)平面BCD1的法向量為所以D1C?n=3y?z=0即取平面BCD1的法向量為所以點(diǎn)D到平面BCD1的距離為故選：D.【例1.2】（2024·河北滄州·二模）已知四面體ABCD滿(mǎn)足∠BAC=π3,cos∠CAD=13A．52 B．32 C．3 【解題思路】設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量n=xAB+yAC+zAD，列出方程組，求得n=【解答過(guò)程】因?yàn)樗拿骟wABCD滿(mǎn)足∠BAC=π可得AB?設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量n=x則n?令z=1，解得x=1,y=0，所以n=所以n=設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為?，則?=AB故選：D.【變式1.1】（23-24高二下·江西·開(kāi)學(xué)考試）在正三棱錐P?ABC中，AB=2PA=2，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則nA．3 B．233 C．3 【解題思路】根據(jù)AB=2PA=2，得到PA，PB【解答過(guò)程】解：在正三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC，又PA=1，AB=2，所以PA2同理可得PA⊥PC，PC⊥PB，即PA，PB，PC兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線(xiàn)就是外接球的直徑，易得m=1如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1所以AB=?1,1,設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為sx則s?AB令x=1，則y=z=1，所以s=1,1,1則點(diǎn)O到平面ABC的距離n=s?所以nm故選：D．【變式1.2】（23-24高二上·河北石家莊·期末）在如圖所示的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=2,AA1=3,M是BC

A．1 B．12 C．23 【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，將則點(diǎn)A1到平面AMN【解答過(guò)程】由題意知，該幾何體為長(zhǎng)方體，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則A(2,0,0),M(1,2,0),AM=(?1,2,0)，設(shè)

設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則n設(shè)y=t，則x=2t,z=2，則n=(2t,t,2),所以點(diǎn)A1到平面AMN的距離為A又0≤t2≤9,4≤5點(diǎn)A1到平面AMN的距離取得最小值為6故選：D．考點(diǎn)2\o"平行平面距離的向量求法"\t"/gzsx/zj165976/_blank"平行平面距離的向量【例2.1】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）正方體ABCD?A1B1C1DA．2 B．3 C．23 D．【解題思路】將平面AB1D1與平面BDC【解答過(guò)程】由正方體的性質(zhì)：AB1∥DC1,AB1∩且AB1?平面AB1DC1?平面BDC1所以平面AB1D則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AB以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在的直線(xiàn)分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由正方體的棱長(zhǎng)為1，所以A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，B1所以CA1=AB1=連接A1由CA1?所以CA且AB可知CA1⊥得平面AB1D則兩平面間的距離：d=BA故選：D.【例2.2】（23-24高二上·陜西西安·期末）兩平行平面α，β分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A2,1,1，且兩平面的一個(gè)法向量n=?1,0,1A．32 B．22 C．3 【解題思路】根據(jù)題意，利用距離公式進(jìn)行求解.【解答過(guò)程】∵兩平行平面α，β分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A2,1,1，OA=∴兩平面間的距離=n故選B.【變式2.1】（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正方體ABCD?A(1)求直線(xiàn)B1C到平面(2)求平面A1BD與平面【解題思路】（1）直線(xiàn)B1C到平面A1BD的距離等于點(diǎn)（2）平面A1BD與平面B1CD【解答過(guò)程】（1）以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x，y，則D所以CB1=2,0,2,又CB1?平面A1BD，DA1所以直線(xiàn)B1C到平面A1BD的距離等于點(diǎn)設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為則n?DA1=2x+2z=0n?所以點(diǎn)B1到平面A1BD

（2）由（1）知CB1//平面A1BD又B1C∩D1B所以平面A1BD//平面即平面A1BD與平面B1CD由（1）知，點(diǎn)B1到平面A1BD所以平面A1BD與平面B1【變式2.2】（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱A1

(1)求證：平面AMN//平面EFBD；(2)求平面AMN與平面EFBD的距離．【解題思路】（1）法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，通過(guò)證明EF→（2）法一:平面AMN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離?,再由等體積法即可求出答案.法二:求出平面AMN的法向量,AB→=(0，2，0)，平面AMN與平面EFBD的距離等于B到平面AMN的距離【解答過(guò)程】（1）法一:證明：連接B1D1E、F分別是C1∴MN//EF//B1D1，∵M(jìn)N?∴MN//平面EFBD，∵NF平行且等于A(yíng)B∴ABFN是平行四邊形，∴AN//∵AN?平面EFBD，BF?平面EFBD，∴AN//平面EFBD∵AN∩MN=N，∴平面AMN//平面EFBD法二:如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

