高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，則集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因?yàn)榧?，，所?故選：D.2.命題“所有的素?cái)?shù)都不能被2整除”的否定為（）A.所有的素?cái)?shù)都能被2整除 B.所有的合數(shù)都不能被2整除C.存在一個(gè)素?cái)?shù)能被2整除 D.存在一個(gè)素?cái)?shù)不能被2整除【答案】C【解析】命題“所有的素?cái)?shù)都不能被2整除”的否定為：存在一個(gè)素?cái)?shù)能被2整除.故選：C.3.已知，則（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，故.故選：B.4.若扇形的圓心角為，弧長為2，則該扇形的面積為（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】由題意知，扇形的半徑為，所以扇形的面積為.故選：C.5.已知函數(shù)則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的充分條件，反之，若，即或，解得或，所以“”是“”的不必要條件，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知集合，則下列是從集合到集合的函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A：定義域?yàn)椋粷M足函數(shù)的特性：任意性，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：值域?yàn)?，?dāng)取集合A中元素0時(shí)，集合B中沒有元素與之對應(yīng)，不滿足任意性；故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，當(dāng)取集合A中元素為負(fù)值時(shí)，集合B中沒有元素與之對應(yīng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)D正確.故選：D.7.已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋院愠闪⒌葍r(jià)于恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故.故選：A.8.已知函數(shù)在上的最小值為2，則在上的（）A.最小值為2B.最大值為C.最小值為6D.最大值為【答案】D【解析】，令，∵，即為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則可以為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.，使D.在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】A：的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，故B正確；C：，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若，則，由，得，即，這與矛盾，所以不存在，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以.由選項(xiàng)C知，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，，，對于A，，A正確；對于B，，因?yàn)椋缘忍?hào)不成立，即，B錯(cuò)誤；對于C，由，，，則，由，可得，C正確；對于D，由于，，所以，，則，，且，由于為減函數(shù)，所以，由于為增函數(shù)，所以，所以，即，則，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)，若這兩點(diǎn)中有且只有一點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的解析式可以為______．（寫出一個(gè)滿足條件的的解析式即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由點(diǎn)，且這兩點(diǎn)中有且只有一點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，可取冪函數(shù)，驗(yàn)證如下：點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且函數(shù)為冪函數(shù)，滿足題意.（答案不唯一）13.已知為第三象限角，且，則的值為______．【答案】【解析】因?yàn)闉榈谌笙藿牵?，所以，則，又，所以，解得，又，所以.14.已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，若函數(shù)的最大值小于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的草圖如下圖所示：由圖易知，此時(shí)函數(shù)的最大值為0，滿足函數(shù)的最大值小于1，符合題意.時(shí)，函數(shù)的草圖如下圖所示：由圖易知，此時(shí)函數(shù)的最大值小于1，符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的草圖如下圖所示：由圖易知，此時(shí)函數(shù)的最大值等于1，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的草圖如下圖所示：由圖易知，此時(shí)函數(shù)的最大值等于1，不符合題意.綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，即，，所以，故.（2）若，則，又，，所以或，解得：或，故實(shí)數(shù)取值范圍為.16.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且時(shí)，．（1）求的解析式；（2）求不等式的解集．解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，得的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，由，得，則，解得，即不等式的解集為.17.已知在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后交單位圓于點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．解：（1）因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以，又，將，代入可得.（2）由三角函數(shù)定義得，因?yàn)椋?，又為銳角，故，所以，即，因?yàn)椋?，所以，所?故.18.已知某車?yán)遄邮召徥袌鲈谶^去的30天內(nèi)對車?yán)遄拥娜帐召徚浚▎挝唬喊俳铮┡c第天之間的函數(shù)關(guān)系為①；②；③這三種函數(shù)模型中的一個(gè)，且部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（1）請確定的解析式，并說明理由；（2）若第天平均每斤車?yán)遄邮召弮r(jià)格為（單位：元），且（，且），記過去30天內(nèi)第天該市場收購車?yán)遄拥馁Y金總額為（單位：百元），求的最小值．解：（1）將表格中數(shù)據(jù)代入關(guān)系①中，得到，此方程無解，舍去；將表格中數(shù)據(jù)代入關(guān)系②中，得到，解得，故方程為，經(jīng)驗(yàn)證，也符合上式，故函數(shù)解析式為；由表格數(shù)據(jù)知，函數(shù)應(yīng)該先增后減，不滿足③；綜上所述：.（2）因?yàn)?，，故，?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，因?yàn)椋?9.已知函數(shù)在區(qū)間上有意義，若存在，且，使成立，則稱為上的“可分函數(shù)”，為在上的“可分點(diǎn)”．（1）設(shè)，證明：定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)一定是上的“可分函數(shù)”；（2）若存在，使為函數(shù)在上的“可分點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，判斷函數(shù)是否為上的“可分函數(shù)”？若是，判斷滿足條件的的個(gè)數(shù)；若不是，說明理由．