清單05四邊形（16個(gè)考點(diǎn)梳理+22題型解讀）清單01平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線(xiàn)：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分．（3）平行線(xiàn)間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．清單02平行四邊形的判定（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．清單03平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線(xiàn)互相平分及它的判定，是我們證明直線(xiàn)的平行、線(xiàn)段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線(xiàn)平行和兩線(xiàn)段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線(xiàn)、線(xiàn)段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙希ㄟ^(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．運(yùn)用定義，也可以判定某個(gè)圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時(shí)用定義判定比用其他判定定理還簡(jiǎn)單．凡是可以用平行四邊形知識(shí)證明的問(wèn)題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問(wèn)題．清單04三角形中位線(xiàn)定理（1）三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語(yǔ)言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE＝BC．清單05矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線(xiàn)：矩形的對(duì)角線(xiàn)相等；⑤矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)所在的直線(xiàn)；對(duì)稱(chēng)中心是兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半．清單06矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對(duì)角線(xiàn)有關(guān)，通常證這個(gè)四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)判定矩形．清單07矩形的判定與性質(zhì)（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱(chēng)圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)角線(xiàn)相等．同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．在處理許多幾何問(wèn)題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡(jiǎn)捷地解決與角、線(xiàn)段等有關(guān)的問(wèn)題．（2）下面的結(jié)論對(duì)于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等．清單08菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是兩條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)．（2）菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度）清單09菱形的判定①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．幾何語(yǔ)言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；③對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語(yǔ)言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形清單10菱形的判定與性質(zhì)（1）依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形（對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形，對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．清單11正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線(xiàn)將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸．清單12正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．清單13正方形的判定與性質(zhì)（1）正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)．（2）正方形的判定正方形的判定沒(méi)有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．清單14多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對(duì)角線(xiàn)：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn)．（3）正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫(huà)多邊形任何一邊所在的直線(xiàn)整個(gè)多邊形都在此直線(xiàn)的同一側(cè)．②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說(shuō)的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心．常見(jiàn)圖形的重心（1）線(xiàn)段：中點(diǎn)（2）平行四邊形：對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)（3）三角形：三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)（4）任意多邊形．清單15多邊形的對(duì)角線(xiàn)（1）多邊形的對(duì)角線(xiàn)：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn)．（2）n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對(duì)角線(xiàn)．從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對(duì)角線(xiàn)的總條數(shù)為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數(shù)）（3）對(duì)多邊形對(duì)角線(xiàn)條數(shù)公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對(duì)角線(xiàn)，故可連出（n﹣3）條．共有n個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為n（n﹣3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求對(duì)角線(xiàn)條數(shù)時(shí)，直接代入邊數(shù)n的值計(jì)算，而計(jì)算邊數(shù)時(shí)，需利用方程思想，解方程求n．清單16多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對(duì)角線(xiàn)，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，這（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問(wèn)題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．【考點(diǎn)題型一】利用平行四邊形的性質(zhì)求解（）【例1】．（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期中）如圖，在中，若，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）如圖，平移圖形，與圖形可以拼成一個(gè)平行四邊形，則圖中．【變式1-2】（22-23八年級(jí)下·河北滄州·期末）如圖，已知平行四邊形，軸，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn)P是平行四邊形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)________；點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)點(diǎn)G是與y軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在上，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q落在直線(xiàn)上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)在折線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，它們交于點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在坐標(biāo)軸上，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)題型二】利用平行四邊形的性質(zhì)證明（）【例2】．（23-24八年級(jí)下·河北衡水·期中）如圖，在平行四邊形中，，，，則與間的距離為（

）A．2 B．1 C． D．【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，點(diǎn)是平行四邊形對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若垂直平分，，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型三】證明四邊形是平行四邊形（）【例3】．（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，在四邊形中作標(biāo)注（角的標(biāo)記中弧線(xiàn)數(shù)量相同的表示角相等），下列判斷正確的是（

）

A．只有圖1中的四邊形一定是平行四邊形B．只有圖2中的四邊形一定是平行四邊形C．圖1、圖2中的四邊形都一定是平行四邊形D．圖1、圖2中的四邊形都一定不是平行四邊形【變式3-1】（23-24八年級(jí)下·河北衡水·期中）若在四邊形中，的長(zhǎng)度之比是，則四邊形是平行四邊形，判定的依據(jù)是．【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·河北邯鄲·期末）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)O，過(guò)A，C兩點(diǎn)作，，垂足分別為M，N，且分別交，于點(diǎn)G，H．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，，求的長(zhǎng)及的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型四】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解（）【例4】．（22-23八年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，在中，，，，將沿方向向右平移得到．若平移距離是3，則四邊形的面積為（）

