/重難點(diǎn)01講圓冪定理（2種題型）1.識(shí)別幾何模型。2.利用“圓冪定理”模型解決問(wèn)題一、相交弦定理二、切割線定理題型一：相交弦定理一．選擇題（共5小題）1．如圖：若弦BC經(jīng)過(guò)圓O的半徑OA的中點(diǎn)P，且PB＝3，PC＝4，則圓O的直徑為（）A．7 B．8 C．9 D．102．如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則直徑AB的長(zhǎng)是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．4cm3．如圖，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0 B．x2﹣8x+15＝0 C．x2+8x﹣15＝0 D．x2+8x+15＝04．如圖，已知⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于點(diǎn)A，AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若AE＝cm，則PE的長(zhǎng)為（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm5．如圖點(diǎn)P為弦AB上一點(diǎn)，連接OP，過(guò)P作PC⊥OP，PC交⊙O于點(diǎn)C，若AP＝4，PB＝2，則PC的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．3二．填空題（共8小題）6．已知如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝∠ACB＝30°，弦AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，則⊙O的半徑為．7．工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小孔的直徑，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個(gè)小孔的直徑AB是mm．8．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，AB＝2，BC＝4，E是BC的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)是．9．如圖，⊙O過(guò)M點(diǎn)，⊙M交⊙O于A，延長(zhǎng)⊙O的直徑AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，則AM＝．10．善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題中．用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形描述數(shù)量關(guān)系，往往會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)．小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過(guò)程中（如圖，直徑AB⊥弦CD于E），設(shè)AE＝x，BE＝y(tǒng)，他用含x，y的式子表示圖中的弦CD的長(zhǎng)度，通過(guò)比較運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)x，y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式嗎？寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的不等式．11．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足是G，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，則EF的長(zhǎng)是．12．已知：如圖，PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交⊙O于A，B兩點(diǎn)且與直徑CT交于點(diǎn)D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，則PB＝．13．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點(diǎn)，直線BE交⊙O于點(diǎn)F，如果⊙O的半徑為，則O點(diǎn)到BE的距離OM＝．三．解答題（共2小題）14．如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點(diǎn)，若CD＝10，DE＝2，求AB的長(zhǎng)．15．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，AH＝2．（1）求DE的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)ED到P，過(guò)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，若PC＝2，求PD的長(zhǎng)．題型二、切割線定理一．選擇題（共5小題）1．已知：如圖⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，則⊙O的半徑是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm2．如圖：PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA?PB＝30，PC＝3，則CD的長(zhǎng)為（）A．10 B．7 C． D．33．如圖，已知PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PC與⊙O相交于B、C兩點(diǎn)，PB＝2cm，BC＝8cm，則PA的長(zhǎng)等于（）A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm4．如圖，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分別與邊AB，AC相切，切點(diǎn)分別為E，C，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．5．如圖，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線．