/重難點04全等三角形中“手拉手”模型1.識別幾何模型。2.利用“手拉手”模型解決問題【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；例1、如圖，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，點D為AB邊上的一點.若DE=13，BD=12，求線段AB的長.【變式1】某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在研究三角形時，把兩個大小不同的等腰直角三角板按圖①所示放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請找出圖②中的全等三角形，并給予說明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；（2）試說明：DC與BE的位置關(guān)系．【變式2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連結(jié)AE,BD交于點O,AE與DC交于點0，AE與DC交于點M,BD與AC交于點N.例2.已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與點B,點C重合）.以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE.如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：△ABD≌△ACE;直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立（不需要證明）；如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.【變式1】如圖，點C在線段AB上，△DAC和△DBE都是等邊三角形，求證：△DAB≌△DCE;DA∥EC.【變式2】如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求證：AC＝BD．（2）求∠APB的度數(shù)．例3、已知，在△ABC中，AB＝AC，點P平面內(nèi)一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP＝∠BAC，連接BQ、CP，⑴若點P在△ABC內(nèi)部，求證BQ＝CP；⑵若點P在△ABC外部，以上結(jié)論還成立嗎？【變式】（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上的一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接CE，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖2，A是△BDC內(nèi)一點，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝6，線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AE，點D、E、B恰好共線，求△BDC的面積；（3）如圖3，在圖1的條件下，延長DE，AC交于點G，BF⊥AB交DE于點F，求證：FGAE．一．填空題（共4小題）1．（2020秋?工業(yè)園區(qū)月考）在△ABC中，∠ABC＝45°，AD、BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F，連接CF．下列結(jié)論：（1）∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝BD：CD，④若BF＝2EC，則△FDC的周長等于AB的長．正確的是（填序號）．2．（2022秋?通州區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°．P是BC邊上一點，CP＝CA，連接AP，以AP為邊在AP的右上方作等邊三角形APQ．若AB＝5，則點Q到邊AB的距離為．3．（2021秋?濱湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是邊AB上一動點，連接CD，以CD為直角邊在CD左側(cè)作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，連接AE，則DE長度的最小值為；△ADE面積的最大值為．4．（2021秋?常州期末）如圖，兩條互相垂直的直線m、n交于點O，一塊等腰直角三角尺的直角頂點A在直線m上，銳角頂點B在直線n上，D是斜邊BC的中點．已知OD＝，BC＝4，則S△AOB＝．二．解答題（共13小題）5．（2022秋?宜興市月考）如圖，點E在CD上，BC與AE交于點F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求證：AE＝CD；（2）證明：∠1＝∠3．6．（2021秋?丹陽市期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長AB到D，使得DB＝AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰Rt△CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．（1）猜想線段BE與AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝cm，則BE＝cm，DE＝cm．7．（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若AE＝5，求CE的長．8．（2021秋?江陰市校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，點D為BC上一點（與點B不重合），過點C作∠ACE＝60°，且CE＝BD（點E與點A在射線BC同側(cè)），連接AD，ED．求證：AD＝DE．9．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上的一點（不與點B、C重合），以AD為腰右側(cè)作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝度．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①點D是在線段BC上移動時，如圖2，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．點D是在射線CB上移動時，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試直接寫出結(jié)論．10．（2022秋?徐州期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．將一個含45°角的直角三角尺DEF按圖1所示放置，使直角三角尺的直角頂點D恰好落在BC邊的中點處，將直角三角尺DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，設(shè)AB交DF于點N，AC交DE于點M，示意圖如圖2所示．（1）[證明推斷]求證：DN＝DM；小明給出的思路：若要證明DN＝DM，只需證明△BDN≌△ADM即可，請你根據(jù)小明的思路完成證明過程；（2）[延伸發(fā)現(xiàn)]連接AE，BF，如圖3所示，求證：AE＝BF；（3）[遷移應(yīng)用]延長EA交DF于點P，交BF于點Q．在圖3中完成如上作圖過程，猜想并證明AE和BF的位置關(guān)系．11．（2022秋?東?？h期中）【問題呈現(xiàn)】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是斜邊AB上的一點，連接CD，試說明AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解決策略】小敏同學(xué)思考后是這樣做的：將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到對應(yīng)的△CBE，連接DE，如圖1經(jīng)過推理使問題得到解決．請回答：（1）△DBE的形狀是，△DCE的形狀是；（2）直接寫出AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系是；【方法感悟】在解決問題時，條件中若出現(xiàn)“等邊三角形”、“等腰直角三角形”字樣，可以考慮旋轉(zhuǎn)某個三角形，把分散的條件或結(jié)論集中到一起，從而使問題得到解決．（3）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BCD＝45°，連接對角線AC、BD，∠ADB＝90°，AD＝BD，若CB＝2，CD＝4，求CA的長；（4）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，若BC＝5，CD＝2，求A、C兩點之間的最大距離．