則A(2，0，0)，M(1，0，3)，B(2，2，0)，E(0，1，3)，F(xiàn)(1，2，3)，N(2，1，3)，∴AM→∴EF→=MN→∵M(jìn)N?平面EFBD，EF?平面EFBD，∴MN//平面EFBD∵AN?平面EFBD，BF?平面EFBD，∴AN//平面EFBD又MN∩AM=M，∴平面AMN//平面EFBD（2）法一:平面AMN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離?．△AMN中，AM=AN=10，MN=2，∴由等體積可得13?19法二:設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為n=則n→?MN∵AB∴平面AMN與平面EFBD的距離為d=|考點(diǎn)3\o"點(diǎn)到直線(xiàn)距離的向量求法"\t"/gzsx/zj165976/_blank"點(diǎn)到直線(xiàn)距離的向量【例3.1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A1,1,1,B0,1,0,C1,2,3，則點(diǎn)CA．3 B．2 C．22 【解題思路】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，AB=則AB=設(shè)向量u是直線(xiàn)AB的單位方向向量，u=AC?則點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為AC2故選：A.【例3.2】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在三棱錐P?ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心為G，則點(diǎn)P到直線(xiàn)AG的距離為（

）A．67 B．53 C．217【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即可得解.【解答過(guò)程】如圖所示：以PA,PB,PC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,0，A1,0,0，B0,2,0C

PA=1,0,0，AG故PA在A(yíng)G的投影為PA?點(diǎn)P到線(xiàn)AG的距離為PA2故選：D.【變式3.1】（23-24高二下·北京·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，且AEEB=3，點(diǎn)A．22 B．32 C．35【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)P到直線(xiàn)AD距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值即可.【解答過(guò)程】以題意，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，AEEB所以A1,0,0,D設(shè)D1則DP→而DA=所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AD的投影數(shù)量的絕對(duì)值為d=DP所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AD的距離為?==25當(dāng)λ=1625時(shí)，等號(hào)成立，即點(diǎn)P到直線(xiàn)AD的距離最小值為故選：C.【變式3.2】（23-24高二上·北京昌平·期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，P，Q分別是棱BC和A．32 B．22 C．33【解題思路】取CC1的中點(diǎn)F，連接EF，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合PQ=2，利用兩點(diǎn)間距離公式，求出【解答過(guò)程】取CC1的中點(diǎn)F，連接以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x，y，則Px,2,0，Q0,y,3因?yàn)镋是PQ的中點(diǎn)，所以Ex所以FE=x2所以FE?CC1=0，即EF⊥CC1因?yàn)镻Q=2，所以PQ2=所以EF2=所以PQ的中點(diǎn)E到CC1的距離為故選：D.

二、由空間向量研究空間角問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)1．夾角問(wèn)題(1)兩個(gè)平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角．(2)空間角的向量法解法角的分類(lèi)向量求法范圍兩條異面直線(xiàn)所成的角設(shè)兩異面直線(xiàn)l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線(xiàn)與平面所成的角設(shè)直線(xiàn)AB與平面α所成的角為θ，直線(xiàn)AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個(gè)平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))2．用向量法求異面直線(xiàn)所成角：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線(xiàn)的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線(xiàn)所成角的范圍是，即兩異面直線(xiàn)所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.3．向量法求直線(xiàn)與平面所成角:(1)分別求出斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影直線(xiàn)的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角.4．向量法求二面角:用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.考點(diǎn)4求異面直線(xiàn)所成的角【例1.1】（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，則異面直線(xiàn)AC與PB所成的角的余弦值為（A．55 B．105 C．155【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算可得.【解答過(guò)程】∵四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，∴以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，C1,1,0，P0,0,1則AC=1,1,0，設(shè)直線(xiàn)AC與PB所成角為θ，則cosθ=∴直線(xiàn)AC與PB所成角的余弦值為105故選：B.【例1.2】（23-24高二下·湖北·期中）如圖，ABC?A1B1C1是一個(gè)由棱長(zhǎng)為2a的正四面體沿中截面所截得的幾何體，則異面直線(xiàn)A．63 B．312 C．33【解題思路】補(bǔ)形成正四面體，記PA=a,【解答過(guò)程】補(bǔ)形成正四面體，如圖.記PA=a,由正四面體的性質(zhì)和題意可知，a,所以CACA所以cosC所以，異面直線(xiàn)A1C與BB故選：D.【變式1.1】（23-24高二上·廣東中山·期中）如圖，圓錐的軸截面ABC為等邊三角形，D為弧AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為母線(xiàn)BC、AC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)BF和DE所成角的大小為（