若PA＝8cm，PB＝4cm，則⊙O的直徑為（）A．6cm B．8cm C．12cm D．16cm二．填空題（共3小題）6．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，PBC是⊙O的割線，若PB＝BC＝2，則PA＝．7．如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3，4，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，則AD＝．8．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，若以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)P，則AP＝．三．解答題（共4小題）9．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于D點(diǎn)，弦DE∥CB，Q是AB上一動(dòng)點(diǎn)，CA＝1，CD是⊙O半徑的倍．（1）求⊙O的半徑R；（2）當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出陰影部分的面積．10．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，AH＝2．（1）求DE的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)ED到P，過(guò)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，若PC＝2，求PD的長(zhǎng)．11．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A為圓心，AM為半徑作⊙A交BM于N，AN的延長(zhǎng)線交BC于D，直線AB交⊙A于P，K兩點(diǎn)，作MT⊥BC于T．（1）求證：AK＝MT；（2）求證：AD⊥BC；（3）當(dāng)AK＝BD時(shí)，求證：．12．如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CE分別切⊙O于點(diǎn)B、D，CE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接OC、OD．（1）△OBC與△ODC是否全等？（填“是”或“否”）；（2）已知DE＝a，AE＝b，BC＝c，請(qǐng)你思考后，選用以上適當(dāng)?shù)臄?shù)，設(shè)計(jì)出計(jì)算⊙O半徑r的一種方案：①你選用的已知數(shù)是；②寫(xiě)出求解過(guò)程．（結(jié)果用字母表示）一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?武漢期中）如圖，已知AB是⊙O的一條弦，直徑CD與弦AB交于點(diǎn)E，且BE＝3AE，已知DE＝8，CE＝2，則點(diǎn)O到AB的距離為（）A． B． C．2 D．2．（2021?漣源市三模）如圖，⊙O上經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的切線交直徑CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且∠C＝30°，⊙O的半徑為2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．的長(zhǎng)為 B．△ABP為等腰三角形 C．B為OP中點(diǎn) D．∠P＝30°二．解答題（共2小題）3．（2020?青秀區(qū)校級(jí)三模）如圖，以△ABC的一邊BC為直徑的⊙O，交AB于點(diǎn)D，連接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半徑．4．（2023?鄲城縣一模）請(qǐng)閱讀以下材料，完成相應(yīng)任務(wù)．我們知道，過(guò)任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，那么過(guò)任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？李雷經(jīng)過(guò)實(shí)踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點(diǎn)（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點(diǎn)的連線所組成的夾角相等，那么這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)四點(diǎn)共圓．下面是李雷證明上述命題的過(guò)程（不完整）．已知：如圖1，點(diǎn)C，D是線段AB同側(cè)兩點(diǎn)，且∠ACB＝∠ADB．求證：點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓．證明：作△ABC的外接圓⊙O，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外或在⊙O內(nèi)．如圖2，若點(diǎn)D在⊙O外．設(shè)AD與⊙O交于點(diǎn)E，連接BE，則∠ACB＝∠AEB（依據(jù)一），又∵∠AEB＝∠ADB+∠DBE（依據(jù)二），∴∠ACB＝∠ADB+∠DBE．∴∠ACB＞∠ADB．這與已知條件“∠ACB＝∠ADB”矛盾，故點(diǎn)D在⊙O外不成立；如圖3，若點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，……（請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充完整省略的部分證明過(guò)程）綜上所述，作△ABC的外接圓⊙O，點(diǎn)D在⊙O上，即點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓．（1）填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補(bǔ)充完整；依據(jù)一：同弧所對(duì)的圓周角相等；依據(jù)二：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；（3）填空：如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABD＝∠ACD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，E為AC中點(diǎn)，若BD＝6，BE＝4，則AC＝4．

