第05講：空間立體幾何高頻考點(diǎn)突破【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間幾何體結(jié)構(gòu)（1）多面體多面體定義圖形及表示相關(guān)概念特殊情形棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐記作：棱錐S－ABCD底面(底)：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各個(gè)三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái)記作：棱臺(tái)ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O′O圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐SO圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)圓臺(tái)也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺(tái)記作圓臺(tái)O′O球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為球O考點(diǎn)二：空間幾何體的直觀圖1、用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟2、斜二測(cè)畫法的步驟：①平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；②平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x，z軸的線長(zhǎng)度不變3、原圖與直觀圖的關(guān)系：S直=S原；S原=S直考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和（2）圓柱的表面積 （3）圓錐的表面積（4）圓臺(tái)的表面積 （5）球的表面積2、空間幾何體的體積（1）柱體的體積 （2）錐體的體積（3）臺(tái)體的體積 （4）球體的體積3、球的組合體（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).（2）球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)（a）.（3）球與正四面體的組合體：棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為.考點(diǎn)四：空間直線、平面的平行1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b考點(diǎn)五．直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角．(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α【題型梳理】題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)1．（2023春·福建南平·高一校考期末）下列命題中正確的是（

）A．正方形的直觀圖是正方形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)2．（2023春·四川宜賓·高一宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┫铝忻}中，正確的是()A．經(jīng)過正方體任意兩條面對(duì)角線，有且只有一個(gè)平面B．經(jīng)過正方體任意兩條體對(duì)角線，有且只有一個(gè)平面C．經(jīng)過正方體任意兩條棱，有且只有一個(gè)平面D．經(jīng)過正方體任意一條體對(duì)角線與任意一條面對(duì)角線，有且只有一個(gè)平面3．（2023春·黑龍江大慶·高一鐵人中學(xué)校考期中）給出下列說法：①有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱④一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊其中正確說法的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．題型二：直觀圖4．（2023春·四川成都·高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，一個(gè)水平放置的平面圖形OABC的斜二測(cè)直觀圖是平行四邊形，且，，，則平面圖形OABC的面積為（

）

A．16 B．8 C．4 D．25．（2023春·云南昆明·高一昆明一中?？计谥校┮阎且黄矫鎴D形的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（

）

A． B．1 C． D．6．（2023春·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）如圖，水平放置的的斜二測(cè)直觀圖為，已知，則的周長(zhǎng)為（

）

A． B．C． D．題型三：空間幾何體的表面積和體積7．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┩勇萜鹪从谖覈?guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．8．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考期末）三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上.棱錐的各棱長(zhǎng)為：，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．9．（2023春·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？计谀靶疗丈⊿impson）公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積的4倍、下底面的面積之和乘以高h(yuǎn)的六分之一，即.我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體稱為擬柱體.在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面.中國(guó)古代名詞“芻童”（原來是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某“芻童”尺寸如圖所示，且體積為，則它的高為（

）

A． B． C． D．4題型四：內(nèi)接球和外接球表面積和體積10．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．11．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，恰好構(gòu)成三棱錐，若，，且，，，，則該鞠的表面積為（

）A． B． C． D．12．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考期末）已知三棱錐中，，，三點(diǎn)在以為球心的球面上，若，，且三棱錐的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．題型五：點(diǎn)線面的位置關(guān)系13．（2023春·江蘇連云港·高一校考期末）下列表述中正確的是（

）A．若直線平面，直線，則B．若直線平面，直線，且，則C．若平面內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面的距離相等，則D．若平面滿足，，，則14．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，，與相交，則15．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎本€、，平面、，給出下列命題：①若，，且，則②若，，則③若，，且，則④若，，且，則其中正確的命題是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④題型六：線面的平行和性質(zhì)16．（2023春·湖南邵陽(yáng)·高一邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面是的中點(diǎn).

(1)證明：面(2)證明：平面平面；(3)求三棱錐的體積.17．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┤鐖D：在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.18．（2023春·四川宜賓·高一?？计谀┤鐖D，四棱錐中，底面，底面為菱形，點(diǎn)F為側(cè)棱上一點(diǎn)．(1)若，求證：平面；(2)若，求證：平面平面．題型七：線面的垂直和性質(zhì)19．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.20．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值．21．（2023春·福建南平·高一校考期末）如圖所示，已知在三棱錐中，，M為的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，且為正三角形．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）若，求三棱錐的體積．題型八：距離和線面角平面角問題22．（2023春·江蘇南通·高一?？计谀┤鐖D，是圓的直徑，是圓上異于、一點(diǎn)，直線平面，，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的正切值.23．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知邊長(zhǎng)為6的菱形，，把沿著翻折至的位置，構(gòu)成三棱錐，且，，.

(1)證明：；(2)求二面角的大小；(3)求與平面所成角的正弦值.24．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于點(diǎn)O．(1)求證：MN∥平面PCD；(2)二面角B－PC－D的平面角為θ，若．①求PA與底面ABCD所成角的大小；②求點(diǎn)N到平面CDP的距離．【專題突破】一、單選題25．（2023春·江蘇無錫·高一輔仁高中?？计谀┧睦馀_(tái)中，其上、下底面均為正方形，若，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則該棱臺(tái)的體積為（）A．224 B．448 C． D．14726．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┮阎獔A錐PO，其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長(zhǎng)為6m，頂角為的等腰三角形，該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．27．（2023春·湖南邵陽(yáng)·高一邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？计谀┰凇毒耪滤阈g(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱為“芻童”．已知棱臺(tái)是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中，，則該“芻童”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．28．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)均為的直三棱柱中，是的中點(diǎn)，過、、三點(diǎn)的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點(diǎn)所在部分的體積為（

）

A． B． C． D．29．（2023春·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)校考期末）已知，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則30．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┮阎莾蓷l不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則31．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面四邊形ABCD中，，為正三角形，以AC為折痕將折起，使D點(diǎn)達(dá)到P點(diǎn)位置，且二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值，且最大值為時(shí)，三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．32．（2023春·福建南平·高一期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為（

）

A． B． C． D．33．（2023春·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）如圖是正方體的平面展開圖．關(guān)于這個(gè)正方體，有以下判斷：①與所成的角為②∥平面③④平面∥平面其中正確判斷的序號(hào)是（

）．A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④二、多選題34．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┮阎獔A錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為35．（2023春·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的是（

）

A．該圓臺(tái)軸截面面積為B．該圓臺(tái)的體積為C．該圓臺(tái)的表面積為D．沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為36．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列判斷中正確的是（

）

A．平面平面B．C．D．異面直線與所成角的取值范圍是37．（2023春·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），平面．下列說法正確的有（

）A．異面直線AM與可能垂直B．直線BC與平面可能垂直C．AB與平面所成角的正弦值的范圍為D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長(zhǎng)為三、填空題38．（2023春·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知圓錐的母線長(zhǎng)為1，底面半徑為r，若圓錐的側(cè)面展開圖的面積為扇形所在圓的面積的，則＝____________．39．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)校考期末）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為______．40．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽(yáng)六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn).在中國(guó)歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達(dá)意.一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測(cè)量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個(gè)同心圓上的?。ㄩL(zhǎng)度單位為cm），側(cè)邊兩條線段的延長(zhǎng)線交于同心圓的圓心，且圓心角為.若某空間幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為______.

41．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)校考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)A到平面距離是______．

42．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┮阎鐖D（1）