第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第4課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一移項(xiàng)構(gòu)造法證明不等式[典例1]

(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；解：(1)f′(x)＝aex－1，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＞0，得x＞－lna，令f′(x)＜0，得x＜－lna，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)證明：由(1)得當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值為f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，

一般地，待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，可以直接構(gòu)造“左減右”(或“右減左”)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值進(jìn)行證明．提醒：對(duì)復(fù)雜的式子可以先進(jìn)行變形，再移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．證明：當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，x2e2x－2≥－2x2＋8x－5.證明：令g(x)＝x2e2x－2＋2x2－8x＋5，x∈[0,2]，則g′(x)＝2e2x－2(x2＋x)＋4x－8，x∈[0,2]．令h(x)＝g′(x)，則h′(x)＝2e2x－2(2x2＋4x＋1)＋4>0，所以g′(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且g′(1)＝0，所以g(x)在[0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，所以g(x)的最小值為g(1)＝0，所以g(x)≥0，即x2e2x－2≥－2x2＋8x－5.考點(diǎn)二隔離分析法證明不等式(1)求a，b；(2)求證：f(x)>1.

在同時(shí)含lnx與ex的不等式證明中，常采用把對(duì)數(shù)單獨(dú)分離的方式，把待證不等式分離．如本例中直接構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)運(yùn)算比較復(fù)雜，此時(shí)把指數(shù)與對(duì)數(shù)分離兩邊，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，分別計(jì)算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax.(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最值；解：(1)函數(shù)f(x)＝xlnx－ax的定義域?yàn)?0，＋∞)．當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝xlnx＋x，f′(x)＝lnx＋2.

考點(diǎn)三放縮法證明不等式

[典例3]

(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋asinx＋b(a，b為實(shí)數(shù))，且曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為x－y－1＝0.(1)求a，b的值；(2)求證：當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＞lnx.[規(guī)范解答]

(1)f′(x)＝ex＋acosx，且f(0)＝1＋b.由題意得f′(0)＝e0＋a＝1?a＝0.…………

2分又點(diǎn)(0,1＋b)在切線x－y－1＝0上，所以0－1－b－1＝0?b＝－2.

………………4分(2)證明：由(1)知f(x)＝ex－2.先證：ex－2＞x－1(x＞0)，關(guān)鍵點(diǎn)1：想到ex＞x＋1即ex－x－1＞0(x＞0)．令g(x)＝ex－x－1(x＞0)，則g′(x)＝ex－1，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x)＞g(0)＝0，即ex－2＞x－1.

①………7分再證：x－1≥lnx(x＞0)，關(guān)鍵點(diǎn)2：想到x－1≥lnx即x－1－lnx≥0(x＞0)．令φ(x)＝x－1－lnx(x＞0)，故φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則φ(x)min＝φ(1)＝0，即x－1－lnx≥0，所以x－1≥lnx．

②……11分由①②得ex－2＞lnx，即f(x)＞lnx在(0，＋∞)上恒成立.……12分

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題中，最常見的就是ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對(duì)于這類問題，可以先對(duì)ex和lnx進(jìn)行放縮，使問題簡化，便于化簡或判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．常見的放縮不等式如下：(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)；(2)ex≥ex，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)；提醒：用這些切線不等式放縮時(shí)，必須先證明不等式成立，再利用其解題．所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)≥f(1)＝0，即函數(shù)f(x)的最小值為0.令h(x)＝xex－sinx，則h′(x)＝(x＋1)ex－cosx，當(dāng)0＜x＜π時(shí)，h′(x)＝(x＋1)ex－cosx＞e0－1＝0，所以函數(shù)h(x)在(0，π)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)0＜x＜π時(shí)，h(x)＞h(0)＝0，即xex－sinx＞0，所以當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，不等式e