重難點(diǎn)01講圓冪定理（2種題型）1.識(shí)別幾何模型。2.利用“圓冪定理”模型解決問(wèn)題一、相交弦定理二、切割線定理題型一：相交弦定理一．選擇題（共5小題）1．如圖：若弦BC經(jīng)過(guò)圓O的半徑OA的中點(diǎn)P，且PB＝3，PC＝4，則圓O的直徑為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】本題可根據(jù)相交弦定理求解，延長(zhǎng)AO交⊙O于D，可用半徑表示出AP，DP的長(zhǎng)，根據(jù)相交弦定理可得：AP?PD＝BP?PC，由此可求出⊙O的半徑，進(jìn)而可求出直徑的長(zhǎng)．【解答】解：延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，設(shè)⊙O的半徑是x，根據(jù)相交弦定理，得＝12，x＝4，因此⊙O的直徑是8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】注意延長(zhǎng)半徑構(gòu)造相交弦，根據(jù)相交弦定理列方程求解．2．如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則直徑AB的長(zhǎng)是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．4cm【分析】利用垂徑定理和相交弦定理求解．【解答】解：利用垂徑定理可知，DP＝CP＝3，∵P是半徑OB的中點(diǎn)．∴AP＝3BP，AB＝4BP，利用相交弦的定理可知：BP?3BP＝3×3，解得BP＝，即AB＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是利用垂徑定理和相交弦定理求線段的長(zhǎng)．3．如圖，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0 B．x2﹣8x+15＝0 C．x2+8x﹣15＝0 D．x2+8x+15＝0【分析】如果設(shè)AP＝a，PB＝b；根據(jù)相交弦定理：AP×PB＝DP×PC；可知ab＝15，又根據(jù)a+b＝AB＝8；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可判斷誰(shuí)是正確的．【解答】解：設(shè)AP＝a，PB＝b；則根據(jù)相交弦定理可得：AP×PB＝DP×PC，∴ab＝15，又知：a+b＝AB＝8；∴根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得方程為：x2﹣8x+15＝0；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相交弦定理和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．4．如圖，已知⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于點(diǎn)A，AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若AE＝cm，則PE的長(zhǎng)為（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm【分析】首先根據(jù)相交弦定理得PA?PB＝PC?PD，得PD＝2．設(shè)DE＝x，再根據(jù)切割線定理得AE2＝ED?EC，即x（x+8）＝20，x＝2或x＝﹣10（負(fù)值舍去），則PE＝2+2＝4．【解答】解：∵PA?PB＝PC?PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；設(shè)DE＝x，∵AE2＝ED?EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（負(fù)值舍去），∴PE＝2+2＝4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了相交弦定理和切割線定理．5．如圖點(diǎn)P為弦AB上一點(diǎn)，連接OP，過(guò)P作PC⊥OP，PC交⊙O于點(diǎn)C，若AP＝4，PB＝2，則PC的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．3【分析】延長(zhǎng)CP交圓于D點(diǎn)．運(yùn)用垂徑定理和相交弦定理求解．【解答】解：延長(zhǎng)CP交圓于D點(diǎn)．根據(jù)垂徑定理，PC＝PD；根據(jù)相交弦定理，PC?PD＝PB?PA＝2×4＝8．∴PC2＝8，PC＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)PC⊥OP聯(lián)想到垂徑定理，所以作輔助線后求解．二．填空題（共8小題）6．已知如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝∠ACB＝30°，弦AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，則⊙O的半徑為2．【分析】連接OA，OC，AO交BC于點(diǎn)F，根據(jù)已知和圓周角定理可證∠O＝2∠D＝60°，即證△OAC是等邊三角形，可證△ABE≌△ACE，得到∠AEB＝∠AEC＝90°，由勾股定理和相交弦定理得BE?CE＝（BF+EF）（BF﹣EF）＝BF2﹣EF2＝AB2﹣AF2﹣EF2＝AB2﹣AE2＝AB2﹣4＝8，即可求AB2＝12，半徑等于2．【解答】解：連接OA，OC，AO交BC于點(diǎn)F，則OA＝OC，∠B＝∠C，∴AB＝AC，由圓周角定理知，∠O＝2∠D＝60°，所以等腰△OAC是等邊三角形，有AB＝AC＝OA，∵∠B＝∠C，∴AE⊥BC∵AB＝AC，AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△ACE，∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC，∵∠AEB+∠AEC＝180°，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴BF2＝AB2﹣AF2，AF2+EF2＝AE2，由相交弦定理知，BE?CE＝AE?ED＝8，而B(niǎo)E?CE＝（BF+EF）（BF﹣EF）＝BF2﹣EF2＝AB2﹣AF2﹣EF2＝AB2﹣AE2＝AB2﹣4＝8，∴AB2＝12，∴半徑等于2．