/第02講一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法3種題型）1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.3.理解配方的基本過程，會運用配方法解一元二次方程.4.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，體會轉化的數(shù)學思想.知識點1：直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．知識點2：配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．要點詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．知識點3：配方法的應用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運用非負數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應用，我們學習二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應用．要點詮釋：“配方法”在初中數(shù)學中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關系，討論不等關系的常用技巧，是挖掘題目當中隱含條件的有力工具，同學們一定要把它學好．題型1：用直接開平方法解一元二次方程例1．（2022秋?江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4例2．（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．例3.解關于的方程：．例4.解關于的方程：．例5.解關于的方程：．例6.解關于的方程：．例7.解關于的方程：．例8.解關于的方程：．題型2：用配方法解一元二次方程例9．（2022秋?秦淮區(qū)期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）例10.用配方法解方程：．例11.用配方法解方程：．例12.用配方法解方程：．例13.用配方法解方程：．題型3：配方法的應用例14．（2023春?梁溪區(qū)校級期中）在求解代數(shù)式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）時，老師給出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵無論a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代數(shù)式2（a﹣3）2+4≥4，即當a＝3時，代數(shù)式2a2﹣12a+22有最小值為4．仿照上述思路，則代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8的最值為（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5例15．（2023春?吳江區(qū)期中）我們可以將一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多項式變形為a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我們把這樣的變形叫做多項式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知關于a，b的代數(shù)式滿足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，請你利用配方法求a+b的值．例16．（2023春?吳中區(qū)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求邊c的值．例17.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關于x的方程的兩根，當k為何值時，△ABC是等腰三角形？一、單選題1．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C．， D．，2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）一元二次方程，經(jīng)過配方可變形為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)滿足，則代數(shù)式的最小值等于（

）A．1 B． C． D．無法確定4．（2023·江蘇蘇州·一模）已知關于x的一元二次方程（m，h，k均為常數(shù)且）的解是，，則關于x的一元二次方程的解是（）A．， B．， C．， D．，5．（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市江南中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，若已知點，則下列結論一定不成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）用配方法解方程時，原方程應變形為（

）A． B．C． D．二、填空題7．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程配方為，則k的值是______．8．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學校考期中）用配方法解方程，方程可變形為，則_________，__________．9．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）新定義，若關于的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．現(xiàn)有關于的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是_________．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┮阎獙崝?shù)、、滿足，則實數(shù)的最大值為__．三、解答題11．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）解方程：(1)；(2)．12．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．13．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）解方程：(1)；(2)．14．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）（1）數(shù)學活動小組在研究函數(shù)的圖像時提出了下列問題：①函數(shù)的自變量x的取值范圍是；②容易發(fā)現(xiàn)，當時，；當時，．由此可見，圖像在第象限；③閱讀材料：當時，．當時，即時，有最小值是2．請仿照上述過程，求出當時，的最大值；（2）當時，求的最小值；（3）如圖，四邊形的對角線，相交于點，、的面積分別為4和9，求四邊形面積的最小值．一、單選題1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）把方程化為的形式后，m的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．12．（2021秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習）已知關于x的多項式的最小值為8，則m的值可能為（