12．（2021秋?淮安期末）如圖1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α．（1）AD、BE相交于點M．①求證：AD＝BE；②用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)；（2）如圖2，點P、Q分別是AD、BE的中點，連接CP、CQ，判斷△CPQ的形狀，并加以證明；（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝，AC＝3，以AB為直角邊，B為直角頂點作等腰Rt△ABD，則CD＝（直接寫出結(jié)果）．13．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結(jié)論：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正確的有（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．14．（2021秋?沭陽縣月考）在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°．（2）如圖2，設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．當(dāng)點D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）如圖2，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC＝60°，D點為△ABC中BC邊上的一個動點（D與B、C均不重合），當(dāng)點D運動到什么位置時，△DCE的周長最??？請?zhí)角簏cD的位置，并求出此時∠EDC的度數(shù)，直接寫出你的結(jié)論．15．（2022秋?江陰市期中）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，則有≌．（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，則∠BOD＝°．（3）如圖3，在兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，交于點P，請判斷BD和CE的關(guān)系，并說明理由．16．（2022秋?阜寧縣期中）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點B，D，E在同一直線上，連接CE，容易發(fā)現(xiàn)：①∠BEC的度數(shù)為；②線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接CE，試探究∠BEC的度數(shù)及線段BE、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝7，AC＝BC，求OC2的值．17．（2021秋?興化市期末）如圖1，△ABC與△ADE是共頂點A的兩個等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接CE、BD．（1）求證：CE＝BD；（2）如圖2，固定△ABC，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，若AD＝25，BC＝20，S△ABC＝240，當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到線段BC上時，求CE的長；（3）如圖3，設(shè)F為BD、CE的交點，G、H分別為BD、CE的中點，∠BFC＝α，∠AGH＝β，試探究α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．一、單選題1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結(jié)，若，，則（

）A． B． C．4 D．二、填空題2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，點B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號）三、解答題3．（2022秋·山東聊城·八年級?？计谀┤鐖D，已知，，．求證：．4．（2022春·山東濟南·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為任意三角形，以邊、為邊分別向外作等邊三角形和等邊三角形，連接、并且相交于點．求證：（1）；（2）．5．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，點C是線段AB上任意一點（點C與點A，B不重合），分別以AC，BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N．連接MN．證明：（1）△ACE≌△DCB；（2）△ACM≌△DCN；（3）MN∥AB．6．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一條直線上，連接BE．（1）求證：AD=BE；（2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的長．7．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，以的邊、向外作等邊和等邊，連接、．問：線段和有什么數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論．8．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三點在一條直線上．若∠B=60°，求證：CE=AC+CD．9．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖所示，和都是等邊三角形，且在同一直線上，連結(jié)交于，連接交于，連結(jié)．求證：（1）；（2）；（3）是等邊三角形．10．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，若和都是等邊三角形，求的度數(shù)．11．（2020春·吉林通化·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，A、B、C在同一直線上，且△ABD，△BCE都是等邊三角形，AE交BD于點M，CD交BE于點N，MN∥AC，求證：（1）∠BDN=∠BAM；（2）△BMN是等邊三角形．12．（2022·四川自貢·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABD和△BCE都為等邊三角形，連接AE、CD．求證：AE＝DC．13．（2020秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，中，，且，當(dāng)把兩個三角形如圖①放置時，有．（不需證明）（1）當(dāng)把繞點旋轉(zhuǎn)到圖②③④的情況，其他條件不變，和還相等嗎？請在圖②③中選擇一種情況進(jìn)行證明；（2）若圖④中和交于點，連接，求證：平分．14．（2023春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；15．（2022秋·吉林·八年級校聯(lián)考期中）如圖，若和均為等腰直角三角形，，點A、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．16．（2021春·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是邊上一點（點與不重合），連結(jié)，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)交于點，連接．求證：．17．（2022秋·新疆克孜勒蘇·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．

