/第04講探索三角形全等的條件（HL）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握HL判定定理2．會用尺規(guī)作角平分線和垂線1.角平分線的畫法：如圖，是任意一個角，在，邊上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？SSS那除了用刻度尺的畫法，我們還可以用圓規(guī)和直尺作角平分線嗎？作法：以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D；分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點M；作射線OM。OM是∠ABC的角平分線。2.如圖，PC=PD，QC=QD，PQ與CD相交與點E，證：PQ⊥CD由此，你能發(fā)現(xiàn)用直尺和圓規(guī)過已知直線外一點作這條直線的垂線的方法嗎？作法：（1）以點P為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，使它與AB交于點C、D；（2）分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧交于點Q；（3）作直線PQ。直線PQ是經(jīng)過直線AB外一點P的AB的垂線。3.按下列做法，用直尺和圓規(guī)作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射線CP上截取CB=a；（3）以點B為圓心，c的長為半徑作弧交射線CQ與點A；（4）連接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形。看一下自己作的三角形和其他同學(xué)完全重合嗎？4.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證：把兩個直角三角形拼在一起，可證∠B=∠B′；然后運用AAS證全等即可。通過自己實踐后發(fā)現(xiàn)：（簡寫成“”或“”）幾何語言：在Rt▲ABC與Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）考點一：尺規(guī)作角平分線例1．作的平分線的過程如下：①在上分別截取，使；②分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點C；③作射線，則就是的平分線．用三角形全等的判定解釋作圖原理，下列最為恰當(dāng)?shù)氖牵?/p>

）A． B． C． D．【變式1-1】已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數(shù)為（

）A．20° B．50° C．60° D．40°【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交AC、AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，作射線AP交BC于點D，若AC＝8，BC＝6，則CD的長為．【變式1-3】按要求完成尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計算．已知：在中，，．(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點．(2)求所作圖形中的度數(shù)．考點二：尺規(guī)作垂線例2．線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，其依據(jù)是構(gòu)造兩個全等三角形．如圖，由作圖可知，判定所構(gòu)造的兩個三角形全等的依據(jù)是（）

A． B． C． D．【變式2-1】圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關(guān)于四條?、?、②、③、④有四種說法：（1）?、偈且設(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（2）?、谑且訮為圓心，任意長為半徑所畫的??；（3）?、凼且訟為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（4）?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的??；其中正確說法的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式2-2】數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點Q．”其中一位同學(xué)作出了如圖所示的圖形．你認(rèn)為他的作法的理由有【變式2-3】如圖，已知，直線及上兩點，．尺規(guī)作圖：作，使點在直線的上方，，．（保留作圖痕跡，且用黑色筆將作圖痕跡描黑，不寫作法和證明）考點三：用HL證全等例3.如圖，于，于，，要根據(jù)“”證明，則還要添加一個條件是（）A． B． C． D．【變式3-1】如圖，點是內(nèi)一點，且點到、的距離相等．則的理由是（

）A． B． C． D．【變式3-2】如圖，在四邊形中，，若根據(jù)“”判定，則需要添加的條件是．【變式3-3】如圖，在中，，線段兩點分別在和過點且垂直于的射線上運動，當(dāng)?shù)拈L為何值時，與全等？考點四：全等的性質(zhì)和HL判定例4．如圖，在中，，是上一點，于點，，連接，若，則等于（