）A．1 B．2 C．4 D．53．（2022秋·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學校考階段練習）若，，則A、B的大小關系為（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B二、填空題4．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知多項式A＝x2﹣x+(3)，若無論x取何實數(shù)，A的值都不是負數(shù)，則k的取值范圍是________．5．（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習）方程的根是_____．6．（2022·江蘇·九年級專題練習）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則A____B（填＞，＜或＝）．7．（2022秋·江蘇·九年級階段練習）若實數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x＋y2＝0，則x2＋y2＋2x的最大值是____．8．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如是“差1方程”．若關于x的方程(a，b是常數(shù)，)是“差1方程”設，t的最大值為__________．9．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考階段練習）已知實數(shù)a、b，滿足，則代數(shù)式的最小值等于______．三、解答題10．（2021秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，觀察下列式子：①，∵，∴．因此，代數(shù)式有最小值﹣2；②，∵，∴．因此，代數(shù)式有最大值4；閱讀上述材料并完成下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為______；(2)求代數(shù)式的最大值．11．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習）王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．要求同學們運用所學知識進行解答．同學們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結出如下解答方法；解：，，．當時，的值最小，最小值是1．的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：(1)直接寫出的最小值為．(2)求代數(shù)式的最小值．(3)你認為代數(shù)式有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值．(4)若，求的最小值．12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）【項目學習】“我們把多項式及叫做完全平方式”．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法．例如：求當a取何值，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？解：因為，所以，因此，當時，代數(shù)式有最小值，最小值是．【問題解決】利用配方法解決下列問題：(1)當___________時，代數(shù)式有最小值，最小值為___________．(2)當x取何值時，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)當x，y何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？(4)如圖所示的第一個長方形邊長分別是、，面積為；如圖所示的第二個長方形邊長分別是、，面積為，試比較與的大小，并說明理由．13．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）閱讀材料：選取二次三項式中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項和一次項配方：；②選取二次項和常數(shù)項配方：，或③選取一次項和常數(shù)項配方：請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)當，為何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？

第02講一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法3種題型）1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.3.理解配方的基本過程，會運用配方法解一元二次方程.4.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，體會轉化的數(shù)學思想.知識點1：直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．知識點2：配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．要點詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．知識點3：配方法的應用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運用非負數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應用，我們學習二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應用．要點詮釋：“配方法”在初中數(shù)學中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關系，討論不等關系的常用技巧，是挖掘題目當中隱含條件的有力工具，同學們一定要把它學好．題型1：用直接開平方法解一元二次方程例1．（2022秋?江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4【分析】根據(jù)直接開平方解方程即可．【解答】解：直接開平方得：x＝±2，∴方程的解為：x1＝2，x2＝﹣2，故選：C．【點評】本題考查了用直接開平方法解一元二次方程，特別注意：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)．例2．（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先將方程整理為x2＝，再利用平方根的意義直接開方求解即可；（2）首先將方程整理為（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意義直接開方求解即可．【解答】解：（1）4x2＝49，x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，∴x1＝3，x2＝﹣2．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．例3.解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得： 即方程兩根為，．【總結】直接開平方法解形如方程兩根即為．例4.解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：， 即方程兩根為，．【總結】直接開平方法解形如方程兩根即為．例5.解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：， 得或，即方程兩根為，．【總結】直接開平方法解形如的方程，將當作一個整體，可得或．例6.解關于的方程：．【答案】，．【解析】直接開平方法解方程，即得，得或， 即得方程兩根為，．