/清單03整式的乘除（4個考點梳理+14種題型解讀+提升訓(xùn)練）清單01冪的運算冪的運算法則中底數(shù)a的規(guī)定：底數(shù)a可以是單項式，也可以是多項式.1）同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加，即（m，n都是正整數(shù)）【補充】1.逆用公式：（m，n都是正整數(shù)）

2.三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，這一法則同樣適用，如：（m，n，p都是正整數(shù)）2）冪的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（m，n都是正整數(shù)）【補充】1.逆用公式：（m，n都是整數(shù)）

2.拓展：（m，n，p都是正整數(shù)）3）積的乘方積的乘方等于把每一個因式分別乘方，再把所得的積相乘，即（n為正整數(shù)）【補充】1.逆用公式：（n為正整數(shù)）

2.拓展：（n為正整數(shù)）4）同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（a≠0，m，n都為正整數(shù)，且m＞n）【補充】1.關(guān)鍵：看底數(shù)是否相同，指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù).

2.逆用公式：（a≠0，m、n都是正整數(shù)）.3.拓展：（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)且m＞n+p）.【注意】1.注意指數(shù)為1的情況，如：，計算時容易遺漏或?qū)的指數(shù)當(dāng)做0.2.多個同底數(shù)冪相除時，應(yīng)按順序計算.5）零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即（a≠0）.清單02整式的乘法1）單項式乘單項式運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.2）單項式乘多項式運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即.【補充】1.運算的結(jié)果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.2.計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.3.對單項式乘多項式，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.3）多項式乘多項式運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．即.【補充】1.多項式乘多項式時，要按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏.

2.多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號.3.運算結(jié)果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積．4.若結(jié)果中含有同類項，則一定要進(jìn)行合并同類項，使得結(jié)果為最簡形式.5.多項式乘多項式法則也適用于多個多項式相乘，即按順序先將前兩個多項式相乘，再把乘積和第三個多項式相乘，依次類推.6.特殊二次項相乘：，其中：a，b為常數(shù).清單03乘法公式1）平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.即：特點：等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；等號右邊是一個二項式，這個二項式是左邊兩個二項式中相同項與相反項的平方差.平方差公式的常見變化形式：①位置變化：②符號變化：【注意事項】1）對因式中各項的系數(shù)、符號要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能運用平方差公式.

2）公式中的字母a、b可以是一個數(shù)、一個單項式、一個多項式，所以，當(dāng)這個字母表示一個負(fù)數(shù)、分式、多項式時，應(yīng)加括號避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯誤.2）完全平方公式完全平方公式：兩個數(shù)的和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.即.特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號同前方.完全平方式的常見變形（①-⑤基礎(chǔ)必須掌握）：清單04整式的除法1）單項式除以單項式運算法則：一般地,單項式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.【注意】1.系數(shù)相除時，不要遺漏系數(shù)前面的符號；2.不要遺漏只在被除式里含有的字母.2）多項式除以單項式運算法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.實質(zhì)：把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式.【注意】1.在計算時，多項式各項要包括前面的符號，商的各項的符號由多項式中各項的符號與單項式的符號決定.2.在進(jìn)行多項式除以單項式的計算時不要漏項，所得結(jié)果的項數(shù)應(yīng)與被除式的項數(shù)相同.【考點題型一】同底數(shù)冪的乘法（）1．（21-22七年級下·浙江紹興·期末）若，則．2．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）已知，則的值為（）A． B． C． D．3．（23-24七年級下·浙江·期末）信息技術(shù)的存儲設(shè)備常用等作為存儲的單位．例如，我們常說某移動硬盤的容量是，某個文件大小是等，其中，，對于一個存儲量為的硬盤，其容量是（

）A． B． C． D．4．（23-24七年級下·浙江嘉興·期末）我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為（其中，，為正整數(shù)）．類似地，我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)，的一種新運算：．若，那么的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【考點題型二】冪的乘方（）5．（22-23七年級下·浙江嘉興·期末）若，，則．6．（22-23七年級下·浙江衢州·期末）計算：，正確結(jié)果是（

）A． B．1 C．2 D．47．（22-23七年級下·浙江金華·期末）若，，則（

）A． B． C． D．8．（20-21七年級下·浙江·期末）已知，化簡并求值：．【考點題型三】積的乘方（）9．（20-21七年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）．10．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）下列等式中，從左到右計算正確的是（

）A． B． C． D．11．（2024·安徽合肥·二模）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．12．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）對正整數(shù)，規(guī)定，記對正整數(shù)n，規(guī)定，記，若正整數(shù)使得為完全平方數(shù)，請寫出一個符合條件的k的值：【考點題型四】同底數(shù)冪的除法（）13．（24-25七年級上·浙江杭州·期末）是的（）倍．A．5 B．2025 C．14．（23-24七年級下·浙江金華·期末）若實數(shù)m，n滿足，則．15．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）已知二元一次方程，求．16．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）我們規(guī)定兩數(shù)a、b之間的一種運算，記作：如果，那么；例如，記作，(1)根據(jù)以上規(guī)定求出：______________；______________；(2)小明發(fā)現(xiàn)也成立，并證明如下設(shè)：