）A． B． C． D．【變式4-1】如圖，，，要根據(jù)“HL”證明，則還需要添加一個條件是（

）A． B． C． D．【變式4-2】如圖，在中，，是的平分線，于點，點在上，，若，，則的長為．【變式4-3】已知，在等腰直角三角形中，，，，點D是線段上一點，點D不與點B，點C重合，連接，以為一邊作，，，且點E與點D在直線兩側(cè)，與交于點H，連接．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，在的延長線上取一點F，當(dāng)時，求證：．(3)過點A作直線的垂線，垂足為G，當(dāng)時，直接寫出與的面積比．考點五：判定方法綜合運用例5．根據(jù)下列條件能畫出唯一的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【變式5-1】如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，小明在池塘外取的垂線上的點C，D，使，再畫出的垂線，使E與A，C在一條直線上，這時測得的長就是的長，依據(jù)是（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【變式5-2】下列說法中正確的是：①如果兩個三角形全等，則這兩個三角形對應(yīng)邊上的中線一定相等；②如果兩個直角三角形有一條邊和這條邊所對的角對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等；③三角形兩條角平分線的交點到這個三角形三邊的距離相等；④如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．其中正確的是．（只填序號）【變式5-3】【初步探索】（1）如圖1：在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點G，使連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．【靈活運用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【拓展延伸】（3）已知在四邊形中，，，若點E在的延長線上，點F在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，若，請直接寫出的度數(shù)．1．如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（

）A． B． C． D．2．如圖，，下列條件中不能判斷的是（

）A． B． C． D．3．在課堂上，侯老師發(fā)給每人一張印有（如圖）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個，使得，小趙和小劉同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．對這兩種畫法的描述中錯誤的是（

）A．小趙同學(xué)作圖判定的依據(jù)是B．小趙同學(xué)第二步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長C．小劉同學(xué)作圖判定的依據(jù)是D．小劉同學(xué)第一步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長4．下列說法中，正確的是（

）A．腰相等的兩個等腰直角三角形全等 B．底邊相等的兩個等腰三角形全等C．頂角相等的兩個等腰三角形全等 D．含有的兩個直角三角形全等5．如圖，，．，點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在射線上由點B向點D方向運動．它們運動的時間為，則點Q的運動速度為時，在某一時刻，A、C、P三點構(gòu)成的三角形與B、P、Q三點構(gòu)成的三角形全等．A．1或 B．1或 C．2或 D．16．如圖，在與中，三點在一條直線上，，，，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．7．如圖，在和中，，，．連接，連接并延長交，于點，．若恰好平分，則下列結(jié)論；；；中，，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，在中，是邊上的高，，，．連接，交的延長線于點E，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤9．“兩條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”是命題（填“真”或“假”）．10．如圖，在和中，，．要使，還需要添加一個條件，這個條件可以是．11．添加輔助線有時候可以將復(fù)雜的問題變簡單，如圖1，在中，，是高，E是外一點，，，若，，，求的面積，小莉思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：如圖2，在上截取，連接根據(jù)小莉的提示，聰明的你可以求得的面積為．

12．如圖，用直尺和圓規(guī)作一個已知角的等角，在尺規(guī)作圖時，用到的三角形全等的判定方法是．（從，，，中選擇）13．如圖，，是外兩點，連接，，有，，．連接，交于點，則的度數(shù)為．14．如圖，在凸五邊形中，，，，，則凸五邊形的面積等于．15．如圖，B，E，C，D四點在同一直線上，相交于點，求證：．16．在下列圖形中，按要求畫出，使得，(1)如圖①，所有小正方形邊長都為1，點均在格點上；(2)如圖②，已知“三角形內(nèi)角和為”，用無刻度直尺與圓規(guī)作（不寫作法，保留作圖痕跡）．17．如圖1，在長方形中，，點P從點B出發(fā)，以的速度沿向點C運動（點P運動到點C處時停止運動），設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)_____________．（用含t的式子表示）(2)當(dāng)t為何值時，？(3)如圖2，當(dāng)點P從點B開始運動，同時，點Q從點C出發(fā)，以的速度沿向點D運動（點Q運動到點D處時停止運動，兩點中有一點停止運動后另一點也停止運動），是否存在這樣的v值使得與全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．18．在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，，，求線段的長．