）A．π4 B．π3 C．π2【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，求出BF，DE，利用線(xiàn)線(xiàn)角的向量法，即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】取AB中點(diǎn)O，連接OC,OD，如圖，以O(shè)D,OB,OC所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2，則B(0,1,0),D(1,0,0),C(0,0,3又E，F(xiàn)分別為母線(xiàn)BC、AC的中點(diǎn)，所以E(0,1則BF=(0,?32設(shè)異面直線(xiàn)BF和DE所成角的θ，則cosθ=cosBF,DE故選：C.【變式1.2】（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖是棱長(zhǎng)均相等的多面體EABCDF，其中四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P，Q，M，N分別為DE，AB，AD，BF的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)A．13 B．12 C．23【解題思路】取AE的中點(diǎn)K，連接PK，QK，求得PQ=12DA+12【解答過(guò)程】如圖，四邊形ABCD，BEDF均是邊長(zhǎng)為a的正方形，多面體的側(cè)面均為等邊三角形，取AE的中點(diǎn)K，連接PK，QK，則PQ=同理可得MN=所以PQ?MN=取CE的中點(diǎn)H，連接PH，BH，則PH//CD，且PH=又點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，AB=CD且AB//CD，所以PH//QB且PH=QB，則四邊形QBHP為平行四邊形，所以PQ=BH=BE?sin同理可得MN=3設(shè)PQ，MN的夾角為θ，則cosθ=即異面直線(xiàn)PQ與MN所成角的余弦值為23故選：C.考點(diǎn)5求線(xiàn)面角【例2.1】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，AB=AC=2，PA=4，則直線(xiàn)PA與平面DEF所成角的余弦值為（

）A．255 B．55 C．3【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線(xiàn)面角的定義進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】由∠BAC=90°，得BA⊥AC，又PA⊥平面ABC，BA,AC?平面ABC，則PA⊥AC,PA⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB，AC，A0,0,0AP=(0,0,4)，DE=(0,1,0)，DF→=?1,1,2則m??DE→=y=0m??DF→=?x+y+2z=0則sinθ=|cos?故選：A.【例2.2】（2023·四川甘孜·一模）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3,BC=1,M,N分別是為ADA．82 B．6 C．26 【解題思路】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)A【解答過(guò)程】由題設(shè)，構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系D?xyz，令A(yù)A則M(12,0,a),N(0,又面BB1C由MN與平面BB1C1C所以321+a2=所以該長(zhǎng)方體的體積為26故選：C.【變式2.1】（2024·重慶·二模）如圖，直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，