重難點04全等三角形中“手拉手”模型1.識別幾何模型。2.利用“手拉手”模型解決問題【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；例1、如圖，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，點D為AB邊上的一點.若DE=13，BD=12，求線段AB的長.∵△ACE≌△BCD∴AE=BD,∠EAC=∠B=45°∵BD=12∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5∴AB=BD+AD=12+5=17【變式1】某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在研究三角形時，把兩個大小不同的等腰直角三角板按圖①所示放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請找出圖②中的全等三角形，并給予說明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；（2）試說明：DC與BE的位置關(guān)系．【分析】（1）利用SAS定理證明△BAE≌△CAD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACB＝45°，根據(jù)垂直的定義證明結(jié)論．【解答】解：（1）△BAE≌△CAD，理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS）；（2）DC⊥BE，理由如下：∵△BAC為等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵△BAE≌△CAD，∴∠CAD＝∠B＝45°，∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°，∴DC⊥BE．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連結(jié)AE,BD交于點O,AE與DC交于點0，AE與DC交于點M,BD與AC交于點N.解析:∵△ACB和△DCE都是等腰三角形∠ACB=∠DCE=90°∴AC=BC,DC=EC∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD∴∠BCD=∠ACE在△ACE和△BCD中AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD∴△ACE≌△BCD(SAS)∴AE=BD例2.已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與點B,點C重合）.以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE.如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：△ABD≌△ACE;直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立（不需要證明）；如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.解析：(1)∵△ABC和△ADE是等邊三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∵△ABD≌△ACE∴BD=CE∵BC=BD+CD∴BC=CE+CD（2）∵△ABC和△ADE是等邊三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∵BD=BC+CD∴CE=BC+CD【變式1】如圖，點C在線段AB上，△DAC和△DBE都是等邊三角形，求證：△DAB≌△DCE;DA∥EC.解析：（1）△DAC和△DBE都是等邊三角形.∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°.∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,（重點）即∠ADB=∠CDE在△DAB和△DCE中，DA=DC∠ADB=∠CDEDB=DE∴△DAB≌△DCE.（2）∵△DAB≌△DCE∴∠A=∠DCE=60°∵∠ADC=60°∴∠DCE=∠ADC∴DA∥EC.【變式2】如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求證：AC＝BD．（2）求∠APB的度數(shù)．【分析】（1）先∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB，OC＝OD得到∠AOC＝∠BOD，然后得證△AOC≌△BOD，從而得到AC＝BD；（2）先由△AOC≌△BOD得到∠OAC＝∠OBD，從而得到∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，然后由OA＝OB，∠AOB＝60°得到△AOB是等邊三角形，從而得到∠PAB+∠PBA＝120°，最后得到∠APB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∵∠OAC+∠BAC＝∠OAB，∠ABO+∠OBD＝∠ABP，∴∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠PAB+∠PBA＝120°，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣120°＝60°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握SAS定理判定三角形全等．例3、已知，在△ABC中，AB＝AC，點P平面內(nèi)一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP＝∠BAC，連接BQ、CP，⑴若點P在△ABC內(nèi)部，求證BQ＝CP；⑵若點P在△ABC外部，以上結(jié)論還成立嗎？解析：（1）∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋轉(zhuǎn)得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP（2）∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋轉(zhuǎn)得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP【變式】（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上的一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接CE，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖2，A是△BDC內(nèi)一點，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝6，線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AE，點D、E、B恰好共線，求△BDC的面積；（3）如圖3，在圖1的條件下，延長DE，AC交于點G，BF⊥AB交DE于點F，求證：FGAE．【分析】（1）如圖1，根據(jù)SAS證明三角形全等即可．（2）過點A作AE⊥AD交BD于E，連接CE．利用全等三角形的性質(zhì)證明CE＝BD，CE⊥BD即可．（3）過點D作DK⊥DC交FB的延長線于K．證明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再證明FG＝DEAE即可．【解答】（1）證明：如圖1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：如圖2，過點A作AE⊥AD交BD于E，連接CE．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE與△ABC都是等腰直角三角形，同法可證△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝6，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC?BD?CE6×6＝18．（3）證明：如圖3，過點D作DK⊥DC交FB的延長線于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DEAE，∴DF+EFAE，∴EG+EFAE，即FGAE．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．一．填空題（共4小題）1．（2020秋?工業(yè)園區(qū)月考）在△ABC中，∠ABC＝45°，AD、BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F，連接CF．下列結(jié)論：（1）∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝BD：CD，④若BF＝2EC，則△FDC的周長等于AB的長．正確的是①③④（填序號）．