2.5等比數(shù)列(習(xí)題課)一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：1.了解等比數(shù)列更多的性質(zhì);2.將知識和思想方法運用于對等比數(shù)列性質(zhì)的進(jìn)一步思考和有關(guān)等比數(shù)列的實際問題的解決中;3.能在生活實際的問題情境中，抽象出等比數(shù)列關(guān)系，并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實際問題.過程與方法：1.繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué);2.對生活實際中的問題采用合作交流的方法，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生探究問題的解決方法，經(jīng)歷解決問題的全過程;情感、態(tài)度與價值觀：在應(yīng)用數(shù)列知識解決問題的過程中，要勇于探索，積極進(jìn)取，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和刻苦求是的精神。二．重點難點

重點：熟練等比數(shù)列的性質(zhì).難點：靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問題三、教材與學(xué)情分析等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式中共涉及五個量，將兩個公式結(jié)合起來，已知其中三個量可求另兩個量，即已知a1,an,q,n,Sn五個量中的任意三個，就可以求出其余的兩個量，這其中滲透了方程的思想.其中解指數(shù)方程的難度比較大，訓(xùn)練要控制難度和復(fù)雜程度，要大膽地摒棄“煩瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容”.數(shù)列模型運用中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法(如方程的思想、分類討論思想、算法的思想等)，這些思想方法對培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、運算能力和邏輯思維能力等基本能力有著不可替代的作用.教學(xué)中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，還應(yīng)給予學(xué)生充分的探索空間.四、教學(xué)方法問題引導(dǎo)，主動探究，啟發(fā)式教學(xué)．五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)等比數(shù)列的知識?定義式：eq\f(an,an－1)＝q(q≠0，n≥2)；通項公式：an＝a1qn－1(a1,q≠0)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq,Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)(q≠1)Sn＝na1，(q＝1)，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，a1＝S1(n＝1)（二）典例解析例題1(教材P61B組第3題)就任一等差數(shù)列{an}，計算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題.在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？師注意題目中“就任一等差數(shù)列{an}”，你打算用一個什么樣的等差數(shù)列來計算？生用等差數(shù)列1，2，3，…師很好，這個數(shù)列最便于計算，那么發(fā)現(xiàn)了什么樣的一般規(guī)律呢？生在等差數(shù)列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，則ak+as=ap+aq.師題目要我們“從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題”，如何做？生思考、討論、交流.師出示多媒體課件一：等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系.［教師精講］師在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？生猜想對于等比數(shù)列{an}，類似的性質(zhì)為：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，則ak·as=ap·at.師讓學(xué)生給出上述猜想的證明.證明：設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，則有ak·as=a1qk1·a1qs1=a12·qk+s2,ap·at=a1qp1·a1qt1=a12·qp+t2.因為k+s=p+t,所以有ak·as=ap·at.師指出：經(jīng)過上述猜想和證明的過程，已經(jīng)得到了等比數(shù)列的一個新的性質(zhì).即等比數(shù)列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，則有ak·as=ap·at.師下面有兩個結(jié)論：(1)與首末兩項等距離的兩項之積等于首末兩項的積；(2)與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方.你能將這兩個結(jié)論與上述性質(zhì)聯(lián)系起來嗎？生思考、列式、合作交流，得到：結(jié)論(1)就是上述性質(zhì)中1+n=(1+t)+(nt)時的情形；結(jié)論(2)就是上述性質(zhì)中k+k=(k+t)+(kt)時的情形.師引導(dǎo)學(xué)生思考，得出上述聯(lián)系，并給予肯定的評價.師上述性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用.師出示投影膠片2：例題2例題2（1）在等比數(shù)列{an}中，已知a1=5,a9a10=100,求a18;（2）在等比數(shù)列{bn}中，b4=3,求該數(shù)列前七項之積；（3）在等比數(shù)列{an}中，a2=2,a5=54,求a8.例題2三個小題由師生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考，展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程.解答：(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a18.(2)在等比數(shù)列{bn}中，b4=3，求該數(shù)列前七項之積.解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七項之積(32)3×3=37=2187.(3)在等比數(shù)列{an}中，a2=2，a5=54，求a8.解：.∵a5是a2與a8的等比中項，∴542=a8×(2).∴a8=1458.