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相交弦定理求解．7．工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小孔的直徑，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個(gè)小孔的直徑AB是8mm．【分析】根據(jù)垂徑定理和相交弦定理求解．【解答】解：鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，則下面的距離就是2．利用相交弦定理可得：2×8＝AB×AB，解得AB＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是利用垂徑定理和相交弦定理求線段的長(zhǎng)．8．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，AB＝2，BC＝4，E是BC的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)是．【分析】由于E是BC中點(diǎn)，即BE＝CE＝AB＝2；在等腰Rt△ABE中，易求得斜邊AE的長(zhǎng)，根據(jù)相交弦定理即可求出EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵E是BC的中點(diǎn)；∴BE＝CE＝AB＝2；在Rt△ABE中，AB＝BE＝2；因此AE＝＝2；∵AE?EF＝BE?CE＝4，AE＝2；∴EF＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相交弦定理等知識(shí)的應(yīng)用．9．如圖，⊙O過(guò)M點(diǎn)，⊙M交⊙O于A，延長(zhǎng)⊙O的直徑AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，則AM＝6．【分析】根據(jù)相交弦定理可證AB?BC＝EB?BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8，又由直徑對(duì)的圓周角是直角，用勾股定理即可求解AM＝6．【解答】解：作過(guò)點(diǎn)M、B的直徑EF，交圓于點(diǎn)E、F，則EM＝MA＝MF，由相交弦定理知，AB?BC＝EB?BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8，∵AB是圓O的直徑，∴∠AMB＝90°，由勾股定理得，AM2+MB2＝AB2＝64，∴AM＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相交弦定理，直徑對(duì)的圓周角是直角，勾股定理求解．10．善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題中．用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形描述數(shù)量關(guān)系，往往會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)．小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過(guò)程中（如圖，直徑AB⊥弦CD于E），設(shè)AE＝x，BE＝y(tǒng)，他用含x，y的式子表示圖中的弦CD的長(zhǎng)度，通過(guò)比較運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)x，y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式嗎？寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的不等式x+y≥2．【分析】此題中隱含的不等關(guān)系：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，所以AB≥CD．首先可以表示出AB＝x+y，再根據(jù)相交弦定理的推論和垂徑定理，得CD＝2CE＝2．【解答】解：根據(jù)相交弦定理的推論，得CE2＝AE?BE，則CE＝．根據(jù)垂徑定理，得CD＝2CE，即（CD）2＝xy，∴CD＝2CE＝2．又AB＝x+y，且AB≥CD，得x+y≥2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；相交弦定理的推論以及垂徑定理的綜合應(yīng)用．11．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足是G，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，則EF的長(zhǎng)是4．【分析】根據(jù)相交弦定理及垂徑定理求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足是G，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，∴CG＝GD，CF＝FG＝CG，∵CF＝2，∴CG＝GD＝2×2＝4，F(xiàn)D＝2+4＝6，由相交弦定理得EF?AF＝CF?FD（這里利用相似三角形的性質(zhì)證明），即EF＝＝＝4，故EF的長(zhǎng)是4．【點(diǎn)評(píng)】此題很簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是熟知相交弦定理及垂徑定理．相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等；垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．12．已知：如圖，PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交⊙O于A，B兩點(diǎn)且與直徑CT交于點(diǎn)D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，則PB＝15．【分析】根據(jù)相交弦定理求DT；根據(jù)切割線定理和勾股定理列方程求解．【解答】解：根據(jù)相交弦定理得DT?CD＝AD?BD，DT＝9．設(shè)PB＝x．根據(jù)切割線定理和勾股定理得：PT2＝PD2﹣DT2＝PB?PA，即（x+6）2﹣81＝x（x+9），解得x＝15，即PB＝15．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了相交弦定理、切割線定理和勾股定理．13．