【分析】首先在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F，由此可以得到∠BAD＝45°，接著得到AD＝BD，又∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，所以可以證明△BDF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到FD＝CD，進(jìn)一步得到①；若AE＝EC，則由BE⊥AC，推出BA＝BC，顯然不可能，故②錯誤，根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可以得到③；若BF＝2EC，根據(jù)①可以得到E是AC的中點，然后可以推出EF是AC的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到④．【解答】解：∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一條公共邊，∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，∴③正確；∵∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC，∴FD＝CD，∴∠FCD＝∠CFD＝45°，∴①正確；若AE＝EC，則∵BE⊥AC，∴BA＝BC，顯然不可能，故②錯誤，若BF＝2EC，根據(jù)①得BF＝AC，∴AC＝2EC，即E為AC的中點，∴BE為線段AC的垂直平分線，∴AF＝CF，BA＝BC，∴AB＝BD+CD＝AD+CD＝AF+DF+CD＝CF+DF+CD，即△FDC周長等于AB的長，∴④正確．故答案為①③④【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，也利用了三角形的周長公式解題，綜合性比較強，對學(xué)生的能力要求比較高．2．（2022秋?通州區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°．P是BC邊上一點，CP＝CA，連接AP，以AP為邊在AP的右上方作等邊三角形APQ．若AB＝5，則點Q到邊AB的距離為2.5．【分析】過點Q作QD⊥AB，垂足為D，根據(jù)垂直定義可得∠ADQ＝90°，再利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠ABC＝30°，從而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得CP＝AC＝AB＝2.5，然后證明手拉手模型﹣旋轉(zhuǎn)型全等△ACP≌△ADQ，從而利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：過點Q作QD⊥AB，垂足為D，∴∠ADQ＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°，∵AB＝5，∴AC＝AB＝2.5，∵AC＝CP，∴AC＝CP＝2.5，∵△AQP是等邊三角形，∴AP＝AQ，∠QAP＝60°，∴∠QAP﹣∠PAB＝∠BAC﹣∠PAB，∴∠CAP＝∠DAQ，∵∠C＝∠ADQ＝90°，∴△ACP≌△ADQ（AAS），∴QD＝CP＝2.5，∴點Q到邊AB的距離為2.5，故答案為：2.5．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握手拉手模型﹣旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?濱湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是邊AB上一動點，連接CD，以CD為直角邊在CD左側(cè)作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，連接AE，則DE長度的最小值為；△ADE面積的最大值為．【分析】要求DE最小值，只需求出CD的最小值，過點C作CF⊥AB于點F，根據(jù)垂線短最短即可得出CF即為CD的最小值，然后用勾股定理求出DE的最小值；利用手拉手全等模型可得△ACE≌△BCD（SAS），從而得∠DAE＝90°，設(shè)AE＝x，則AD＝2﹣x，從而表示出△ADE面積，即可求解．【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝，∴CD取得最小值時，DE取得最小值，如圖，過點C作CF⊥AB于點F，此時CF即為CD的最小值，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴CF＝1，AB＝2，∴CD的最小值為1，∴DE的最小值為．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD，∴∠EAD＝90°，設(shè)BD＝x，則AE＝x，AD＝2﹣x，∴S△ADE＝＝，∴當(dāng)x＝1時，S△ADE的最大值為，故答案為，．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形，其中判斷出手拉手模型得全等是解題關(guān)鍵．4．（2021秋?常州期末）如圖，兩條互相垂直的直線m、n交于點O，一塊等腰直角三角尺的直角頂點A在直線m上，銳角頂點B在直線n上，D是斜邊BC的中點．已知OD＝，BC＝4，則S△AOB＝．【分析】利用等腰三角形的三線合一想到連接AD，根據(jù)已知可得∠ADB＝90°，AD＝DB＝BC＝2，因為OD＝，想到構(gòu)造手拉手﹣旋轉(zhuǎn)性全等，所以過點D作ED⊥DO，交直線n于點E，證明△DAO≌△DBE，可得DO＝DE＝，OA＝BE，然后在Rt△OAB中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：連接AD，過點D作ED⊥DO，交直線n于點E，∴∠EDO＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°，∴AB＝AC，∵D是斜邊BC的中點，∴∠ADB＝90°，AD＝＝DB＝BC＝2，∴AB＝＝＝2，∵∠ADB﹣∠BDO＝∠EDO﹣∠BDO，∴∠ADO＝∠BDE，∵m⊥n，∴∠AOB＝90°，∴∠DAO+∠DBO＝360°﹣∠ADB﹣∠AOB＝180°，∵∠DBO+∠DBE＝180°，∴∠DAO＝∠DBE，∴△DAO≌△DBE（ASA），∴DO＝DE＝，OA＝BE，∴OE＝＝＝，∴OB+BE＝，∴OB+OA＝，∴（OB+OA）2＝14，∴OA2+OB2+2OA?OB＝14，在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，∴OA2+OB2＝（2）2＝8，∴2OA?OB＝14﹣8＝6，∴OA?OB＝3，∴△AOB的面積＝OA?OB＝，故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．二．解答題（共13小題）5．（2022秋?宜興市月考）如圖，點E在CD上，BC與AE交于點F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求證：AE＝CD；（2）證明：∠1＝∠3．【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；（2）利用全等三角形對應(yīng)角相等得到一對角相等，再由對頂角相等及內(nèi)角和定理即可得證．【解答】（1）證明：∵∠1＝∠2，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）證明：由（1）知，△ABE≌△CBD，∴∠A＝∠C，又∵∠AFB＝∠CFE，∴∠1＝∠3．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（2021秋?丹陽市期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長AB到D，使得DB＝AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰Rt△CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．（1）猜想線段BE與AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝cm，則BE＝4cm，DE＝2cm．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD＝CE，CA＝CB，然后利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1＝∠2，而∠3＝∠4，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠EBD＝∠ECD＝90°；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BE，而DB＝AB＝2cm，所以BE＝4cm；在Rt△DBE中，利用勾股定理求出DE的長．【解答】解：（1）BE⊥AD且BE＝AD．