(1)證明：平面D1EF//平面(2)已知AA1=AD=DC=1,∠DAB=60°【解題思路】（1）由三角形中位線(xiàn)、平行四邊形性質(zhì)，利用線(xiàn)面平行的判定、面面平行的判定推理即得.（2）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1【解答過(guò)程】（1）在△ABD中，E,F分別為AB,AD的中點(diǎn)，則EF//BD，而EF?平面C1BD,BD?平面C1BD，因此又DC//AB,DC=12AB=EB于是EB//D1C1且EB=D又D1E?平面C1BD,C1B?而EF,D1E為平面D1EF（2）在△ABD中，AD=1,AB=2DC=2,∠DAB=60°，則在直棱柱ABCD?A1B以D為原點(diǎn)，直線(xiàn)AD,DB,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則E(1FE=(0,設(shè)平面A1EF的法向量為n=x,y,z，則n?則cos?所以直線(xiàn)DC1與平面A1【變式2.2】（2024·河北秦皇島·二模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，BA=BD=BP=5，CD=1，PA=PD=2，PA⊥PD，E是棱PA的中點(diǎn)，且BE//平面PCD，點(diǎn)F是棱(1)求證：平面PCD⊥平面PAD；(2)若直線(xiàn)PC與平面ABF所成角的正弦值為1135105，求【解題思路】（1）取AD的中點(diǎn)O，連接PO，BO，EO.欲證平面PCD⊥平面PAD，需證平面PCD中一條直線(xiàn)垂直平面PAD，如CD⊥平面PAD，欲證線(xiàn)面垂直，需證直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)：PO⊥CD，AD⊥CD.再根據(jù)條件，結(jié)合勾股定理的逆定理可以證明.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)直線(xiàn)和平面所成的角確定F點(diǎn)的坐標(biāo)，再求DF的長(zhǎng).【解答過(guò)程】（1）取AD的中點(diǎn)O，連接PO，BO，EO，因?yàn)镋是棱PA的中點(diǎn)，所以EO∥PD，又EO?平面PCD，PD?平面PCD所以EO//平面PCD，又BE//平面PCD，BE∩EO=E，BE,EO?平面BEO，所以平面BEO//平面PCD，又平面BEO∩平面ABCD=BO，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以BO∥CD.在△ABD中，BA=BD=5，AD=又O是AD的中點(diǎn)，所以BO⊥AD，BO=2，又易得PO=1，BP=5，所以B所以PO⊥BO，所以PO⊥CD，AD⊥CD，又PO∩AD=O，PO,AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.（2）因?yàn)镻A=PD，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，所以PO⊥AD，所以O(shè)B，OD，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，A(0,?1,0)，B(2,0,0)，設(shè)DF=λ所以BF=BD+設(shè)平面ABF的一個(gè)法向量n=(x,y,z)所以n令x=λ，解得y=?2λ，z=4?2λ，所以平面ABF的一個(gè)法向量n=(λ,?2λ,4?2λ)又CP=(?1,?1,1)，設(shè)直線(xiàn)PC與平面ABF所成角的大小為θ所以sinθ=解得λ=13或λ=3241，所以考點(diǎn)6求二面角【例3.1】（23-24高二上·陜西渭南·期末）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=π2，AB=PA=12CD=1，BC=22，M為A．31010 B．1010 C．5【解題思路】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，結(jié)合二面角M?BC?A是銳角以及法向量夾角余弦的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可得解.【解答過(guò)程】過(guò)點(diǎn)A作AE//BC交CD于點(diǎn)E，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE,AB?平面ABCD，所以PA⊥AE,PA⊥AB，又因?yàn)锳B∥CD，∠ABC=π2，所以所以PA,AE,AB兩兩互相垂直，所以以A為原點(diǎn)，PA,AE,AB所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)锳B=PA=12CD=1，BC=22，所以A0,0,0所以BC=設(shè)平面BCM的法向量為n=x,y,z，則令y=1，解得x=0,z=3，即可取n=顯然可取平面ABC的法向量為m=0,0,1，且二面角所以二面角M?BC?A的余弦值為310故選：A.【例3.2】（22-23高二上·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=1，A．0,21515C．0,21015【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求得Q運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而求得△ADQ【解答過(guò)程】如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由二面角Q?PD?A的平面角大小為30°，可知又Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），則Q的軌跡是過(guò)點(diǎn)D的一條線(xiàn)段，設(shè)Q的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為G0,由題意可知A0,0,0，D2,0,0，所以DP=?2,0,1，DG=易知平面APD的一個(gè)法向量為n1設(shè)平面PDG的法向量為n2則n2?DP令z2=2，得x2所以n2=1,則二面角G?PD?A的平面角的余弦值為cosn解得b=215所以Q在DG上運(yùn)動(dòng)，所以△ADQ面積的取值范圍為0,故選：A．【變式3.1】（23-24高二下·甘肅·期中）圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AP=AB,E為

(1)求證：CD⊥平面PAE；(2)求平面PAE與平面PBC所成二面角的余弦值.【解題思路】（1）根據(jù)題意，連AC，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥CD，再由線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）

證明：連AC，∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60∵AC=AD,DE=CE,∴AE⊥CD，∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD，∵PA⊥CD,AE⊥CD,AE,PA?平面PAE,AE∩AP=A,∴CD⊥平面PAE；（2）由（1）知CD⊥AE，又由AB∥CD，可得AB⊥AE，可得AB?令A(yù)B=2，可得AD=AP=2,AE=3以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量AB,AE,