例題3：已知{an}{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，仿照下表中的例子填寫表格.從中你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論.anbnan·bn判斷{an·bn}是否是等比數(shù)列例5×2n1是自選1自選2師請同學(xué)們自己完成上面的表.師根據(jù)這個表格，我們可以得到什么樣的結(jié)論？如何證明？生得到：如果{an}、{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么{an·bn}也是等比數(shù)列.它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以{an·bn}是一個以pq為公比的等比數(shù)列.［教師精講］除了上面的證法外，我們還可以考慮如下證明思路：證法二：設(shè)數(shù)列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數(shù)列{an·bn}的第n項、第n1項與第n＋1項(n＞1,n∈N*)分別為a1pn1b1qn1、a1pn2b1qn2與a1pnb1qn，因為(anbn)2=(a1pn1b1qn1)2=(a1b1)2(pq)2(n1),(an1·bn1)(an+1·bn+1)=(a1pn2b1qn2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n1),即有(anbn)2=(an1·bn1)(an+1·bn+1)(n＞1,n∈N*),所以{an·bn}是一個等比數(shù)列.師根據(jù)對等比數(shù)列的認(rèn)識，我們還可以直接對數(shù)列的通項公式考察：證法三：設(shè)數(shù)列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數(shù)列{an·bn}的通項公式為anbn=a1pn1b1qn1=(a1b1)(pq)n1,設(shè)cn=anbn,則cn=(a1b1)(pq)n1,所以{an·bn}是一個等比數(shù)列.例題4.求和：（x＋eq\f(1,y)）＋（x2＋eq\f(1,y2)）＋…＋（xn＋eq\f(1,yn)）(其中x≠0，x≠1，y≠1)分析：上面各個括號內(nèi)的式子均由兩項組成，其中各括號內(nèi)的前一項與后一項分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個等比數(shù)列的和，就能得到所求式子的和.解：當(dāng)x≠0，x≠1，y≠1時，（x＋eq\f(1,y)）＋（x2＋eq\f(1,y2)）＋…＋（xn＋eq\f(1,yn)）＝(x＋x2＋…＋xn)＋(eq\f(1,y)＋eq\f(1,y2)＋…＋eq\f(1,yn))＝eq\f(x（1－xn）,1－x)＋eq\f(eq\f(1,y)（1－eq\f(1,yn)）,1－eq\f(1,y))＝eq\f(x－xn＋1,1－x)＋eq\f(yn－1,yn＋1－yn)此方法為求和的重要方法之一：分組求和法.例題5已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.分析：由題意可得S3＋S6＝2S9，要證a2，a8，a5成等差數(shù)列，只要證a2＋a5＝2a8即可.證明：∵S3，S9，S6成等差數(shù)列，∴S3＋S6＝2S9若q＝1，則S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，由等比數(shù)列中，a1≠0得S3＋S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，∴q≠1，∴S3＝eq\f(a1（1－q3）,1－q)，S6＝eq\f(a1（1－q6）,1－q)，S9＝eq\f(a1（1－q9）,1－q)且eq\f(a1（1－q3）,1－q)＋eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝eq\f(2a1（1－q9）,1－q)整理得q3＋q6＝2q9，由q≠0得1＋q3＝2q6又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝a1q(1＋q3)，∴a2＋a5＝a1q·2q6＝2a1q7＝2a8∴a2，a8，a5成等差數(shù)列.評述：要注意題中的隱含條件與公式的應(yīng)用條件.例6你能估計函數(shù)y=9x2在第一象限的圖象與x軸、y軸圍成的區(qū)域的面積嗎？出示多媒體圖片1：師如圖，為了估計函數(shù)y=9x2在第一象限的圖象與x軸、y軸圍成的區(qū)域的面積x，把x軸上的區(qū)間［0，3］分成n等份.從各分點作y軸平行線與圖象相交，再從各交點向左作x軸平行線，構(gòu)成(n1)個矩形.下面用程序來計算這(n1)個矩形的面積的和S.SUM=0K=1INPUT請輸入將［0，3］分成的份數(shù)n：”;NWHILEk＜=N1AN=(9(k*3/n)^2)*3/NSUM=SUM=ANPRINTk,AN,SUMK=k=1WENDEND閱讀程序，回答下列問題：(1)程序中的AN，SUM分別表示什么，為什么？(2)請根據(jù)程序分別計算當(dāng)n＝6，11，16時，各個矩形的面積的和(不必在計算機(jī)上運行程序).師你能回答第一個問題嗎？生AN表示第ｋ個矩形的面積，SUM表示前ｋ個矩形面積的和.生當(dāng)把x軸上的區(qū)間［0，3］分成n等份時，各等份的長都是.從各分點作y軸平行線與y=9x2圖象相交，交點的縱坐標(biāo)分別是它們分別是各個相應(yīng)矩形的高，所以各個矩形面積分別是師對學(xué)生的思考給予高度的贊揚.師當(dāng)我們把x軸上的區(qū)間［0，3］分成n等份時，按照上面的作圖方法，我們得到了函數(shù)y=9x2在第一象限的圖象與x軸、y軸圍成的區(qū)域內(nèi)的n1個矩形.師想一想，這個由各個矩形面積組成的數(shù)列的前n1項和如何求.生自主探究.師引導(dǎo)學(xué)生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子.師求和時遇到了12+22+…+n2的計算問題，這也是一個求數(shù)列前n項和的問題.關(guān)于這個公式的推導(dǎo)過程，我們可以作為知識拓展的材料，放在課外進(jìn)行探究性學(xué)習(xí).師運用這個公式，請把上面的n1個矩形面積的和計算出來.生繼續(xù)運算.師明確一下計算結(jié)果，再繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生一起理解第2小題的含義并得出結(jié)果.師根據(jù)程序，當(dāng)n＝6時，5個矩形的面積的和就是輸入N＝6，SUM的最后一個輸出值,SUM=15.625.那么當(dāng)n＝11時，10個矩形的面積的和就是N＝11時，SUM的最后一個輸出值，即SUM=16.736；當(dāng)n=16時，我們就得到15個矩形面積的和SUM=17.139.當(dāng)n=17時，SUM的最后一個輸出值是多少？生n=17時，SUM的最后一個輸出值SUM=17.190.師你是怎么計算n=17時，SUM的最后一個輸出值的呢？當(dāng)n=500時，SUM的最后一個輸出值SUM=?當(dāng)n=1000時，SUM的最后一個輸出值SUM=