/七年級數(shù)學(xué)《暑假作業(yè)?新課程無憂銜接》（蘇科版）考點14勾股定理一、單選題1．如圖，在四邊形中，，點P在四邊形的邊上．若點P到的距離為1，則點P的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．如圖，在中，，，平分交于點，，垂足為．若，則的長為（）A． B． C． D．63．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．4．如圖，桌面上的長方體長為4，寬為3，高為2，．一只螞蟻（看作一點）從A點出發(fā)沿長方體的表面到達B點，則它運動的最短路程為（）A．3 B． C． D．5．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的一組是（）A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．32，42，526．如圖，O為數(shù)軸的原點，數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是1和2，CA⊥OA于點A，且AC=OA；DB⊥OB于點B，且DB=OA；以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點E；以點O為圓心，OD長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點F；則點E和點F表示的數(shù)分別是（）A．1.4，2.2 B． C． D．7．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，則圖中所有正方形的面積的和是（）A． B． C． D．8．如圖所示，一個圓柱體高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程取是（）A．12cm B．10cmC．20cm D．無法確定9．為了打造“綠洲”，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮，己知米，米，，這種草皮每平方米售價元，則購買這種草皮需要（）元．A． B． C． D．10．如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為（）m(容器厚度忽略不計)．A．1.8 B．1.5 C．1.2 D．1.311．如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標(biāo)記為S1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S7的值為（）A．? B．? C．? D．?12．七巧板是大家熟悉的一種益智類玩具．用七巧板能拼出許多有趣的圖案．小明將一個直角邊長為的等腰直角三角形紙板，切割七塊．正好制成一副七巧板，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．填空題13．把兩個同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點，且另外三個銳角頂點，，在同一直線上．若，則=____．14．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點，則的度數(shù)為_______．15．如圖，在中，，點為中點．，繞點旋轉(zhuǎn)，，分別與邊，交于，兩點．下列結(jié)論：①；②；③；④始終為等腰直角三角形．其中正確答案的序號有__________．16．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，則BE的長為______．解答題17．如圖，在中，，，為邊上一點，且．（1）的大小＝________；（2）斜邊的長＝________；（3）斜邊上的中線的長＝________；（4）求的長．18．在四邊形中，，，，，求和．19．已知：如圖，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延長線于E，連接BE．（1）求證：CE＝CB；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的長度．20．如圖，在中，過點A作，BE平分交AC于點E．（1）如圖1，已知，，，求BD的長；（2）如圖2，點F在線段BC上，連接EF、ED，若，，，求證：．

七年級數(shù)學(xué)《暑假作業(yè)?新課程無憂銜接》（蘇科版）考點14勾股定理一、單選題1．如圖，在四邊形中，，點P在四邊形的邊上．若點P到的距離為1，則點P的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】首先作出AB、AD邊上的點P（點A）到BD的垂線段AE，即點P到BD的最長距離，作出BC、CD的點P（點C）到BD的垂線段CF，即點P到BD的最長距離，由已知計算出AE、CF的長與1比較得出答案．【詳解】解：過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∴AE==2＞1，CF=，∴在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為1的點4個，故選：C．【點睛】考查了等腰直角三角形和點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出各邊上點到BD的最大距離比較得出答案．2．如圖，在中，，，平分交于點，，垂足為．若，則的長為（）A． B． C． D．6【答案】A【分析】如圖，過點D作DF⊥AC于F，由角平分線的性質(zhì)可得DF=DE=2，在Rt△BED中，根據(jù)30度角所對直角邊等于斜邊一半可得BD長，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF為等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的長，繼而由BC=BD+CD即可求得答案.【詳解】如圖，過點D作DF⊥AC于F，

∵AD為∠BAC的平分線，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=2，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=4，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，∴CF=DF=2，∴，∴BC=BD+CD=4+2，故選：A．【點睛】考查了角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.3．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩個以a和b為直角邊三角形面積+一個直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上底為a,下第為b,高為（a+b）的梯形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷A，利用以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積+邊長為c的小正方形面積和=以a+b的和為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷B，利用以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積+邊長為（b-a）的小正方形面積和=以c為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷C，利用四個小圖形面積和=大正方形面積推導(dǎo)完全平方公式可判斷D．【詳解】解：A、∵兩個以a和b為直角邊三角形面積+一個直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上底為a,下第為b,高為（a+b）的梯形面積，∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；B、∵以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積+邊長為c的小正方形面積和=以a+b的和為邊正方形面積，∴4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；C、∵以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積+邊長為（b-a）的小正方形面積和=以c為邊正方形面積，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；D、∵四個小圖形面積和=大正方形面積，∴ab+b2+a2+ab=（a+b）2，∴a2+2ab+b2=（a+b）2，根據(jù)圖形證明完全平方公式，不能證明勾股定理，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】考查利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式，掌握利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式是解題關(guān)鍵．4．如圖，桌面上的長方體長為4，寬為3，高為2，．一只螞蟻（看作一點）從A點出發(fā)沿長方體的表面到達B點，則它運動的最短路程為（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出長方形的側(cè)面展開圖，連接AB，根據(jù)勾股定理求出AB的長即可．【詳解】解：如圖1所示，則，