可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,0,0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,0,2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0,0，點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,3,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為AB=由（1）可知AB為平面PAE的法向量，設(shè)平面BCP的法向量為m=有BC?m=?x+可得m=由AB?m=2由圖可知所成二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為217【變式3.2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，(1)證明：CD⊥AC(2)若CC1=2，CD=3，BC=【解題思路】（1）先證明CD⊥平面ACC1，再說(shuō)明AC（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，判斷二面角為銳角，求出二面角的余弦值即可.【解答過(guò)程】（1）如圖：取AD的中點(diǎn)M，連接CM,AC，因?yàn)锽C∥AD且AD=2BC，所以BC=AM，且BC∥AM，所以四邊形ABCM為平行四邊形，所以CM=AB=12AD因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD又AC∩CC1=C，AC,C所以CD⊥平面ACC又AC1?平面AC（2）由（1）知CD,CA,CC1兩兩垂直，故以連接A1C1，因?yàn)锽C=所以A1D1AD=故C0,0,0所以DA=?3,4,0，則CB=所以AB=?3設(shè)平面A1AB的法向量為m=x,y,z，則m?易知n=0,0,1為平面ABC的一個(gè)法向量，所以由圖可知，二面角A1?AB?C為銳角，故二面角A1考點(diǎn)7由空間向量研究存在性問(wèn)題【例4.1】（23-24高二下·湖南·期中）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，(1)求直四棱柱ABCD?A(2)在棱AA1上是否能找到一點(diǎn)M，使得平面CD1M與平面BC【解題思路】（1）設(shè)AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1，以O(shè)A,OB,OO（2）假設(shè)能找到這樣的點(diǎn)M，設(shè)M3,0,t，且0≤t≤22，根據(jù)平面CD1M與平面BCC【解答過(guò)程】（1）設(shè)AC∩BD=O,A因?yàn)槔庵侵崩庵?，且底面是菱形，故OA,OB,OO如圖，以O(shè)A,OB,OO1分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)榱庑蜛BCD中，∠ABC=120°，所以O(shè)A=3,OB=1，設(shè)則A3,0,0,B所以CB設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n1令x1=1得，所以cosB因?yàn)橹本€(xiàn)BD1與平面BCC所以cosBD1,n（2）假設(shè)能找到這樣的點(diǎn)M，設(shè)M3,0,t，且則CM=設(shè)平面CD1M的一個(gè)法向量為n2=令x2=t得，則cosn由平面CD1M與平面BC可得cosn1,n2所以能找到這樣的點(diǎn)M，此時(shí)，AM=t=322【例4.2】（23-24高三上·北京·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求直線(xiàn)AC1與平面(2)求二面角A?A(3)是否存在點(diǎn)F，使D1F//平面A1E【解題思路】（1）首先以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，并求平面A1（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，再根據(jù)向量法求二面角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化為正弦值，即可求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，并設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為t,2,0，若假設(shè)存在，則FD【解答過(guò)程】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，則A0,0,0，A10,0,2，BD0,2,0，C12,2,2，AC1=2,2,2設(shè)平面A1Cm?A1C1=2x+2y=0m?E所以平面A1C設(shè)直線(xiàn)AC1與平面A1則sinθ=（2）由正方體可得，DB⊥AC，DB⊥AA1，且且AC,AA1?平面AA1則cosDB因?yàn)槎娼茿?A所以二面角A?A1C（3）存在，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為t,2,0，所以F平面A1EC因?yàn)镕D1⊥m因?yàn)镈1F?平面A1EC此時(shí)DF=1.【變式4.1】（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°,AB∥CD,AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱(1)求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)在線(xiàn)段PC上是否存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)AP與平面MBD所成角為30°？若存在，求出PMPC【解題思路】（1）由題設(shè)證得AD⊥BD，取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)證PO⊥平面ABCD，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、判定及面面垂直的判定證結(jié)論；（2）取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，則ON//BD，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PM=λPC，應(yīng)用向量法，結(jié)合線(xiàn)面角大小列方程求【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳B//CD,CD=BC=2,∠ABC=90°，所以在△ABD中∠ABD=45°,AB=4，由余弦定理得AD=A所以AD2+B取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，因?yàn)椤鱌AD是正三角形，所以PO⊥AD,又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO?面PAD，所以PO⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以PO⊥BD，又AD⊥BD，PO∩AD=O，PO,AD?平面PAD，所以BD⊥平面PAD，又BD?平面BDM，所以平面MBD⊥平面PAD．（2）取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，則ON//BD，所以AD⊥ON以O(shè)N,則A0,?設(shè)PM=λPC，0≤λ≤1，則又DB=22,0,0，設(shè)平面則DM?n=0DB?取n=由直線(xiàn)AP與平面MBD所成角為30°，得sin30°=化簡(jiǎn)得10λ2?13λ+4=0