A．12 B．24 C．4 D．8【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，是的邊上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，若，則陰影部分的面積為．【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·河北廊坊·期末）如圖，在中，G，H分別是的三等分點(diǎn)，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型五】利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明（）【例5】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)且分別交于點(diǎn)，在上找點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)下方），使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，在甲、乙、丙三個(gè)方案中，正確的方案是（

）A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙【變式5-1】（八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期末）將兩塊相同的含有30°角的三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，則四邊形ABCD為平行四邊形，請(qǐng)你寫(xiě)出判斷的依據(jù)．【變式5-2】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）在探索命題“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”時(shí)，嘉琪按照以下步驟用尺規(guī)作出了如圖所示的四邊形．步驟如下：已知直線(xiàn)l及線(xiàn)段，點(diǎn)B在直線(xiàn)l上，點(diǎn)A在直線(xiàn)l外．如圖，①在直線(xiàn)l上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)B重合），連接；②以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（與點(diǎn)C位于直線(xiàn)異側(cè)）；③連接交于點(diǎn)O，連接．(1)根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，寫(xiě)出已知和求證．（完成填空）已知：，．求證：四邊形是．(2)請(qǐng)你替嘉琪寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．(3)在下列結(jié)論①；②；③中，一定正確的結(jié)論為．（填序號(hào)）【考點(diǎn)題型六】與三角形中位線(xiàn)有關(guān)的求解問(wèn)題（）【例6】．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)．若，的周長(zhǎng)是，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式6-1】（24-25八年級(jí)下·河北保定·期中）在中，，分別為，的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)是．【變式6-2】（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期中）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別是邊，，的中點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型七】與三角形中位線(xiàn)有關(guān)的證明（）【例7】（22-23八年級(jí)下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是邊，，的中點(diǎn)，若要使，下列添加條件正確的是（

）

A． B． C． D．【變式7-1】.（八年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD=BC，∠EPF=147°，則∠PFE的度數(shù)是．【變式7-2】.（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖所示，在中，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，連接，點(diǎn)G、F分別為的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形為平行四邊形(2)若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)題型八】三角形中位線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用（）【例8】（23-24八年級(jí)下·河北·期中）如圖，為了測(cè)量池塘邊A，B兩地之間的距離，在的同側(cè)取一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，．連接DE，若測(cè)得m，則A，B之間的距離是（

）A．7m B．11m C．14m D．13m【變式8-1】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，某小區(qū)要在一塊空地上圍一個(gè)四邊形花壇，，分別是邊，的中點(diǎn)，且米，則的長(zhǎng)為米．【變式8-2】（八年級(jí)下·河北張家口·期末）如圖，點(diǎn)E在□ABCD外，連接BE，DE，延長(zhǎng)AC交DE于F，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．求證：AFBE；【考點(diǎn)題型九】矩形性質(zhì)理解（）【例9】（23-24八年級(jí)下·河北張家口·期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．若，則是等邊三角形 D．【變式9-1】（23-24八年級(jí)下·河北張家口·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線(xiàn)軸，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)l上，將矩形繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度，得到矩形，此時(shí)直線(xiàn)、分別與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)P、Q．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在l上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(3)如圖3，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在l上時(shí)，①求的長(zhǎng)度；②求．【考點(diǎn)題型十】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)（）【例10】（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期中）如圖，矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)、相交于點(diǎn)，，則矩形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)是（

）A．2 B． C．4 D．【變式10-1】（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，矩形中，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，，，則．【變式10-2】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，已知矩形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)分別為線(xiàn)段的中點(diǎn)．(1)若，，求的周長(zhǎng)；(2)若為邊的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形．【考點(diǎn)題型十一】矩形與折疊問(wèn)題（）【例11】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）如果將長(zhǎng)為，寬為的矩形折疊一次，則這條折痕的長(zhǎng)不可能是（）A． B． C． D．【變式11-1】（23-24八年級(jí)下·河北承德·期中）實(shí)驗(yàn)探究：如圖所示，對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)得到線(xiàn)段，．請(qǐng)你觀察如圖，猜想等于．【變式11-2】（23-24八年級(jí)下·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方形，，，Q為射線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻折至的位置（點(diǎn)B落在點(diǎn)處）．(1)如圖1，連接，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，與交于點(diǎn)E，求重疊部分（陰影）的面積；(3)當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型十二】證明四邊形是矩形（）【例12】（23-24八年級(jí)下·河北張家口·期中）如圖，在中，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊上，，連接．則四邊形一定是（

）A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．無(wú)法確定【變式12-1】（23-24八年級(jí)下·河北邯鄲·期末）如圖，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．（1）四邊形的形狀是．（2）線(xiàn)段的最小值為．【變式12-2】（24-25八年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，在四邊形中，，，，，若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線(xiàn)段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)取何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？(2)當(dāng)取何值時(shí)，四邊形為矩形？【考點(diǎn)題型十三】利用菱形的性質(zhì)求角度（）【例13】（23-24八年級(jí)下·河北唐山·期末）如圖，在菱形中，M，N分別在，上，且，與交于點(diǎn)O，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式13-1】（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為．