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點(diǎn)，直線BE交⊙O于點(diǎn)F，如果⊙O的半徑為，則O點(diǎn)到BE的距離OM＝．【分析】作OM⊥BE于M，連接OE，BD，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，得BD是直徑．根據(jù)勾股定理及相交弦定理求得BE，EF的值，從而得到BF的值，利用垂徑定理求得MF，ME，最后根據(jù)勾股定理即可求得OM的值．【解答】解：作OM⊥BE于M，連接OE，BD，∵∠DCB＝90°，∴BD是直徑，∵OE＝DE＝1，∴BE＝＝，∵EF＝＝，∴BF＝，∴MF＝，ME＝，∴OM＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了勾股定理、相交弦定理、垂徑定理．三．解答題（共2小題）14．如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點(diǎn)，若CD＝10，DE＝2，求AB的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)垂徑定理可知，AE＝BE，再根據(jù)相交弦定理可求得AE的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)．【解答】解：CD＝10，DE＝2∴CE＝8根據(jù)相交弦定理得DE×CE＝AE2解得AE＝4根據(jù)垂徑定理得AB＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理和相交弦定理．15．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，AH＝2．（1）求DE的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)ED到P，過(guò)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，若PC＝2，求PD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和相交弦定理求解；（2）根據(jù)切割線定理進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）∵直徑AB＝10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，∴DH＝EH，∴DH?EH＝AH?BH＝16，∴DH＝4，∴DE＝8；（2）∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∴PC2＝PD?PE，∵PC＝2，∴PD＝2，或PD＝﹣10（舍去），∴PD＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查相交弦定理和切割線定理的運(yùn)用．題型二、切割線定理一．選擇題（共5小題）1．已知：如圖⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，則⊙O的半徑是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】延長(zhǎng)PO交圓于D，由已知可求得PB的長(zhǎng)，再根據(jù)割線定理即可求得半徑的長(zhǎng)．【解答】解：延長(zhǎng)PO交圓于D，∵PA＝7cm，AB＝5cm，∴PB＝12cm；設(shè)圓的半徑是x，∵PA?PB＝PC?PD，∴（10﹣x）（10+x）＝84，∴x＝4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)割線定理列方程求解．2．如圖：PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA?PB＝30，PC＝3，則CD的長(zhǎng)為（）A．10 B．7 C． D．3【分析】根據(jù)割線定理得PA?PB＝PC?PD，從而可求得PD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵PA?PB＝PC?PD，PA?PB＝30，PC＝3，∴PD＝＝10，∴CD＝10﹣3＝7．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了割線定理的運(yùn)用．3．如圖，已知PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PC與⊙O相交于B、C兩點(diǎn)，PB＝2cm，BC＝8cm，則PA的長(zhǎng)等于（）A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm【分析】根據(jù)已知得到PC的長(zhǎng)，再根據(jù)切割線定理即可求得PA的長(zhǎng)．【解答】解：∵PB＝2cm，BC＝8cm，∴PC＝10cm，∵PA2＝PB?PC＝20，∴PA＝2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是運(yùn)用了切割線定理．注意：切線長(zhǎng)的平方應(yīng)是PB和PC的乘積．4．如圖，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分別與邊AB，AC相切，切點(diǎn)分別為E，C，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得AE＝AC，根據(jù)勾股定理得AB的長(zhǎng)，從而得到BE的長(zhǎng)，再利用切割線定理得BE2＝BD?BC，從而可求得BD的長(zhǎng)，也就得到了半徑的長(zhǎng)．【解答】解：∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13，∴BE＝8；∵BE2＝BD?BC，∴BD＝，∴CD＝，∴圓的半徑是，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了切線長(zhǎng)定理、勾股定理和切割線定理．5．如圖，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線．若PA＝8cm，PB＝4cm，則⊙O的直徑為（）A．6cm B．8cm C．12cm D．16cm【分析】根據(jù)切割線定理得PA2＝PB?PC從而可求得PC的長(zhǎng)，也就不難求得AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵PA2＝PB?PC，PA＝8cm，PB＝4cm，∴PC＝16cm，∴BC＝12cm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是運(yùn)用了切線長(zhǎng)定理，注意最后要求的是圓的直徑．