解得λ=當(dāng)PMPC=12或λ=45【變式4.2】（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC,AB∥DC，AB=12CD=AD=1(1)證明：BM//平面PAD；(2)若PC=5（i）求二面角P?DM?B的余弦值；（ii）在線(xiàn)段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是269？若存在，求出【解題思路】（1）取PD中點(diǎn)N，可證四邊形ABMN是平行四邊形，可得BM//AN，從而得證；（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，（ii）假設(shè)存在點(diǎn)Q到平面BDM的距離為26【解答過(guò)程】（1）取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，如圖所示：∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，∴MN∥CD,MN=12CD∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴BM∥AN，又BM?平面PAD，MN?平面PAD，∴BM//平面PAD．（2）∵PC=5,PD=1,CD=2，∴PC∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，PD?平面PDC，∴PD⊥平面ABCD，又AD，CD?平面ABCD，∴PD⊥AD，而PD⊥CD，AD⊥DC，∴以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則P(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0)，∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，∴M（i）DM=設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為n=則n?DM=y+12z=0n平面PDM的一個(gè)法向量為DA=∴cosn根據(jù)圖形得二面角P?DM?B為鈍角，則二面角P?DM?B的余弦值為?6（ii）假設(shè)在線(xiàn)段PA上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是26設(shè)PQ=λ則Qλ,0,1?λ由（2）知平面BDM的一個(gè)法向量為n=1,?1,2，∴點(diǎn)Q到平面BDM的距離是BQ?∴λ=23，∴

三、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二下·浙江·期中）空間點(diǎn)A?1,1,1,B?1,2,3,C1,2,4，則點(diǎn)A到直線(xiàn)BCA．255 B．5 C．215【解題思路】求出AB,BC，利用空間向量夾角余弦公式求出cosAB【解答過(guò)程】由題意得AB=所以cosAB所以sin∠ABC=所以點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離d=AB故選：D.2．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正三棱錐M?ABC的高為2，AB=6，E，F(xiàn)分別為MB，MC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE與BF所成角的余弦值為（

）A．34 B．33344 C．19【解題思路】解法一：作出輔助線(xiàn)，得到∠NEA是異面直線(xiàn)AE與BF所成角或其補(bǔ)角，由余弦定理求出BF,AN，進(jìn)而得到EN=12BF=222，AE=BF【解答過(guò)程】解法一：如圖，設(shè)N是MF的中點(diǎn)，O是△ABC的中心，連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D，連接AN，EN，MO，MD，∵E為MB的中點(diǎn)，∴EN∥BF，∴∠NEA是異面直線(xiàn)AE與BF所成角或其補(bǔ)角，由題可知MA=MB=MC，MO⊥平面ABC，△ABC為正三角形，AB=6，∴MD⊥BC，MO=2，AO=2∴MB=MC=MA=A∴在Rt△MCD中，cos在△BCF中，BF=B∴EN=1在△ACN中，AN=A易得AE=BF，所以在△AEN中，cos∠AEN=故異面直線(xiàn)AE與BF所成角的余弦值為1944解法二：如圖，設(shè)O是△ABC的中心，連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D，連接MO，∵三棱錐M?ABC為正三棱錐，AB=6，∴MO⊥平面ABC，AD⊥BC，OD=1以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD所在直線(xiàn)為x軸、DC所在直線(xiàn)為y軸、過(guò)點(diǎn)D且與OM平行的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A?33,0,0，B0,?3,0，∴E?32,?32,1∴cosAE故異面直線(xiàn)AE與BF所成角的余弦值為1944故選：D．3．（23-24高二上·浙江寧波·期中）定義：兩條異面直線(xiàn)之間的距離是指其中一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)距離的最小值.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1DA．2 B．233 C．1 【解題思路】建系，求利用空間向量設(shè)兩條直線(xiàn)上的點(diǎn)為M,N，根據(jù)題意結(jié)合空間中的兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0可得AD設(shè)AM=λAD可得x0?2=?2λy故M2?2λ,0,2λ同理可得：N2?2μ,2μ,2則MN=22當(dāng)且僅當(dāng)μ=λ對(duì)λ22+故MN≥233，當(dāng)且僅當(dāng)即直線(xiàn)AD1與A1故選：B.