第04講探索三角形全等的條件（HL）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握HL判定定理2．會用尺規(guī)作角平分線和垂線1.角平分線的畫法：如圖，是任意一個角，在，邊上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？SSS那除了用刻度尺的畫法，我們還可以用圓規(guī)和直尺作角平分線嗎？作法：以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D；分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點M；作射線OM。OM是∠ABC的角平分線。2.如圖，PC=PD，QC=QD，PQ與CD相交與點E，證：PQ⊥CD由此，你能發(fā)現(xiàn)用直尺和圓規(guī)過已知直線外一點作這條直線的垂線的方法嗎？作法：（1）以點P為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，使它與AB交于點C、D；（2）分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧交于點Q；（3）作直線PQ。直線PQ是經(jīng)過直線AB外一點P的AB的垂線。3.按下列做法，用直尺和圓規(guī)作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射線CP上截取CB=a；（3）以點B為圓心，c的長為半徑作弧交射線CQ與點A；（4）連接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形?？匆幌伦约鹤鞯娜切魏推渌瑢W(xué)完全重合嗎？4.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證：把兩個直角三角形拼在一起，可證∠B=∠B′；然后運用AAS證全等即可。通過自己實踐后發(fā)現(xiàn)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）幾何語言：在Rt▲ABC與Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）考點一：尺規(guī)作角平分線例1．作的平分線的過程如下：①在上分別截取，使；②分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點C；③作射線，則就是的平分線．用三角形全等的判定解釋作圖原理，下列最為恰當(dāng)?shù)氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)角平分線的作圖可得三邊相等，即可作答．【詳解】連接，在和中，∵，∴，故答案為：A．【變式1-1】已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數(shù)為（