理由如下：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝∠DCB+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；∴∠1＝∠BEC，而∠3＝∠4，∴∠EBD＝∠ECD＝90°，∴BE⊥AD且BE＝AD．（2）∵若AC＝BC＝cm，∴AB＝＝2（cm），∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵DB＝AB＝2cm，∴BE＝2×2＝4（cm），在Rt△DBE中，DE＝（cm）．故答案為4，2．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．7．（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若AE＝5，求CE的長．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)和全等三角形的判定解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝60°．∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，在△DAE與△BAC中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）；（2）∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵∠CAE＝60°．∴△ACE是等邊三角形，∴CE＝AE＝5．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)和全等三角形的判定解答．8．（2021秋?江陰市校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，點D為BC上一點（與點B不重合），過點C作∠ACE＝60°，且CE＝BD（點E與點A在射線BC同側(cè)），連接AD，ED．求證：AD＝DE．【分析】連接AE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，從而利用SAS可證△ABD≌△ACE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，從而可得∠DAE＝60°，進(jìn)而可得△ADE是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】證明：連接AE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，∵∠ACE＝60°，∴∠B＝∠ACE＝60°∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠CAE+∠DAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝DE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上的一點（不與點B、C重合），以AD為腰右側(cè)作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝90度．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①點D是在線段BC上移動時，如圖2，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．②點D是在射線CB上移動時，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試直接寫出結(jié)論．【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，得∠B＝∠ACE，即可證明；（2）①與（1）同理證明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，則∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°；②同理證明△ADB≌△AEC，得∠ABD＝∠ACE，由∠ABD＝∠BAC+∠ACB，則∠BAC＝∠BCE．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案為：90；（2）①α+β＝180°，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，∴α+β＝180°；②α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ADB與△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，∴α＝β．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，證明△ADB≌△AEC是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?徐州期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．將一個含45°角的直角三角尺DEF按圖1所示放置，使直角三角尺的直角頂點D恰好落在BC邊的中點處，將直角三角尺DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，設(shè)AB交DF于點N，AC交DE于點M，示意圖如圖2所示．（1）[證明推斷]求證：DN＝DM；小明給出的思路：若要證明DN＝DM，只需證明△BDN≌△ADM即可，請你根據(jù)小明的思路完成證明過程；（2）[延伸發(fā)現(xiàn)]連接AE，BF，如圖3所示，求證：AE＝BF；（3）[遷移應(yīng)用]延長EA交DF于點P，交BF于點Q．在圖3中完成如上作圖過程，猜想并證明AE和BF的位置關(guān)系．【分析】（1）D是BC的中點，則AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠DAC＝45°，再證明∠FDB＝∠ADE，得到△BDN≌△ADM（ASA），即可求解；（2）△DEF為等腰直角三角形，則DE＝DF，由（1）知：∠FDB＝∠EDA，BD＝AD，可以證明△FDB≌△EDA（SAS），即可求解；（3）由△FDB≌△EDA，得到∠BFD＝∠AED，進(jìn)而求解．【解答】證明：（1）如圖2，在Rt△ABC中，∵D是BC的中點，即BD是△ABC的中線，∴AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠DAC＝45°，∵∠FDB+∠FDA＝90°，∠FDA+∠ADE＝90°，∴∠FDB＝∠ADE，在△BDN和△ADM中，，∴△BDN≌△ADM（ASA），∴DN＝DM；（2）∵△DEF為等腰直角三角形，∴DE＝DF，由（1）知：∠FDB＝∠EDA，BD＝AD，在△BDF和△ADE中，，∴△FDB≌△EDA（SAS），∴AE＝BF；（3）作圖如下，AE和BF的位置關(guān)系為：相互垂直，理由如下：由（2）知△FDB≌△EDA，∴∠BFD＝∠AED，又∵∠FPQ＝∠EPD，∴∠FQP＝∠PDE＝90°，即AE⊥BF，故AE和BF的位置關(guān)系為相互垂直．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．11．（2022秋?東?？h期中）【問題呈現(xiàn)】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是斜邊AB上的一點，連接CD，試說明AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解決策略】小敏同學(xué)思考后是這樣做的：將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到對應(yīng)的△CBE，連接DE，如圖1經(jīng)過推理使問題得到解決．請回答：（1）△DBE的形狀是直角三角形，△DCE的形狀是等腰直角三角形；（2）直接寫出AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系是DB2+AD2＝2CD2；【方法感悟】在解決問題時，條件中若出現(xiàn)“等邊三角形”、“等腰直角三角形”字樣，可以考慮旋轉(zhuǎn)某個三角形，把分散的條件或結(jié)論集中到一起，從而使問題得到解決．（3）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BCD＝45°，連接對角線AC、BD，∠ADB＝90°，AD＝BD，若CB＝2，CD＝4，求CA的長；（4）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，若BC＝5，CD＝2，求A、C兩點之間的最大距離．