二．填空題（共3小題）6．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，PBC是⊙O的割線，若PB＝BC＝2，則PA＝．【分析】首先根據(jù)切割線定理得到PA2＝PB?PC，利用等式即可求出PA．【解答】解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，PBC是⊙O的割線，∴PA2＝PB?PC，而PB＝BC＝2，∴PA2＝2×4＝8，∴PA＝．故填空答案：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切割線定理，正確利用定理是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3，4，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，則AD＝．【分析】根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)切割線定理解答．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5；∵BC2＝BD?BA，∴42＝BD?5，∴BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝5﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查切割線定理的運(yùn)用．8．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，若以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)P，則AP＝．【分析】先求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)割線定理列出等式求解即可．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，∴AB＝＝，設(shè)AC交圓于M，延長(zhǎng)AC交圓于N，則AM＝AC﹣CM＝﹣1AN＝+1根據(jù)AM?AN＝AP?AB得，（﹣1）（+1）＝AP×，解得AP＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D，則有PA?PB＝PC?PD．三．解答題（共4小題）9．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于D點(diǎn)，弦DE∥CB，Q是AB上一動(dòng)點(diǎn)，CA＝1，CD是⊙O半徑的倍．（1）求⊙O的半徑R；（2）當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)切割線定理即可列方程求解；（2）據(jù)弦DE∥CB，可以連接OD，OE，則陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為扇形ODE的面積．所以陰影部分的面積不變．只需根據(jù)直角三角形的邊求得角的度數(shù)即可．【解答】解：（1）連OD，OE；根據(jù)題意，得CD＝R，由切割線定理，得CD2＝CA?CB，3R2＝1+2R，解得：R＝1或R＝﹣（負(fù)數(shù)舍去）．即⊙O的半徑R為1；（2）當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，圖中陰影部分的面積不發(fā)生變化．連接OD、OE；∵DE∥CB，∴S△ODE＝S△QDE；∴S陰影＝S扇形ODE；∵CD切⊙O于D點(diǎn)，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，∵＝，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°，∴△ODE是等邊三角形；∴S陰影＝S扇形ODE＝．【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用切割線定理，能夠把不規(guī)則圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．10．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，AH＝2．（1）求DE的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)ED到P，過(guò)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，若PC＝2，求PD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和相交弦定理求解；（2）根據(jù)切割線定理進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）∵直徑AB＝10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，∴DH＝EH，∴DH?EH＝AH?BH＝16，∴DH＝4，∴DE＝8；（2）∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∴PC2＝PD?PE，∵PC＝2，∴PD＝2，或PD＝﹣10（舍去），∴PD＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查相交弦定理和切割線定理的運(yùn)用．11．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A為圓心，AM為半徑作⊙A交BM于N，AN的延長(zhǎng)線交BC于D，直線AB交⊙A于P，K兩點(diǎn)，作MT⊥BC于T．（1）求證：AK＝MT；（2）求證：AD⊥BC；（3）當(dāng)AK＝BD時(shí)，求證：．【分析】（1）用角平分線的性質(zhì)，圓的半徑相等解題；（2）根據(jù)圖中相等角，找互余關(guān)系的角，從而推出垂直關(guān)系．（3）連接PN，MK，根據(jù)已知證明△ABD≌△CMT再根據(jù)邊之間的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BM平分∠ABC，∠BAC＝90°，MT⊥BC，∴AM＝MT．又∵AM＝AK，∴AK＝MT．