）A．20° B．50° C．60° D．40°【答案】D【分析】利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：連接CN、DN．由作圖可知，CM=DM，CN=DN,在△MCN和△MDN中，，∴△MCN≌△MDN（SSS），∴∠CMN=∠DMN，∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，∴∠CMD=2∠AOB=40°，故選：D【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交AC、AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，作射線AP交BC于點D，若AC＝8，BC＝6，則CD的長為．【答案】【分析】作DH⊥AB于H,利用基本作圖得到AP平分∠BAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH=DC,然后利用面積法得到×8×DC+×10×DH＝×6×8,從而可求出DC的長．【詳解】解:作DH⊥AB于H,如圖,由作法得AP平分∠BAC,∴DH=DC,在Rt△ABC中,AB＝=10,∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC,∴×8×DC+×10×DH＝×6×8,∴CD＝．故答案為．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握作一條線段等于已知線段，一個角等于已知角，作已知線段的垂直平分線，作已知角的角平分線，過一點作已知直線的垂線的方法.【變式1-3】按要求完成尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計算．已知：在中，，．(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點．(2)求所作圖形中的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用基本作圖，過點作于，再利用基本作圖作的平分線，與相交于點；（2）首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余計算出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)同角的余角相等得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）如圖，線段是邊上的高，線段是的角平分線．（2），，，，是的角平分線，，線段是邊上的高，，，，．【點睛】本題主要考查了作圖——基本作圖，也考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)，熟練掌握基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．考點二：尺規(guī)作垂線例2．線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，其依據(jù)是構(gòu)造兩個全等三角形．如圖，由作圖可知，判定所構(gòu)造的兩個三角形全等的依據(jù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形全等的判定方法；正確理解作線段的垂直平分線的步驟是解題的關(guān)鍵，三角形奠基法是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)．注意要從作法中找已知．由作法可知，作圖是保證了三條邊相等，也就是說構(gòu)造的兩個三角形三邊對應(yīng)相等，則判斷所構(gòu)造的兩個三角形全等的依據(jù)是．【詳解】解：由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，再利用公共邊可證全等，符合．故選：A【變式2-1】圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關(guān)于四條?、?、②、③、④有四種說法：（1）?、偈且設(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的??；（2）弧②是以P為圓心，任意長為半徑所畫的??；（3）?、凼且訟為圓心，任意長為半徑所畫的??；（4）?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的弧；其中正確說法的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)基本作圖的方法即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）?、偈且設(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確；（2）弧②是以P為圓心，大于點P到直線的距離為半徑所畫的弧，錯誤；（3）?、凼且訟為圓心，大于AB的長為半徑所畫的弧，錯誤；（4）?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確．故選C．【點睛】此題主要考查了基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握基本作圖的方法．【變式2-2】數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點Q．”其中一位同學(xué)作出了如圖所示的圖形．你認(rèn)為他的作法的理由有【答案】到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線【分析】把過一點作已知直線的垂線轉(zhuǎn)化為作已知線段的垂直平分線．【詳解】他的作法的理由有到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線．故答案為到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線．【點睛】本題考查了基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線．【變式2-3】如圖，已知，直線及上兩點，．尺規(guī)作圖：作，使點在直線的上方，，．（保留作圖痕跡，且用黑色筆將作圖痕跡描黑，不寫作法和證明）【答案】見解析．【分析】分別根據(jù)過直線上一點作已知直線的垂線、作一個角等于已知角的作圖步驟，尺規(guī)作圖即可.【詳解】如圖所示，作出，作出，即為所求.【點睛】本題考查過直線上一點作已知直線的垂線、作一個角等于已知角這兩個尺規(guī)作圖的結(jié)合，熟練掌握這幾種尺規(guī)作圖的具體作法是解題的關(guān)鍵.考點三：用HL證全等例3.如圖，于，于，，要根據(jù)“”證明，則還要添加一個條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查的是直角三角形的全等的判定，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“”）．直接根據(jù)直角三角形的全等的判定方法可得答案．【詳解】解：在和中，，，故選：B．【變式3-1】如圖，點是內(nèi)一點，且點到、的距離相等．則的理由是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，根據(jù)，，即可利用證明，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點到、的距離相等，∴，又∵，∴，故選：A．【變式3-2】如圖，在四邊形中，，若根據(jù)“”判定，則需要添加的條件是．【答案】或【分析】本題考查用“”證明三角形全等．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件分析還缺少一對對應(yīng)直角邊相等，據(jù)此便可知曉需要添加的條件．【詳解】，和是直角三角形，在和中或故答案為：或【變式3-3】如圖，在中，，線段兩點分別在和過點且垂直于的射線上運動，當(dāng)?shù)拈L為何值時，與全等？【答案】當(dāng)?shù)拈L為5或10時，和全等【分析】本題考查全等三角形的判定，分和兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)時：∵，，∴；當(dāng)時：∵，，∴；綜上：當(dāng)?shù)拈L為5或10時，和全等．