【分析】【解決策略】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△DCE是等腰直角三角形，證明△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠CBE＝45°，則可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；【方法感悟】（3）過點D作DE⊥DC，交CB的延長線于E，連接AE，證出∠AEC＝∠AED+∠DEC＝90°，由勾股定理可得出答案；（4）將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到對應(yīng)的△ABE，連接CE，則CD＝BE＝2，證出AC＝CE，求出CE的最大值可得出答案．【解答】【解決策略】解：（1）∵將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到對應(yīng)的△CBE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴△DCE是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°＝∠ACD+∠DCB，∴∠ACD＝∠ECB，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠A＝∠CBE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝45°+45°＝90°，∴△DBE是直角三角形，故答案為：直角三角形，等腰直角三角形；（2）∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵∠DBE＝90°，∴DB2+BE2＝DE2，∵∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝2CD2＝DE2，∴DB2+AD2＝2CD2；故答案為：DB2+AD2＝2CD2；【方法感悟】（3）過點D作DE⊥DC，交CB的延長線于E，連接AE，如圖2，∵∠BCD＝45°，∴△DCE是直角三角形，由（1）可知△ADE≌△BDC，∴∠AED＝∠BCD＝45°，AE＝BC，∵∠DEC＝45°，∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝90°，∵DC＝4，BC＝2，∴CE＝DC＝4，AE＝2，∴AC＝＝＝6；（4）將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到對應(yīng)的△ABE，連接CE，如圖3，∴CD＝BE＝2，∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等邊三角形，∴AC＝CE，∵CE≤BC+BE＝5+2＝7，∴當(dāng)C，B，E三點共線時，CE最大，∴A、C兩點之間的最大距離是7．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?淮安期末）如圖1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α．（1）AD、BE相交于點M．①求證：AD＝BE；②用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)；（2）如圖2，點P、Q分別是AD、BE的中點，連接CP、CQ，判斷△CPQ的形狀，并加以證明；（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝，AC＝3，以AB為直角邊，B為直角頂點作等腰Rt△ABD，則CD＝5（直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得BE＝AD；②由三角形內(nèi)角和定理可求解；（2）由“SAS”可證△ACP≌△BCQ，可得CP＝CQ，可得結(jié)論；（3）將△BCD繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，連接BE，CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE＝BC＝，∠CBE＝∠ABD＝90°，AE＝CD，可得出△BCE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）①證明：如圖1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②解：如圖1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；（2）△CPQ為等腰三角形，理由如下：如圖2，由（1）可得，BE＝AD，∵AD，BE的中點分別為點P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP＝CQ，∴△CPQ為等腰三角形．（3）將△BCD繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，連接BE，CE，則BE＝BC＝，∠CBE＝∠ABD＝90°，AE＝CD，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝45°，CE＝BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝＝5，∴CD＝AE＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等，運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結(jié)論：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正確的有①②③（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用對頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC＝60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，進(jìn)而得出∠AOE＝60°，再判斷出BF＜CF，進(jìn)而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD＝BP，∠DBP＝60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，①正確，∠ADB＝∠AEC，記AD與CE的交點為G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正確，在OB上取一點F，使OF＝OC，連接CF，∴△OCF是等邊三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正確，連接AF，要使OC＝OE，則有OC＝CE，∵BD＝CE，∴CF＝OF＝BD，∴OF＝BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF＝∠OFC＝60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為：①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP＝DB，∵∠BDC＝60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD＝BP，∠DBP＝60°，∵∠ABC＝60°＝∠DBP，∴∠ABD＝∠CBP，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP＝∠A，∵∠BCD+∠BCP＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．14．（2021秋?沭陽縣月考）在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝90°．（2）如圖2，設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．當(dāng)點D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）如圖2，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC＝60°，D點為△ABC中BC邊上的一個動點（D與B、C均不重合），當(dāng)點D運動到什么位置時，△DCE的周長最??？請?zhí)角簏cD的位置，并求出此時∠EDC的度數(shù)，直接寫出你的結(jié)論．