（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM．∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM．又∵∠ANM＝∠BND，∴∠AMN＝∠BND．∵∠BAC＝90°，∴∠ABM+∠AMB＝90°．∴∠CBM+∠BND＝90°．∴∠BDN＝90°．∴AD⊥BC．（3）連接PN、KM∵BNM和BPK為⊙A的割線，∴BN?BM＝BP?BK．∴．∵AK＝BD，AK＝MT，∴BD＝MT．∵AD⊥BC，MT⊥BC，∴∠ADB＝∠MTC＝90°．∴∠C+∠CMT＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABC＝90°．∴∠ABC＝∠CMT．在△ABD和△CMT中，，∴△ABD≌△CMT．∴AB＝MC．∵AK＝AM，∴AB+AK＝MC+AM．即BK＝AC．∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，圓的割線定理，全等三角形的判定，綜合性強(qiáng)．12．如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CE分別切⊙O于點(diǎn)B、D，CE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接OC、OD．（1）△OBC與△ODC是否全等？是（填“是”或“否”）；（2）已知DE＝a，AE＝b，BC＝c，請(qǐng)你思考后，選用以上適當(dāng)?shù)臄?shù)，設(shè)計(jì)出計(jì)算⊙O半徑r的一種方案：①你選用的已知數(shù)是a、b、c，或其中2個(gè)；②寫(xiě)出求解過(guò)程．（結(jié)果用字母表示）【分析】（1）由切線和切線長(zhǎng)定理可知，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，OC＝OC從而得到△OBC≌△ODC（HL）；（2）可選擇a，b，c或其中的兩個(gè)．求由勾股定理求解或切割線定理求解．【解答】解：（1）△OBC與△ODC全等．證明：∵CD、CB是⊙O的切線∴∠ODC＝∠OBC＝90°∵OD＝OB，OC＝OC∴△OBC≌△ODC（HL）；（2）①選擇a、b、c，或其中2個(gè)；②若選擇a、b：由切割線定理：a2＝b（b+2r），得r＝若選擇a、b、c：方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：（b+2r）2+c2＝（a+c）2，得r＝方法二：Rt△ODE∽R(shí)t△CBE，，得r＝方法三：連接AD，可證：AD∥OC，，得r＝若選擇a、c：需綜合運(yùn)用以上的多種方法，得r＝若選擇b、c，則有關(guān)系式2r3+br2﹣bc2＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的概念，切線長(zhǎng)定理，勾股定理及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?武漢期中）如圖，已知AB是⊙O的一條弦，直徑CD與弦AB交于點(diǎn)E，且BE＝3AE，已知DE＝8，CE＝2，則點(diǎn)O到AB的距離為（）A． B． C．2 D．【分析】作OH⊥AB于H，由相交弦定理可求AE的長(zhǎng)，再由垂徑定理可求EH的長(zhǎng)，最后由勾股定理即可求解．【解答】解：作OH⊥AB于H，∵AE?BE＝CE?DE，BE＝3AE，∴3AE2＝8×2＝16，∴AE＝，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∵BE＝3AE，∴AB＝4AE，∴AH＝2AE＝，∴EH＝AH﹣AE＝，∵DE＝8，CE＝2，∴OC＝5，∴OE＝OC﹣CE＝3，∴OH＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，相交弦定理，勾股定理，關(guān)鍵是作OH⊥AB于H，構(gòu)造直角三角形，以便應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題．2．（2021?漣源市三模）如圖，⊙O上經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的切線交直徑CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且∠C＝30°，⊙O的半徑為2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．的長(zhǎng)為 B．△ABP為等腰三角形 C．B為OP中點(diǎn) D．∠P＝30°【分析】連接OA，證出△OAB是等邊三角形，得出∠OAB＝∠OBA＝60°，AB＝OB，由切線的性質(zhì)得出∠OAP＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)及弧長(zhǎng)公式可得出答案．【解答】解：連接OA，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝60°，AB＝OB，∵AP是⊙O的切線，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠BAP＝30°，∴∠P＝60°﹣∠BAP＝30°，∴AB＝BP，∴OB＝BP，即B為OP的中點(diǎn)．故選項(xiàng)B，C，D正確，∵⊙O的半徑為2，∴．故A選項(xiàng)不正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．解答題（共2小題）3．（2020?青秀區(qū)校級(jí)三模）如圖，以△ABC的一邊BC為直徑的⊙O，交AB于點(diǎn)D，連接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得到∠1＝2∠B，則利用∠A+∠1＝90°和三角形內(nèi)角和得到∠ACB＝90°，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷AC是⊙O的切線；（2）在Rt△ABC中利用互余得到∠A＝60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝90°，然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ACD中可計(jì)算出AC＝2AD＝8，在Rt△ABC中可計(jì)算出BC＝CA＝8，從而得到⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠1＝