根據(jù)以上證明，請計算，______________](3)猜想，______________]，并說明理由．【考點題型五】用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的數(shù)（）17．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）太空中微波理論上可以在0.000006秒內(nèi)接收到相距約的信息，數(shù)據(jù)0.000006用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．18．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）2025年3月27日，在展會現(xiàn)場，深圳新凱來工業(yè)機器有限公司首次對外公開半導(dǎo)體產(chǎn)品線，被市場稱為國產(chǎn)芯片設(shè)備的“重大突破”．已知某國產(chǎn)芯片制程為0.00000007米，則0.00000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B．C． D．19．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）1納米=米，1微米毫米，則1納米=微米（用科學(xué)記數(shù)法表述）．20．（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為秒．【考點題型六】單項式乘單項式（）21．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）計算：（1）；（2）；（3）．22．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)23．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【考點題型七】單項式乘多項式（）24．（2025七年級下·浙江·專題練習(xí)）計算的結(jié)果是（

）A． B．C． D．25．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．26．（22-23七年級上·吉林長春·期末）代數(shù)式的值（

）A．與字母都有關(guān) B．只與有關(guān)C．只與有關(guān) D．與字母都無關(guān)27．（22-23七年級下·浙江·階段練習(xí)）若要使的展開式中不含的項，則常數(shù)a的值為．【考點題型八】多項式乘多項式（）28．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）已知的展開式中不含x項，則常數(shù)a的值為．29．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）若等式對任意實數(shù)都成立，那么的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，30．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）已知，則．31．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）如圖，張如圖1的長為，寬為長方形紙片，按圖2的方式放置，陰影部分的面積為，空白部分的面積為，若，則，滿足的數(shù)量關(guān)系為．32．（23-24七年級下·浙江金華·期末）一個長方形的長、寬分別為，如果將長方形的長和寬分別增加和．(1)新長方形的面積比原長方形的面積增加了多少？(2)若，求長方形增加的面積．(3)如果新長方形的面積是原長方形面積的2倍，求的值．【考點題型九】單項式除單項式（）33．（23-24七年級下·浙江溫州·期末）計算：．34．（21-22七年級下·浙江舟山·期末）計算．35．（20-21七年級上·浙江·期末）小紅家的收入分農(nóng)業(yè)收入和其他收入兩部分，今年農(nóng)業(yè)收入是其他收入的1.5倍，預(yù)計明年農(nóng)業(yè)收入將減少20%；而其他收入將增加40%，那么預(yù)計小紅家明年的全年總收入比今年（

）A．增加了4% B．增加了8% C．減少了4% D．減少了8%【考點題型十】多項式除單項式（）36．（23-24七年級下·浙江溫州·期末）若，則A代表的整式是．37．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）下列運算正確的是（

）A．B．C．D．38．（21-22七年級下·浙江湖州·期末）小偉同學(xué)的錯題本上有一題練習(xí)題，這道題被除式的第二項和商的第一項不小心被墨水污染了（污染處用字母和表示），污染后的習(xí)題如下：．(1)請你幫小偉復(fù)原被污染的和處的代數(shù)式，并寫出練習(xí)題的正確答案；(2)愛動腦的小芳同學(xué)把練習(xí)題的正確答案與代數(shù)式相加，請幫小芳求出這兩個代數(shù)式的和，并判斷所求的和能否進(jìn)行因式分解？若能，請分解因式；若不能，請說明理由．39．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）先化簡，再求值：，其中．【考點題型十一】運用平方差公式進(jìn)行計算（）40．（22-23七年級下·浙江金華·期末）下列能用平方差公式計算的是（

）A． B． C． D．41．（22-23七年級下·浙江嘉興·期末）計算：（

）A． B． C． D．42．（22-23七年級下·浙江金華·期末）若能運用平方差公式計算，則，滿足的條件可能是（

）①，；②，；③，；④，．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④43．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）若，則m的值為．【考點題型十二】求完全平方式中的字母的系數(shù)（）44．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）若關(guān)于x的代數(shù)式（m是常數(shù)）是一個完全平方式，則．45．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）若是一個完全平方式，則n的值是46．（22-23七年級下·浙江杭州·期末）若是一個完全平方式，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【考點題型十三】運用完全平方式進(jìn)行計算（）47．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）已知，則代數(shù)式的值為．48．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）（1）計算：．（2）當(dāng)時，求代數(shù)式的值．49．（23-24七年級下·浙江·期末）已知對任意實數(shù)x，分式都有意義，則實數(shù)k的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．1050．（23-24七年級下·浙江·期末）如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式．再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題．如：求代數(shù)式最大值或最小值等．求代數(shù)式的最小值，同學(xué)們經(jīng)過探究，合作，交流，最后得到如下的解法：解：，是非負(fù)數(shù)當(dāng)時，的值最小，最小值為1，的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)若，求的最大值．【考點題型十四】通過對完全平方式變形求值（）51．（2020·江蘇宿遷·中考真題）已知，代數(shù)