【分析】（1）由等腰直角△ABC、△ADE易證△ABD≌△ACD，即可得出∠ECA＝∠B＝45°，進(jìn)而求出∠ECD＝90°，（2）證明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ACE＝∠B，則可得出結(jié)論；（3）由全等三角形的性質(zhì)可得出BD＝CE，可推出CD+EC＝CD+BD＝BC，由△ECD的周長＝DE+CD+CE＝DE+BC，BC為定值，推出DE定值最小時，△DCE得到周長最小，根據(jù)此線段最短即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°．故答案為：90．（2）α+β＝180°．理由如下：如圖2中，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，β＝∠ABC+∠ACB，∴α+β＝180°．（3）∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∴CD+EC＝CD+BD＝BC，∵△ECD的周長＝DE+CD+CE＝DE+BC，∵BC為定值，∴DE定值最小時，△DCE得到周長最小，∵DE＝AD，∴AD⊥BC時，AD定值最小，此時BD＝CD＝CE，∴∠EDC＝（180°﹣120°）＝30°，∴當(dāng)點D運動到BC的中點時，△DEC是周長最小，此時∠EDC＝30°．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．15．（2022秋?江陰市期中）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，則有△BAD≌△CAE．（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，則∠BOD＝60°．（3）如圖3，在兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，交于點P，請判斷BD和CE的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE；（2）由“SAS”可證△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，由外角的性質(zhì)可求解；（3）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，由余角的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案為：△BAD，△CAE；（2）∵△ABD和△ACE是等邊三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC＝∠ABE，∵∠ADC+∠BDC+∠ABD+∠DAB＝180°，∠ABE+∠BDC+∠ABD+∠DOB＝180°，∴∠DAB＝∠BOD＝60°，故答案為：60；（3）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE，∴∠BPC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE．【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?阜寧縣期中）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點B，D，E在同一直線上，連接CE，容易發(fā)現(xiàn)：①∠BEC的度數(shù)為60°；②線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD＝CE；【類比探究】（2）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接CE，試探究∠BEC的度數(shù)及線段BE、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝7，AC＝BC，求OC2的值．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝60°，則∠BAD＝∠CAE，再證△BAD≌△CAE（SAS），即可解決問題；（2）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝135°，即可求解；（3）過點C作EF∥OB，交AO的延長線于點F，過點B作BE⊥EF于點E，由“AAS”證△ACF≌△CBE，得BE＝CF，AF＝CE，設(shè)OF＝x，再由AF＝CE列方程得x的值，然后由勾股定理可求解．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°，故答案為：60°；②由①可知，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，故答案為：BD＝CE；（2）∠BEC＝90°，BE＝CE+DE，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°，∵BE＝BD+DE，∴BE＝CE+DE；（3）如圖3，過點C作EF∥OB，交AO的延長線于點F，過點B作BE⊥EF于點E，則∠BOF＝180°﹣∠AOB＝90°，∠BEC＝∠CFA＝90°，∴四邊形BOFE是矩形，∴OB＝EF＝7，BE＝OF，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∵∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠BCE，∵∠F＝∠E＝90°，AC＝BC，∴△ACF≌△CBE（AAS），∴CF＝BE，AF＝CE，設(shè)OF＝x，則CF＝BE＝OF＝x，AF＝3+x，CE＝7﹣x，∴3+x＝7﹣x，∴x＝2，∴OF＝CF＝2，在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC2＝OF2+CF2＝22+22＝8，故答案為：8．【點評】本題是三角形的綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題綜合性強，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．17．（2021秋?興化市期末）如圖1，△ABC與△ADE是共頂點A的兩個等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接CE、BD．（1）求證：CE＝BD；（2）如圖2，固定△ABC，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，若AD＝25，BC＝20，S△ABC＝240，當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到線段BC上時，求CE的長；（3）如圖3，設(shè)F為BD、CE的交點，G、H分別為BD、CE的中點，∠BFC＝α，∠AGH＝β，試探究α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再利用SAS可證明△BAD≌△CAE，得CE＝BD；（2）過點A作AP⊥BC于P，連接CE，根據(jù)BC＝20，S△ABC＝240，得AP＝24，可知點D在CP或BP上，利用勾股定理解決問題；（3）連接AH，由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），得∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，再利用SAS證明△ADG≌△AEH，得∠AHE＝∠AGD＝∠AGH+∠FGH，AG＝AH，從而解決問題．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∠DAE＝∠CAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD；（2）解：如圖，過點A作AP⊥BC于P，連接CE，由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∵BC＝20，S△ABC＝240，∴AP＝24，當(dāng)點D在CP上時，在Rt△APD中，PD2＝AD2﹣AP2＝49，∴PD＝7，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴P為BC的中點，∴BP＝CP，∵BC＝20，∴BP＝10，∴BD＝17，∴CE＝BD＝17，當(dāng)點D在BP上時，同理可知CE＝BD＝10﹣7＝3，綜上所述：CE＝3或17；（3）解：α+2β＝180°，理由如下：如圖，連接AH，由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，∵G，H分別為BD，CE的中點，∴DG＝EH，∵∠ADB＝∠AEC，DG＝EH，AD＝AE，∴△ADG≌△AEH（SAS），∴∠AHE＝∠AGD＝∠AGH+∠FGH，AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG，∵∠FHG+∠AHG+∠AHE＝180°，∴∠FHG+∠AGH+∠AGH+∠FGH＝180°，∵∠BFC＝∠FGH+∠FHG，∠BFC＝α，∠AGH＝β，∴α+2β＝180°．