解：（1）由函數(shù)是上奇函數(shù)，得，，，當(dāng)，且時(shí)，，因此函數(shù)是區(qū)間上的“可分函數(shù)”，所以定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)一定是上的“可分函數(shù)”.（2）由為函數(shù)在上的“可分點(diǎn)”，得，即，則，令，由，得且，于是有不等于1的正根，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)方程另一根為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意，因此；當(dāng)且時(shí)，而，則，即，解得或，因此，或，或；當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，有不等于1的正根，符合題意，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）令，由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，，則存在唯一，使得，即存在唯一，使，所以函數(shù)是上的“可分函數(shù)”，且滿足條件的只有1個(gè).山東省聊城市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，則集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因?yàn)榧?，，所?故選：D.2.命題“所有的素?cái)?shù)都不能被2整除”的否定為（）A.所有的素?cái)?shù)都能被2整除 B.所有的合數(shù)都不能被2整除C.存在一個(gè)素?cái)?shù)能被2整除 D.存在一個(gè)素?cái)?shù)不能被2整除【答案】C【解析】命題“所有的素?cái)?shù)都不能被2整除”的否定為：存在一個(gè)素?cái)?shù)能被2整除.故選：C.3.已知，則（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，故.故選：B.4.若扇形的圓心角為，弧長為2，則該扇形的面積為（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】由題意知，扇形的半徑為，所以扇形的面積為.故選：C.5.已知函數(shù)則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的充分條件，反之，若，即或，解得或，所以“”是“”的不必要條件，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知集合，則下列是從集合到集合的函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A：定義域?yàn)?，不滿足函數(shù)的特性：任意性，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：值域?yàn)?，?dāng)取集合A中元素0時(shí)，集合B中沒有元素與之對應(yīng)，不滿足任意性；故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，當(dāng)取集合A中元素為負(fù)值時(shí)，集合B中沒有元素與之對應(yīng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)D正確.故選：D.7.已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以恒成立等價(jià)于恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故.故選：A.8.已知函數(shù)在上的最小值為2，則在上的（）A.最小值為2B.最大值為C.最小值為6D.最大值為【答案】D【解析】，令，∵，即為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則可以為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.，使D.在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】A：的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，故B正確；C：，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若，則，由，得，即，這與矛盾，所以不存在，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以.由選項(xiàng)C知，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，，，對于A，，A正確；對于B，，因?yàn)椋缘忍?hào)不成立，即，B錯(cuò)誤；對于C，由，，，則，由，可得，C正確；對于D，由于，，所以，，則，，且，由于為減函數(shù)，所以，由于為增函數(shù)，所以，所以，即，則，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)，若這兩點(diǎn)中有且只有一點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的解析式可以為______．（寫出一個(gè)滿足條件的的解析式即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由點(diǎn)，且這兩點(diǎn)中有且只有一點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，可取冪函數(shù)，驗(yàn)證如下：點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且函數(shù)為冪函數(shù)，滿足題意.（答案不唯一）13.已知為第三象限角，且，則的值為______．【答案】【解析】因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，所以，則，又，所以，解得，又，所以.14.已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，若函數(shù)的最大值小于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的草圖如下圖所示：由圖易知，此時(shí)函數(shù)的最大值為0，滿足函數(shù)的最大值小于1，符合題意.時(shí)，函數(shù)的草圖如下圖所示：由圖易知，此時(shí)函數(shù)的最大值小于1，符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的草圖如下圖所示：由圖易知，此時(shí)函數(shù)的最大值等于1，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的草圖如下圖所示：由圖易知，此時(shí)函數(shù)的最大值等于1，不符合題意.綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，即，，所以，故.（2）若，則，又，，所以或，解得：或，故實(shí)數(shù)取值范圍為.16.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且時(shí)，．（1）求的解析式；（2）求不等式的解集．解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，得的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，由，得，則，解得，即不等式的解集為.17.已知在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后交單位圓于點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．解：（1）因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以，又，將，代入可得.（2）由三角函數(shù)定義得，因?yàn)?，且，又為銳角，故，所以，即，因?yàn)?，又，所以，所?故.18.已知某車?yán)遄邮召徥袌鲈谶^去的30天內(nèi)對車?yán)遄拥娜帐召徚浚▎挝唬喊俳铮┡c第天之間的函數(shù)關(guān)系為①；②；③這三種函數(shù)模型中的一個(gè)，且部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（1）請確定的解析式，并說明理由；（2）若第天平均每斤車?yán)遄邮召弮r(jià)格為（單位：元），且（，且），記過去30天內(nèi)