【總結】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當作一個整體，可得或．例7.解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得 ，得或，解得方程兩根 分為，．【總結】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當作一個整體，可得或．例8.解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得， 得：或，解得方程兩根分為，．【總結】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當作一個整體，可得．題型2：用配方法解一元二次方程例9．（2022秋?秦淮區(qū)期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【解答】解：由原方程移項，得x2﹣6x＝﹣4，等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，得x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，∴x＝±+3，∴x1＝+3，x2＝﹣+3．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．例10.用配方法解方程：．【答案與解析】解：∵，∴∴，∴∴．【總結升華】原方程的二次項系數(shù)不為1，必須先化成1，才能配方．配方時，方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成的形式，然后用直接開平方法求解即可．例11.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以， 所以原方程的解為：，．【總結】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例12.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 配方，得：，即，解得：， 所以原方程的解為：，．【總結】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先將二次項系數(shù)化為1，然后再配方．例13.用配方法解方程：．【答案】．【解析】由，得，即， 所以，所以原方程的解為：．【總結】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先將二次項系數(shù)化為1，然后再配方．題型3：配方法的應用例14．（2023春?梁溪區(qū)校級期中）在求解代數(shù)式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）時，老師給出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵無論a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代數(shù)式2（a﹣3）2+4≥4，即當a＝3時，代數(shù)式2a2﹣12a+22有最小值為4．仿照上述思路，則代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8的最值為（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5【分析】根據(jù)題意把代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非負性即可得出最值．【解答】解：由題意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵無論a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代數(shù)式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即當a＝1時，代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故選：A．【點評】本題主要是考查了配方法的應用以及偶次方的非負性，解題關鍵是把代數(shù)式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．例15．（2023春?吳江區(qū)期中）我們可以將一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多項式變形為a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我們把這樣的變形叫做多項式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知關于a，b的代數(shù)式滿足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，請你利用配方法求a+b的值．【分析】已知等式變形后，利用完全平方公式化簡，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出即可．【解答】解：已知等式變形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣1，b＝2，則a+b＝﹣1+2＝1．【點評】此題考查了配方法的應用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．例16．（2023春?吳中區(qū)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求邊c的值．【分析】（1）根據(jù)x2+4xy+5y2+6y+9＝0，應用因式分解的方法，判斷出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y計算即可；（2）根據(jù)a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，應用因式分解的方法，判斷出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b的值，然后根據(jù)三角形的三條邊的關系，求出c的值即可．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+6y+9＝0，∴（x2+4xy+4y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x+2y）2+（y+3）2＝0，∴x+2y＝0，y+3＝0，∴x＝6，y＝﹣3，∴x﹣y＝6﹣（﹣3）＝9．（2）∵a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，∴（a2﹣4a+4）+（2b2﹣4b+2）＝0，∴（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，∴a＝2，b＝1，∵2﹣1＜c＜2+1，∴1＜c＜3，∵c為正整數(shù)，∴c＝2．【點評】本題考查配方法的應用，以及三角形三條邊的關系，解答本題的關鍵是明確配方法、會用配方法解答問題．例17.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關于x的方程的兩根，當k為何值時，△ABC是等腰三角形？【答案】．【解析】由，得，所以或者． 當時，和，滿足三角形三邊關系， 當時，和，不滿足三角形三邊關系． 所以時，△ABC是等腰三角形【總結】先配方然后用分類討論的方法解決問題．一、單選題1．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)直接開方法求解即可．【詳解】解：，直接開方得：，，故選：D．【點睛】題目主要考查利用直接開方法解一元二次方程，熟練掌握此方法是解題關鍵．2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）一元二次方程，經(jīng)過配方可變形為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方程移項，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式化簡得到結果，即可作出判斷．【詳解】解：方程移項得：，配方得：，即．故選：A．【點睛】此題考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)滿足，則代數(shù)式的最小值等于（