如圖2所示，則，

如圖3所示，則，

綜上：AB的最短距離為．故選：B．【點睛】考查的是平面展開－最短路徑問題，此類問題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑，一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．5．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的一組是（）A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．32，42，52【答案】A【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A、72+242=252，三邊是整數(shù)，同時能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，此選項符合題意；B、，不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，此選項不合題意；C、1.5，2.5，不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，此選項不合題意；D、92+162≠252，不是勾股數(shù)，不合題意．故選：A．【點睛】考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．6．如圖，O為數(shù)軸的原點，數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是1和2，CA⊥OA于點A，且AC=OA；DB⊥OB于點B，且DB=OA；以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點E；以點O為圓心，OD長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點F；則點E和點F表示的數(shù)分別是（）A．1.4，2.2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理及數(shù)軸性質(zhì)解答．【詳解】解：由題意可得：，

，

∴點E和點F表示的數(shù)分別是，故選B．【點睛】考查勾股定理及數(shù)軸的綜合應(yīng)用7．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，則圖中所有正方形的面積的和是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，設(shè)正方形A、B、C、D、E、F的邊長分別為a、b、c、d、x、f，根據(jù)勾股定理得出正方形之間的關(guān)系，再將所有正方形的面積相加即可得出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)正方形A、B、C、D、E、F的邊長分別為a、b、c、d、x、f所有的三角形都是直角三角形由勾股定理可得，，S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形C+S正方形D=S正方形F，S正方形E+S正方形F=64S正方形A+S正方形B+S正方形C+S正方形D+S正方形E+S正方形F+82=2（S正方形E+S正方形F）+64=264+64=192（cm2）所有的正方形的面積和是192cm2故選D．【點睛】考查了勾股定理的應(yīng)用，求得所有正方形的面積是關(guān)鍵，注意不要漏掉．8．如圖所示，一個圓柱體高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程取是（）A．12cm B．10cmC．20cm D．無法確定【答案】B【分析】先將圖形展開，根據(jù)兩點之間，線段最短，利用根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：沿AC將圓柱的側(cè)面展開，底面半徑為2cm，，在中，，，．故答案為：B．【點睛】考查的是平面展開，最短路徑問題，立方體的展開圖，兩點之間線段最短，勾股定理的應(yīng)用的有關(guān)知識．解題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識解決問題．9．為了打造“綠洲”，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮，己知米，米，，這種草皮每平方米售價元，則購買這種草皮需要（）元．A． B． C． D．【答案】A【分析】作BA邊的高CD，設(shè)與AB的延長線交于點D，則∠DBC＝60°，由BC＝15米，即可求出BD＝7.5米，然后根據(jù)三角形的面積公式即可推出△ABC的面積，最后根據(jù)每平方米的售價即可推出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作BA邊的高CD，設(shè)與AB的延長線交于點D，∵∠ABC＝120°，∴∠DBC＝60°，∵CD⊥BD，BC＝15米，∴∠DCB＝30°，BD＝7.5米，，∵AB＝10米，∴S△ABC＝AB×CD＝×10×＝37.5（平方米），∵每平方米售價2a元，∴購買這種草皮至少為37.5×2a＝75a（元），故選：A．【點睛】考查三角形的面積公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于做出AB邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)推出高CD的長度，正確的計算出△ABC的面積．10．如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為（）m(容器厚度忽略不計)．A．1.8 B．1.5 C．1.2 D．1.3【答案】D【分析】將容器側(cè)面展開，找出A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【詳解】解：如圖：∵高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2?0.3＋0.3＝1.2m，∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝=＝1.3（m）．故選：D．【點睛】考查了平面展開???最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．11．如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標(biāo)記為S1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S7的值為（）A．? B．? C．? D．?