4．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，在多面體A1B1C1D1ABC中，側(cè)面四邊形A1B1C1D1，AA1

A．13 B．789 C．39【解題思路】把該幾何體補(bǔ)成一個(gè)正方體ABCD?A1B1C1D1，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為2，以【解答過(guò)程】由多面體A1B1C1D1ABC中，側(cè)面四邊形A1可把該幾何體補(bǔ)成一個(gè)正方體ABCD?A1B以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DD1所在的直線(xiàn)分別為可得A(2,0,0),C(0,2,0),D可得AC=(?2,2,0),設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z)取x=1，可得y=1,z=1，所以n=(1,1,1)設(shè)直線(xiàn)EC1與平面ACD1所成角為則sinθ=則cosθ=1?sin2θ=78故選：B.

5．（23-24高二下·甘肅·期中）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，M，N分別是A．1 B．33 C．32 【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法證明AC//平面EMN，根據(jù)線(xiàn)面距離的定義把直線(xiàn)AC到平面EMN的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面EMN【解答過(guò)程】如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,1,2),M(1,0,0),N(0,2,1)，所以ME=(1,1,2),MN=(?1,2,1),AC=(?2,2,0)則m?ME=x+y+2z=0,m?MN=?x+2y+z=0,即AC⊥m，又AC?平面EMN，所以AC故點(diǎn)A到平面EMN的距離即為直線(xiàn)AC到平面EMN的距離，又MA=(1,0,0)，所以點(diǎn)A到平面EMN的距離為MA即直線(xiàn)AC與平面EMN之間的距離為33故選：B.6．（2023·吉林通化·二模）已知四棱錐P?ABCD的底面為平行四邊形，AD=2，DC=4，∠BAD=60°，PD⊥平面ABCD，直線(xiàn)PD與平面PAC所成角為30°，則PD=A．22 B．475 C．6【解題思路】根據(jù)題意建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合PD與平面PAC的線(xiàn)面角，可求出PD.【解答過(guò)程】AD=2，DC=AB=4，∠BAD=60由余弦定理得DB2=D則有DB2+D又PD⊥平面ABCD，以D為原點(diǎn)，DA,DB,DP的方向?yàn)閤軸，

設(shè)PD=a，由AD=2，AB=23得D0,0,0，A2,0,0，B0,23,0PA=2,0,?a，AC=(?4,2設(shè)平面PAC的法向量為n=(x,y,z)，則n令y=23，則x=3，z=6a直線(xiàn)PD與平面PAC所成角為30°，所以

cos則有3621a2+36=故選：C.7．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）三棱錐A?BCD中，已知∠BAC=60°，∠CAD=30°，∠BAD=45°，則平面CAD與平面BAD所成的銳二面角的余弦值為（

）A．3?2 B．3?22 【解題思路】令A(yù)B=AC=BC=2，CD⊥AD，然后過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，將兩個(gè)平面所成的銳二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量BE,【解答過(guò)程】不妨令A(yù)B=AC=BC=2，CD⊥AD，則在△ADC中，因?yàn)椤螩AD=30°，所以AD=3，CD=1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD則在△AEB中，因?yàn)椤螧AD=45°，所以BE=AE=2因?yàn)锽E⊥ED，ED⊥DC，所以BE?ED=因?yàn)锽C=所以BC=BE所以cosBE設(shè)平面CAD與平面BAD所成的銳二面角為θ，因?yàn)锽E⊥AD，AD⊥DC，所以根據(jù)二面角的定義與向量夾角定義知cosθ=所以平面CAD與平面BAD所成的銳二面角的余弦值為3?故選：A.8．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在幾何體ABC?A1B1C1中，四邊形A1ACB1是矩形，△ACB≌