考點四：全等的性質(zhì)和HL判定例4．如圖，在中，，是上一點，于點，，連接，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：．【變式4-1】如圖，，，要根據(jù)“HL”證明，則還需要添加一個條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據(jù)垂直定義求出，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【詳解】解：還需要添加的條件是，理由是：，，，在和中，，，故選：D．【變式4-2】如圖，在中，，是的平分線，于點，點在上，，若，，則的長為．【答案】【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線性質(zhì)；由為角平分線，利用角平分線定理得到，再由，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得出，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到，由，即可求解．【詳解】解：是的平分線，，，，在和中，，，，；在和中，，，，，故答案：.【變式4-3】已知，在等腰直角三角形中，，，，點D是線段上一點，點D不與點B，點C重合，連接，以為一邊作，，，且點E與點D在直線兩側(cè)，與交于點H，連接．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，在的延長線上取一點F，當(dāng)時，求證：．(3)過點A作直線的垂線，垂足為G，當(dāng)時，直接寫出與的面積比．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及、以及等判定方法，（1）利用“”證明即可作答；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，再利用“”證明即可作答；（3）分類討論，第一種情況：點G在點E的下方，過點A作于點O，點H作于點M，點H作于點N，先證明，即有，，同理可證明：，再證明，可得，問題即可作答；第二種情況：點G在點E的上方，過點A作于點O，點H作于點M，點H作于點N，按照第一種情況作答即可．【詳解】（1）∵，，∴，∴，又∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴；（3）分類討論：第一種情況：點G在點E的下方，過點A作于點O，點H作于點M，點H作于點N，如圖，∵，∴，又∵，，∴，∴，，同理可證明：，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∵，，，∴；第二種情況：點G在點E的上方，過點A作于點O，點H作于點M，點H作于點N，如圖，同理可得：，，，∵，∴，∴，∴，∴；綜上：與的面積比為或者．考點五：判定方法綜合運用例5．根據(jù)下列條件能畫出唯一的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【分析】此題主要考查了全等三角形的判定以及三角形三邊關(guān)系，正確把握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．利用全等三角形的判定方法以及三角形三邊關(guān)系分別判斷得出即可．【詳解】解：A、，，，可畫出多個三角形，故本選項不符合題意；；B、，，，，不能構(gòu)成三角形，故本選項不符合題意；C、，，，邊角邊，可以畫出唯一三角形，故本選項符合題意；D、，，，并不是的夾角，所以可畫出多個三角形；故本選項不符合題意．故選：C．【變式5-1】如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，小明在池塘外取的垂線上的點C，D，使，再畫出的垂線，使E與A，C在一條直線上，這時測得的長就是的長，依據(jù)是（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴依據(jù)是，故選B．【變式5-2】下列說法中正確的是：①如果兩個三角形全等，則這兩個三角形對應(yīng)邊上的中線一定相等；②如果兩個直角三角形有一條邊和這條邊所對的角對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等；③三角形兩條角平分線的交點到這個三角形三邊的距離相等；④如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．其中正確的是．（只填序號）【答案】①③【分析】此題考查了直角三角形全等的判定，全等三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形全等的判定，全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可；【詳解】解：①如果兩個三角形全等，則這兩個三角形對應(yīng)邊上的中線一定相等，故符合題意，②如果兩個直角三角形有一條直角邊和這條邊所對的角對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等，故不符合題意；③三角形兩條角平分線的交點到這個三角形三邊的距離相等，故符合題意；④如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形不一定全等，故不符合題意．故答案為：①③．【變式5-3】【初步探索】（1）如圖1：在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點G，使連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．【靈活運用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【拓展延伸】（3）已知在四邊形中，，，若點E在的延長線上，點F在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，若，請直接寫出的度數(shù)．【答案】（1），理由見解析；（2）仍然成立，理由見解析；（3）【分析】（1）延長到點G，使，連接，可判定≌，進(jìn)而得出，，再判定≌，可得出，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長到點G，使，連接，先判定≌，進(jìn)而得出，，再判定≌，可得出；（3）在延長線上取一點G，使得，連接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，利用，推導(dǎo)出的度數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），理由如下：如圖1，延長到點G，使，連接，在和中，，≌，，，，，，在和中，，≌，故答案為：；（2）上述結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長到點G，使，連接，，，，在和中，，≌，，，在和中，，≌，；（3）如圖3，在延長線上取一點G，使得，連接，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，，，，即，，，，【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時注意：同角的補角相等．1．如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了利用證明三角形全等的理解，觀察圖形可得三角形的兩角及其夾邊，選擇答案即可，理解利用證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵由圖可得三角形的兩角及其夾邊，∴依據(jù)可畫出全等的三角形，故選：D．2．如圖，，下列條件中不能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有．【詳解】解：添加條件，結(jié)合，可以利用證明，故A不符合題意；添加條件，結(jié)合，不可以利用證明，故B符合題意；添加條件，結(jié)合，可以利用證明，故C不符合題意；添加條件，結(jié)合，可以利用證明，故D不符合題意；故選：B．3．在課堂上，侯老師發(fā)給每人一張印有（如圖）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個，使得，小趙和小劉同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．對這兩種畫法的描述中錯誤的是（