【變式13-2】（24-25八年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，在菱形中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【考點(diǎn)題型十四】利用菱形的性質(zhì)求面積（）【例14】（24-25八年級(jí)下·河北保定·期中）在菱形中，，，則菱形的面積是（

）A． B． C． D．【變式14-1】（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期中）菱形的對(duì)角線(xiàn)相交于O，若，則菱形的面積=．【變式14-2】（23-24八年級(jí)下·河北廊坊·期中）如圖，一張矩形硬紙片寬，長(zhǎng)，現(xiàn)將沿折疊（點(diǎn)N在邊上），點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在邊上，過(guò)點(diǎn)F作，交于點(diǎn)G，連接．

(1)下列說(shuō)法正確的是（

）A．四邊形是非特殊四邊形

B．四邊形是非特殊平行四邊形C．四邊形是菱形

D．四邊形是長(zhǎng)方形(2)試證明你在（1）中所選的結(jié)論；(3)求四邊形的面積．【考點(diǎn)題型十五】利用菱形的性質(zhì)證明（）【例15】（23-24八年級(jí)下·河北滄州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．鄰邊相等 B．對(duì)邊相等C．對(duì)角相等 D．是中心對(duì)稱(chēng)圖形【變式15-1】（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期中）在手工課上老師讓大家制作菱形風(fēng)箏．如圖，嘉嘉制作的菱形風(fēng)箏框架中，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，且，現(xiàn)需連接、進(jìn)行加固．(1)請(qǐng)你幫忙證明：；(2)若用于固定的材料和長(zhǎng)度均為，則這個(gè)菱形風(fēng)箏框架的邊長(zhǎng)是_________．【變式15-2】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其他三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn)．(1)判斷：如圖①，一個(gè)內(nèi)角為的菱形等距四邊形．（填“是”或“不是”）并說(shuō)明為什么？(2)如圖②，在的網(wǎng)格圖（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為）中有兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诮o出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出兩個(gè)格點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是以點(diǎn)為等距點(diǎn)的“等距四邊形”，畫(huà)出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并求出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型十六】根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線(xiàn)段長(zhǎng)（）【例16】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）如圖，矩形紙片，，，點(diǎn)M、N分別在矩形的邊上，將矩形紙片沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接，交于點(diǎn)Q，連接．給出下列結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)G落在矩形外時(shí)，；②四邊形是菱形；③點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，；④的面積S的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④【變式16-1】（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，在平行四邊形中，以點(diǎn)A為圓心長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)F，分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．【變式16-2】（23-24八年級(jí)下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，平分．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求證：；(3)若，求點(diǎn)A到邊的距離．【考點(diǎn)題型十七】正方形性質(zhì)理解（）【例17】（22-23八年級(jí)下·河北保定·期中）將一正方形分割成個(gè)小正方形，則在下列數(shù)據(jù)中，不可能取的數(shù)是（

）A．4 B．5 C．9 D．16【變式17-1】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）若直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則；（2）若直線(xiàn)將正方形分成面積相等的兩部分，則．【變式17-2】（23-24八年級(jí)下·河北秦皇島·期中）如圖①，在正方形中，點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)按箭頭方向在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后停止，的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．（規(guī)定：點(diǎn)在點(diǎn)、時(shí)，）(1)______，當(dāng)時(shí)，______；(2)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段______上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值保持不變；(3)求當(dāng)及時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；(4)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，的值等于？【考點(diǎn)題型十八】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明（）【例18】（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期中）如圖將正方形B的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形A的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)重合放置，已知正方形A的邊長(zhǎng)為4，正方形B的邊長(zhǎng)為3，則陰影部分面積是（

）A．3 B． C．4 D．8【變式18-1】（22-23八年級(jí)下·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)．則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【變式18-2】（24-25八年級(jí)下·河北保定·期中）綜合與探究如圖，在正方形中，點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）在對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)上，連接．過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上時(shí)，求證：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)若正方形的邊長(zhǎng)為5，，直接寫(xiě)出由，，，四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積．【考點(diǎn)題型十九】多邊形對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)問(wèn)題（）【例19】（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期中）琪琪在操作課上將三角形剪掉一個(gè)角后得到四邊形，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）

A．變成四邊形后對(duì)角線(xiàn)增加了兩條B．變成四邊形后內(nèi)角和增加了C．外角和沒(méi)有發(fā)生變化D．若剪掉的角的度數(shù)是，則【變式19-1】（23-24八年級(jí)上·河北保定·期中）若從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)出4條對(duì)角線(xiàn)，則n的值是．【變式19-2】．（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）已知一個(gè)邊形的每一個(gè)外角都等于．(1)該邊形______________是正邊形（填“一定”