）A．1 B． C． D．無法確定【答案】C【分析】由已知得，代入代數(shù)式即得變形為，再配方，即可求解．【詳解】解：∵，∴，代入代數(shù)式即得，得，，，∵，∴，∴的最小值等于，故選：C【點睛】本題考查配方法的應用，通過變形將代數(shù)式化成是解題的關鍵．4．（2023·江蘇蘇州·一模）已知關于x的一元二次方程（m，h，k均為常數(shù)且）的解是，，則關于x的一元二次方程的解是（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】把看作關于的一元二次方程，則或，然后解兩個一次方程即可．【詳解】解：方程、，均為常數(shù)且的解是，，對于關于的一元二次方程的解，即或，即，，關于的一元二次方程的解是，．故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程直接開平方法：形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．5．（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市江南中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，若已知點，則下列結論一定不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】勾股定理可得：，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，從而可得答案．【詳解】由勾股定理可得：當時，有最小值2∴的最小值為所以A不符合題意，B，C，D都有可能，符合題意故選A【點睛】本題考查的是配方法的應用，利用平方根解方程，掌握“配方法的應用”是解本題的關鍵．6．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）用配方法解方程時，原方程應變形為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將方程常數(shù)項移到等號右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，再利用完全平方公式變形即可得到結果【詳解】解：方程整理得：，配方得：，即．故選：D．【點睛】此題考查了用配方法解一元二次方程，解題關鍵是熟練掌握完全平方公式．二、填空題7．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程配方為，則k的值是______．【答案】１【分析】將原方程變形成與相同的形式，即可求解．【詳解】解：∴故答案為：1．【點睛】本題主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解題步驟是解本題的關鍵．8．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學?？计谥校┯门浞椒ń夥匠?，方程可變形為，則_________，__________．【答案】534【分析】利用配方法解答，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，即，∴，．故答案為：5，34【點睛】本題主要考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解題的關鍵．9．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）新定義，若關于的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．現(xiàn)有關于的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是_________．【答案】【分析】根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．【詳解】∵與是“同類方程”，∴，∴，∴，解得：，∴∴當時，取得最大值為2023．故答案為：．【點睛】此題主要考查了配方法的應用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關鍵．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┮阎獙崝?shù)、、滿足，則實數(shù)的最大值為__．【答案】2022【分析】仔細觀察等式左側，先將多項式進行分組，再利用配方法化簡其形式，最后根據(jù)平方的非負性確定的最大值.【詳解】解：，，，，，，當時，的值最大，，，實數(shù)的最大值為2022，故答案為：2022．【點睛】本題考查了配方法與平方的非負性，能夠識別多種情況下的配方條件，正確的配方是解題關鍵.三、解答題11．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接開方法解方程即可．（2）配方法即解方程即可．【詳解】（1）（2）【點睛】此題考查一元二次方程的解法，有直接開方法，配方法，因式分解法，公式法等，解題關鍵是根據(jù)方程的特點挑選合適的解法．12．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】，【分析】利用配方法解方程即可．【詳解】解：，，，，，【點睛】本題考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相關性質(zhì)是解題的關鍵．13．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】(1)利用直接開平方法解此方程，即可求解；(2)利用配方法解此方程，即可求解．【詳解】（1）解：由原方程得：得，解得，，所以，原方程的解為，；（2）解：由原方程得：，得，，得，解得，，所以，原方程的解為，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運用一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．14．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）（1）數(shù)學活動小組在研究函數(shù)的圖像時提出了下列問題：①函數(shù)的自變量x的取值范圍是；②容易發(fā)現(xiàn)，當時，；當時，．由此可見，圖像在第象限；③閱讀材料：當時，．當時，即時，有最小值是2．請仿照上述過程，求出當時，的最大值；（2）當時，求的最小值；（3）如圖，四邊形的對角線，相交于點，、的面積分別為4和9，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）①；②一、三；③當時，的最大值為；（2）最小值為11；（3）25【分析】（1）①根據(jù)分母不為0即可求解；②根據(jù)當時，；當時，即可判斷；③模仿求解過程，利用配方法即可求解；（2）將的分子分別除以分母，展開，將含的項用題中所給公式求得最小值，再加上常數(shù)即可；（3）設，已知，，則由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四邊形的面積用含的代數(shù)式表示出來，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．【詳解】解：（1）①函數(shù)的自變量x的取值范圍為：；②容易發(fā)現(xiàn)，當時，；當時，．