A．AC1//BB1 C．幾何體ABC?A1B1C1的體積為12【解題思路】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行、異面直線(xiàn)所成角、幾何體體積、面面距等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【解答過(guò)程】由于四邊形A1ACB由于A(yíng)A1⊥AB，AA1∩AB=A,AA由于平面ACB//平面A1B1C由于A(yíng)1C1?平面由于B1C//AA1，所以B1所以B1C⊥BC，同理可證得所以AC所以四邊形ABB1C1是平行四邊形，所以由于A(yíng)C1//BB1，所以異面直線(xiàn)由于A(yíng)C1=AC=CC1即異面直線(xiàn)BB1、C1將幾何體補(bǔ)形為正方體，如下圖所示，所以VABC?由上述分析可知AC1//BB1，由于BB所以BB1//平面ACC1由于BB1∩A1以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0,C0,1,0設(shè)平面ACC1的法向量為則n?AC=?x+y=0BB1=0,0,1，平面A1BB所以距離為n?故選：C.多選題9．（23-24高三上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）如圖，AE⊥平面ABCD，CF//AE,AD//BC,AD⊥AB,AE=BC=2，AB=AD=1，A．BD⊥CEB．BF//平面C．二面角E?BD?F的余弦值為1D．直線(xiàn)CE與平面BDE所成角的正弦值為5【解題思路】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法，逐一分析檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得解.【解答過(guò)程】以A為原點(diǎn)，分別以AB,AD,AE的方向?yàn)閤軸，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),F1,2,對(duì)于A(yíng)，BD=(?1,1,0),所以BD?EC=?1+2=1≠0對(duì)于B，易得平面ADE的一個(gè)法向量為AB=1,0,0，所以BF?AB=0，又直線(xiàn)BF?平面ADE，所以BF//對(duì)于C，設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m=而B(niǎo)D=(?1,1,0),BF=令b=4，則a=4,c=?7，故m=又BE=?1,0,2，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為則n?BD=?x+y=0n?BE=?x+2z=0設(shè)二面角E?BD?F為θ，結(jié)合圖形可知0<θ<π所以cosθ=對(duì)于D，CE=(?1,?2,2)，設(shè)CE與平面BDE所成角為α，0<α<則sinα=故選：BC.10．（23-24高二上·山東聊城·期末）如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，O、P分別是AC,SC的中點(diǎn)，M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．OM⊥APB．存在點(diǎn)M，使OM//平面SBCC．存在點(diǎn)M，使直線(xiàn)OM與AB所成的角為30°D．點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值【解題思路】根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】根據(jù)已知條件，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AS所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SA=AB=2，則A0,0,0，C2,2,0，D0,2,0，S0,0,2，P1,1,1由M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M0,λ,2?λ，0≤λ≤2因?yàn)锳P=1,1,1，OM=即OM⊥AP，故A正確；當(dāng)M為SD中點(diǎn)時(shí)，OM是△SBD的中位線(xiàn)，所以O(shè)M//又OM?平面SBC，SB?平面SBC，所以O(shè)M//平面SBC，故B正確；AB=2,0,0，OM=使直線(xiàn)OM與AB所成的角為30°，則cos30°=化簡(jiǎn)得3λ由題意可知：點(diǎn)M到平面ABCD的距離d1AD為平面SAB的法向量，所以點(diǎn)M到平面SAB的距離為d2所以d1故選：ABD.填空題11．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA=1,0,0，OB=0,1,0，OC=0,0,2，則點(diǎn)O到平面【解題思路】求出平面ABC的法向量后，再計(jì)算OA到平面ABC的法向量的投影即可得.【解答過(guò)程】由題意可得AB=OB?設(shè)平面ABC的法向量為m=則有m?AC=0可取x=2，則y=2、z=1，即m=則點(diǎn)O到平面ABC的距離為OA?故答案為：2312．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是正方形，AB=4，AA1=42，點(diǎn)B1在底面ABCD【解題思路】以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、HC、HB1的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系H?xyz，求得平面ABCD的一個(gè)法向量為n=0,0,1，直線(xiàn)AD1的一個(gè)方向向量A【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)B1在底面ABCD的射影為BC中點(diǎn)H，則B1H⊥又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、HC、HB1的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)锽1H⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則因?yàn)锳B=4，AA1=4則A4,?2,0、D4,2,0、B0,?2,0所以AD易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n=0,0,1cosA因此，直線(xiàn)AD1與平面ABCD所成角的正弦值為故答案為：74解答題13．（2024高三下·河南·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，O為△A1B(1)證明：CDD(2)若AA1=2A1【解題思路】（1）連C1O交A1B1（2）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面B1【解答過(guò)