）A．小趙同學(xué)作圖判定的依據(jù)是B．小趙同學(xué)第二步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長C．小劉同學(xué)作圖判定的依據(jù)是D．小劉同學(xué)第一步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長【答案】D【分析】本題考查尺規(guī)作圖，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)演示確定作圖的具體步驟，結(jié)合全等的判定方法判斷．【詳解】由圖示知，小趙第一步為截取線段，第二步為作線段，判定方法為；小劉第一步為截取線段，第二步為作線段，判定方法為．故選：D．4．下列說法中，正確的是（

）A．腰相等的兩個等腰直角三角形全等 B．底邊相等的兩個等腰三角形全等C．頂角相等的兩個等腰三角形全等 D．含有的兩個直角三角形全等【答案】A【分析】本題考查三角形全等的判定．根據(jù)三角形全等的判定逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：A、腰相等的兩個等腰直角三角形全等，故本選項符合題意；B、底邊相等的兩個等腰三角形不一定全等，故本選項不符合題意；C、頂角相等的兩個等腰三角形全等一定全等，故本選項不符合題意；D、含有的兩個直角三角形全等不一定全等，故本選項不符合題意；故選：A．5．如圖，，．，點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在射線上由點B向點D方向運動．它們運動的時間為，則點Q的運動速度為時，在某一時刻，A、C、P三點構(gòu)成的三角形與B、P、Q三點構(gòu)成的三角形全等．A．1或 B．1或 C．2或 D．1【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．設(shè)點Q的運動速度是，有兩種情況：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：設(shè)點Q的運動速度是，∵，∴A、C、P三點構(gòu)成的三角形與B、P、Q三點構(gòu)成的三角形全等，有兩種情況：①，，則，解得：，則，解得：；②，，則，，解得：，，故選A．6．如圖，在與中，三點在一條直線上，，，，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)、鄰補角定義及角的和差求出，，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，則，據(jù)此求解即可，熟練運用全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解:∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故選：．7．如圖，在和中，，，．連接，連接并延長交，于點，．若恰好平分，則下列結(jié)論；；；中，，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】證明可得，，可判斷，選項正確；由全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求解的度數(shù)，利用角平分線的定義求得，即可得，進(jìn)而可證明，即可判斷選項正確，進(jìn)而可求解．【詳解】解：①，，即，在和中，，，，故①選項符合題意；，故④選項符合題意；②，，，，平分，，，，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故②選項符合題意；根據(jù)已知條件無法證明，故③選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理．證明是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，是邊上的高，，，．連接，交的延長線于點E，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】D【分析】先證得，從而推得①正確；利用及三角形內(nèi)角和與對頂角，可判斷②正確；證明，得出，同理，得出，，則，證明，得出．則可得出④正確，由可得出結(jié)論③正確，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到⑤正確．【詳解】解：∵，∴，即，又∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，又∵與所交的對頂角相等，∴與所交角等于，即等于，∴，故②正確；過點F作于點M，過點G作交的延長線于點N，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，同理，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故④正確，∵，∴．故③正確．∵，，，∴，故⑤正確．故選：D．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線合一性質(zhì)與互余、對頂角，三角形內(nèi)角和等幾何基礎(chǔ)知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．“兩條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”是命題（填“真”或“假”）．【答案】真【分析】本題考查的是全等三角形的判定，命題真假的判斷，由兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等可得答案．【詳解】解：∵兩個直角三角形的兩條直角邊相等，而且所夾的角為直角，∴這兩個直角三角形全等，∴兩條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等是真命題；故答案為：真10．如圖，在和中，，．要使，還需要添加一個條件，這個條件可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握證明兩個三角形全等，根據(jù)全等三角形的判定方法可以由證明．【詳解】解：添加一個條件是：，在和中，，，故答案為：（答案不唯一）．11．添加輔助線有時候可以將復(fù)雜的問題變簡單，如圖1，在中，，是高，E是外一點，，，若，，，求的面積，小莉思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：如圖2，在上截取，連接根據(jù)小莉的提示，聰明的你可以求得的面積為．

【答案】4【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；先通過等量代換推出，再利用“邊角邊”證明，再通過求出的面積即可．【詳解】解：∵是的高，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，，∴，∴．故答案為：4．12．如圖，用直尺和圓規(guī)作一個已知角的等角，在尺規(guī)作圖時，用到的三角形全等的判定方法是．（從，，，中選擇）【答案】【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)和基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，以及基本作圖是解題的關(guān)鍵．從作圖可知，，，根據(jù)證，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等推出即可．【詳