【答案】A【分析】根據(jù)題意求出面積標(biāo)記為S2的等腰直角三角形的直角邊長，得到S2，同理求出S3，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為1，∴面積標(biāo)記為S2的等腰直角三角形的直角邊長為，則，面積標(biāo)記為S3的等腰直角三角形的直角邊長為，則，…..則S7的值為：，故選：A．【點睛】考查勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等．能通過計算找出一般性規(guī)律是解題關(guān)鍵．12．七巧板是大家熟悉的一種益智類玩具．用七巧板能拼出許多有趣的圖案．小明將一個直角邊長為的等腰直角三角形紙板，切割七塊．正好制成一副七巧板，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)七巧板意義，計算出陰影等腰直角三角形的直角邊的長即可.【詳解】如圖，根據(jù)題意，得BC=20，CD=BD=10=EM，∴EG=GM=5，∴EF=FG=5，∴，故選B.【點睛】考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的面積，熟練掌握七巧板制作規(guī)律和制作特點是解題的關(guān)鍵.填空題13．把兩個同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點，且另外三個銳角頂點，，在同一直線上．若，則=____．【答案】【分析】作于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AF，BF，CF，在中根據(jù)勾股定理求出BC，得到AD，在中，根據(jù)勾股定理求出DF，即可得CD．【詳解】過點A作于點F，在中，，∴，∴，，∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，故答案為：．【點睛】考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．14．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點，則的度數(shù)為_______．【答案】45°【分析】如圖，連接CG、AG，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°，從而知△CAG是等腰直角三角形，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形全等，可知：∠BAC-∠DAE=∠ACG，即可得解．【詳解】解：如圖，連接CG、AG，設(shè)小正方形的邊長為1，由勾股定理得：AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10，∴AC2+AG2=CG2，∴∠CAG=90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠ACG=45°，∵CF∥AB，∴∠ACF=∠BAC，在△CFG和△ADE中，∵，∴△CFG≌△ADE（SAS），∴∠FCG=∠DAE，∴∠BAC-∠DAE=∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°，故答案為：45°．【點睛】考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，點為中點．，繞點旋轉(zhuǎn)，，分別與邊，交于，兩點．下列結(jié)論：①；②；③；④始終為等腰直角三角形．其中正確答案的序號有__________．【答案】①②③④【分析】連接根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出，就可以得出，進而得出，就有，由勾股定理就即可求出結(jié)論．【詳解】解：如圖連接，，點為中點，，．，．，，．在和中，，，，，．，，．，．①，，．，，始終為等腰直角三角形．④，．②，．③正確的有①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，解答時證明是關(guān)鍵．16．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，則BE的長為______．【答案】．【分析】連接AE，由垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE，設(shè)AE＝BE＝x，，則CE=12-x，在△ACE中利用勾股定理可得x的長，即得BE的長．【詳解】解：連接AE，∵ED是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，設(shè)AE＝BE＝x，∵AC＝9，BC＝12，∴CE＝BC-BE=12﹣x，∵∠ACE＝90°，在△ACE中，由勾股定理AC2+CE2＝AE2，即92+（12﹣x）2＝x2，解得x＝，∴BE的長為．故答案為：．【點睛】考查了垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵．解答題17．如圖，在中，，，為邊上一點，且．（1）的大?。絖_______；（2）斜邊的長＝________；（3）斜邊上的中線的長＝________；（4）求的長．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角和三角形內(nèi)角的關(guān)系即可求解；（2），得到是直角三角形，；（3）由（2）得上的中線的長等于它的半；（4）過點A作于點，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）∵，∴；∵，∴（2）∵，∴是直角三角形∴（3）∵直角三角形斜邊上的中線的長等于它的一半，∴斜邊BC上的中線的長=（4）解：過點作于點，，．，．在中，由（1）得，，．由，得．解得．【點睛】考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．18．在四邊形中，，，，，求和．【答案】【分析】延長與，兩延長線交于點，由，得到三角形與三角形都為直角三角形，由，得到，在直角三角形中，利用所對的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)的長求出的長，同理在直角三角形中，由的長求出的長，用求出的長，用求出的長即可．【詳解】解：延長與，兩延長線交于點，如圖所示，∵，，∴，在中，，∴，根據(jù)勾股定理得：，在中，，∴，根據(jù)勾股定理得：，則，．【點睛】考查了勾股定理，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．19．已知：如圖，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延長線于E，連接BE．（1）求證：CE＝CB；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求