PAGE2PAGE1常微分方程的經(jīng)濟模型分析（一）經(jīng)濟增長模型國民收入一般被分兩大部分，一部分是消費，另一部分是儲蓄。當儲蓄用于投資時，就能夠擴大產(chǎn)出，而生產(chǎn)擴大后可以帶來消費、儲蓄的增長，反過來的話又能夠擴大產(chǎn)出。我們常常把國民收入表示為，把儲蓄表示為，把消費表示為，用字母表示為邊際資本產(chǎn)出比（即單位資本投入得到的產(chǎn)出）；字母表示為邊際儲蓄傾向（即單位產(chǎn)出投入所引起的儲蓄發(fā)生的變化）；可以知道就是邊際消費傾向（即單位產(chǎn)出投入所引起的消費發(fā)生的變化）。根據(jù)上述，我們可以做出如下的基本假定：1）儲蓄可以全部都轉(zhuǎn)化為投資；2）產(chǎn)出增長率和資本投入成正比；3）產(chǎn)出增長速度和儲蓄成正比；4）消費、儲蓄的比例不變；根據(jù)假設(shè)可以建立模型：,,,根據(jù)假設(shè)帶入前式得微分方程：..這樣可以求得方程的解為：（為任意常數(shù)）.（二）索洛新古典經(jīng)濟增長模型新古典經(jīng)濟增長模型的出現(xiàn)，利用了勞動、資本可替代的新古典柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（簡稱生產(chǎn)函數(shù)）。假設(shè)儲蓄全部都可以轉(zhuǎn)化為投資，也就是說儲蓄和投資之間的轉(zhuǎn)化率設(shè)定為1，規(guī)模報酬不變，也就是說投資的規(guī)模收益是常數(shù)。設(shè)表示為時刻的國民收入，表示為時刻的資本存量，表示為時刻的勞動力，索洛曾經(jīng)提出這樣的經(jīng)濟模型：其中表示為儲蓄率，表示為勞動力增長率，表示為初始勞動力，稱為為資本勞動比（即，表示為單位勞動力平均占有的資本數(shù)量）。把的兩邊分別對求導(dǎo)，并利用有：.根據(jù)模型中的方程可知：，故可得： . （1）借用生產(chǎn)函數(shù)，即，其中都是常數(shù)?？芍瑢⑵鋷耄?）式中可得： ． （2）方程兩邊同除以，就有：.令則，所以上述方程可變?yōu)椋?這就是關(guān)于的一階線性非齊次微分方程，可求得其通解為：（為任意常數(shù)）把帶入通解整理得：.當時，如果，則有：.于是有：.所以：.實際上，我們在（2）式中，使，可以得到均衡值為。（三）供需均衡的價格調(diào)整模型在完全競爭的市場條件下，商品的價格由商品的供求關(guān)系所決定，換句話說，某商品的供給量以及需求量都和該商品的價格相關(guān)，為了方便起見，假定供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為：其中都是常數(shù)，且有；表示為實際價格。則供需均衡的靜態(tài)模型可以寫為：由此可以得出靜態(tài)模型的均衡價格為：.產(chǎn)量不能輕易擴大，一個生產(chǎn)周期相對較長的狀態(tài)下的商品，根據(jù)瓦爾拉假設(shè)：當超額需求為正時（即），不能被滿足的買方愿意出高價購買該商品，而供不應(yīng)求的賣方將會抬高價格，因而使得價格上漲；當超額需求為負時（即），能被滿足的買方不再愿意出高價購買該商品，所以供過于求的賣方將會降低價格，因而使得價格下跌。在瓦爾拉假設(shè)的前提下，動態(tài)模型可以寫成以如下形式：以上所述經(jīng)整理可得：其中則這個方程式得通解為：（為任意常數(shù)）設(shè)初始價格表示為，將其帶入上式可得，，所以動態(tài)價格調(diào)整模型的解為：因為，所以：這可以說明，隨著時間的進一步增長，實際價格將越來越趨向于均衡價格。例4.1如果某一種商品的市場價格會隨著時間的變化而變化，該商品的需求函數(shù)是，且供給函數(shù)是，又假定價格會隨著時間的變化率和超額需求呈正比，請求出價格函數(shù)。（注：當時，；比例系數(shù)）.解由題意可得：，，可解得，由此可得：均衡價格為。（四）菲利普斯模型菲利普斯關(guān)系適用于通貨膨脹和失業(yè)之間關(guān)系的現(xiàn)代研究，菲利普斯最開始的公式是用來描述貨幣工資率與失業(yè)率之間的負相關(guān)關(guān)系的：，.上式中，表示為貨幣工資的增長率（即），表示為失業(yè)率，而后來將菲利普斯關(guān)系調(diào)節(jié)為把通貨膨脹率與失業(yè)率聯(lián)系到一起的函數(shù)，表示為通貨膨脹率（即價格水平的增長率，）則可以寫出:.寫出經(jīng)過調(diào)整后的菲利普斯關(guān)系為：.現(xiàn)在經(jīng)濟學(xué)家采用的是附加預(yù)期的菲利普斯關(guān)系:.()表示預(yù)期的通貨膨脹率。根據(jù)諾貝爾獎得主弗里德曼博士所作的說明:一旦通貨膨脹趨勢在相當長的時期內(nèi)存在,人們會形成對某種通貨膨脹的預(yù)期，并且會把這種預(yù)期納入其貨幣工資需求中。因此，應(yīng)該是的增函數(shù)。由此可寫如下方程式： .() （3）引入一個新的變量來描述預(yù)期的通貨膨脹，使得人們有必要假設(shè)通貨膨脹預(yù)期是怎樣具體產(chǎn)生的，在這里引用的就是適應(yīng)性預(yù)期假設(shè)： ，() （4）為簡單起見，僅考慮通過貨幣政策所傳遞的反饋。以表示為名義貨幣余額，名義貨幣余額的增長率用來表示,假設(shè)： .() （5）方程（3）、方程（4）以及方程（5）構(gòu)成了一個包含三個變量、和的封閉模型。首先可以將方程（3）代入（4）可以得到： ． （6）為消去方程（6）中的變量，首先將方程（6）對求導(dǎo)： . （7）再將方程（5）代入此方程，就可以得到： . （8）這時仍然還有一個變量還沒有消去。因此，有方程（4）可以得到： . （9）將方程（9）代入方程（8），整理可得： . （10）其中，，。方程（10）為二階常系數(shù)微分方程，特解為，則該微分方程的通解為對應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解與方程自身的一個特解之和。例4.2設(shè)模型的三個方程分別取如下具體形式：