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟悉基本模型證明△BAD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結(jié)，若，，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中可直接運用勾股定理求出BC，然后結(jié)合“手拉手”模型證得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，從而求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，∴由勾股定理得：BC=4，∵和均為等邊三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，即：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴DE=BC=4，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵．二、填空題2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，點B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號）【答案】①②④【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷①，利用，可得利用三角形的外角的性質(zhì)可得從而可判斷③，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷②，由可得：，結(jié)合可得，從而可判斷④．【詳解】解：如圖，記與的交點為，∵與都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∵點B、C、E在同一條直線上，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°在和中，∴，所以結(jié)論①正確；∵，∴∠BDC=∠CEA，∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180°∠BCD=60°，所以③錯誤；在和中，，∴，∴所以②正確；，∵CG=CF，∠ACD=60°，∴∠GFC=60，又∵∠DCE=60°，∴∠GFC=∠DCE，∴GF∥BC，所以④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是找到判定三角形全等的條件．三、解答題3．（2022秋·山東聊城·八年級?？计谀┤鐖D，已知，，．求證：．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)題意證明即可求解．【詳解】證明：∵∴，即：在和中∴∴【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定方法．4．（2022春·山東濟南·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為任意三角形，以邊、為邊分別向外作等邊三角形和等邊三角形，連接、并且相交于點．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS推出△DAC≌△BAE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可．【詳解】證明：（1）∵以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD=BE；（2）∵△DAC≌△BAE，∴∠BEA=∠ACD，∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC=∠BEA+∠ACE+∠PEC=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△DAC≌△BAE．5．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，點C是線段AB上任意一點（點C與點A，B不重合），分別以AC，BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N．連接MN．證明：（1）△ACE≌△DCB；（2）△ACM≌△DCN；（3）MN∥AB．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，得出∠DCB＝∠ACE，由SAS即可得出△ACE≌△DCB；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠EAC＝∠BDC，再證出∠ACD＝∠DCE，由ASA證明△ACM≌△DCN即可；（3）由全等三角形的性質(zhì)得出CM＝CN，證出△MCN是等邊三角形，得出∠MNC＝∠NCB＝60°，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∠DCB＝∠ACE，在△ACE與△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）由（1）得：△ACE≌△DCB，∴∠EAC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠DCE，在△ACM與△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA）．（3）由（2）得：△ACM≌△DCN，∴CM＝CN，又∵∠MCN＝180°?60°?60°＝60°，∴△MCN是等邊三角形，∴∠MNC＝60°＝∠NCB，∴MN∥AB．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一條直線上，連接BE．（1）求證：AD=BE；（2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）8【分析】（1）直接證明，即可得出結(jié)論；（2）由（1）可進(jìn)一步推出為直角三角形，且，從而由求解即可．【詳解】（1）△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，,在與中，，；（2）是等腰直角三角形，，由（1）可知，，,，，則在中，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，及含角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“手拉手”模型證明全等，并推導(dǎo)出直角三角形是解題關(guān)鍵．7．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，以的邊、向外作等邊和等邊，連接、．問：線段和有什么數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論．【答案】，理由見解析．【分析】由和都是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到，，，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，再用證明和全等，最后利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證．【詳解】解：，理由如下：是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即，在和中，≌，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出夾角相等是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三點在一條直線上．若∠B=60°，求證：CE=AC+CD．【答案】證明見解析【分析】利用AAS證出△BAD≌△CAE，從而得出AB=AC，CE=BD=BC＋CD，根據(jù)等邊三角形的判定定理可證△ABC為等邊三角形，從而得出BC=AC，利用等量代換即可證出結(jié)論．【詳解】證明：∵∠1=∠2∴∠1＋∠CAD=∠2＋∠CAD∴∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE∴AB=AC，CE=BD=BC＋CD∵∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形∴BC=AC∴CE=AC+CD．【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)和等邊三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