由此可見，圖像在第一、三象限；③當時，；當時，當時，的最小值為2；當時，的最大值為．故答案為：①；②一、三；③當時，的最大值為；（2）由，，，當時，最小值為11．（3）設，已知，則由等高三角形可知：四邊形面積當且僅當時取等號，即四邊形面積的最小值為25．【點睛】本題考查了配方法在最值問題中的應用，同時本題還考查了分式化簡和等高三角形的性質(zhì)，本題難度中等略大，屬于中檔題．一、單選題1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）把方程化為的形式后，m的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】B【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，則，即，∴，n＝1，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握一元二次方程配方法，是解題的關鍵．2．（2021秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習）已知關于x的多項式的最小值為8，則m的值可能為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】利用配方法將進行配方，即可得出答案.．【詳解】解：原式，當x-=0，即x=時，原式取得最小值9-=8，整理得：，解得：m=±2，則m的值可能為2，故選：B．【點睛】本題考查了配方法的運用，掌握配方法是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學?？茧A段練習）若，，則A、B的大小關系為（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B【答案】A【分析】利用做差法求出，然后利用偶數(shù)次冪的非負性即可得出，即可得出，從而得出正確選項．【詳解】解：∵，，∴，∴，即，故選：A．【點睛】本題考查了配方法的應用，考查了通過做差法判斷式子的大小，熟練掌握配方法是本題的關鍵所在．二、填空題4．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知多項式A＝x2﹣x+(3)，若無論x取何實數(shù)，A的值都不是負數(shù)，則k的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)配方法可進行求解．【詳解】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3），若x取任何實數(shù)，A的值都不是負數(shù)，∴（3）≥0，解得：；故答案為：．【點睛】本題主要考查配方法的應用，熟練掌握配方法是解題的關鍵．5．（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習）方程的根是_____．【答案】【分析】兩邊開方，然后解關于的一元一次方程．【詳解】解：由原方程，得．解得．故答案是：．【點睛】本題考查了解一元二次方程直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：；，同號且；；，同號且．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．6．（2022·江蘇·九年級專題練習）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則A____B（填＞，＜或＝）．【答案】<【分析】先求A-B的差，再將差用配方法變形為A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非負數(shù)性質(zhì)求解．【詳解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A﹣B<0，∴A<B，故答案為：<．【點睛】本題考查了配方法的綜合應用，配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．7．（2022秋·江蘇·九年級階段練習）若實數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x＋y2＝0，則x2＋y2＋2x的最大值是____．【答案】15【分析】先將2x2﹣6x+y2＝0，變形為y2＝﹣2x2+6x，代入所求代數(shù)式并化簡為x2+y2+2x＝﹣（x﹣4）2+16，利用非負數(shù)性質(zhì)可得x2+y2+2x≤16，再因為y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．【詳解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，∵（x﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，當x＝3時，x2+y2+2x取得最大值為15，故答案為：15．【點睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法以及完全平方式的非負性是解決本題的關鍵．8．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如是“差1方程”．若關于x的方程(a，b是常數(shù)，)是“差1方程”設，t的最大值為__________．【答案】【分析】根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1，列出與的關系式，再由，得與的關系，從而得出最后結果．【詳解】解：由題可得：∴解方程得，關于的方程、是常數(shù)，是“差1方程”，，，，，，時，的最大值為9．故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義．9．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考階段練習）已知實數(shù)a、b，滿足，則代數(shù)式的最小值等于______．【答案】【分析】由題意得，代入代數(shù)式可得，故此題的最小值是5．【詳解】，，，代數(shù)式的最小值等于5，故答案為：．【點睛】此題考查了代數(shù)式的變形及配方法的應用，關鍵是掌握完全平方公式并正確變形、計算．三、解答題10．（2021秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習）利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，觀察下列式子：①，∵，∴．因此，代數(shù)式有最小值﹣2；②，∵，∴．因此，代數(shù)式有最大值4；閱讀上述材料并完成下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為______；(2)求代數(shù)式的最大值．【答案】(1)﹣3(2)當a＝﹣3，b＝2時，代數(shù)式的最大值是3【分析】（1）通過配方可求出完全平方形式，根據(jù)平方式的非負性可得結果；（2）把配方成完全平方的形式可得結果．（1）解：﹣4x+1＝＝，∵，∴，∴當x＝2時，這個代數(shù)式﹣4x+1的最小值為﹣3．故答案為：﹣3；（2）＝﹣﹣6a﹣9﹣+4b﹣4+3＝﹣﹣+3，∵≥0，≥0，∴﹣，﹣，∴＝﹣﹣+3，∴當a＝﹣3，b＝2時，代數(shù)式的最大值是3．【點睛】本題考查了配方法的應用，用到的知識點是完全平方公式，非負數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是把給出的式子化成完全平方的形式進行解答．11．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習）王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．要求同學們運用所學知識進行解答．同學們經(jīng)過探索、交流和