圖形的相似——知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解【知識(shí)點(diǎn)1】比例線段定義：在四條線段中，如果與的比等于與的比，即，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．【知識(shí)點(diǎn)2】比例線段的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：；（2）合比性質(zhì)：?＝；（3）等比性質(zhì)：；【知識(shí)點(diǎn)3】平行線分線段成比例定理兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則，.【知識(shí)點(diǎn)4】平行線分線段成比例推論推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若∥，則，.【知識(shí)點(diǎn)5】黃金分割點(diǎn)把線段分成兩條線段和，如果，那么線段被點(diǎn)黃金分割．其中點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比．【知識(shí)點(diǎn)6】相似多邊形的性質(zhì)（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.（2）相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【知識(shí)點(diǎn)7】相似多邊形的判定(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．(4)滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.【知識(shí)點(diǎn)8】相似三角形的性質(zhì)（1）對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．（2）周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．【知識(shí)點(diǎn)9】相似三角形的應(yīng)用測(cè)量物體的高度：利用影長(zhǎng)、利用標(biāo)桿、利用鏡子.【知識(shí)點(diǎn)10】相似三角形的常見(jiàn)模型“A“A”型斜“A”型“母子型”字型““X”型斜“X”（蝴蝶）型射影定理模型一線一線三直角型一線三等角【知識(shí)點(diǎn)11】位似圖形的定義性質(zhì)與畫(huà)法定義如果兩個(gè)圖形不僅形狀相似，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.位似圖形性質(zhì)：位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.位似圖形的畫(huà)法：（1）確定位似中心；（2）確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（3）描出新圖形.【考點(diǎn)一】比例的基本性質(zhì)與成比例線段【例1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）（1）若，則___________；（2）若，則___________；（3）若，則___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)得，再把代入，即可；（2）根據(jù)，得，把的值代入，即可；（3）對(duì)化簡(jiǎn)，得，把的值代入，即可解：（1）∵，∴；故答案為：．（2）∵，∴，∴，故答案為：．（3）∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】考查比例性質(zhì)運(yùn)用中的基本計(jì)算，關(guān)鍵是掌握比例的基本性質(zhì)．【舉一反三】【變式1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，則下列等式不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)可得，然后逐項(xiàng)分析判斷即可求解．解：∵，∴，A.，則即，成立，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.，成立，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.，則，即，不成立，符合題意；D.，即，成立，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）是和的比例中項(xiàng)，則；（2）是和的比例中項(xiàng)，則；（3）線段厘米，厘米，則線段和的比例中項(xiàng)是．【答案】厘米【分析】（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義求出a與b的積，再整體代入求解即可．（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解．（3）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解．解：（1）由題意可知，由此，所以；故答案為：．（2）由題意可知，可解得；故答案為：．（3）因?yàn)?、都為線段，因此其比例中項(xiàng)只能是線段，取正值，即為（厘米）．故答案為：厘米．【點(diǎn)撥】本題考查了比例中項(xiàng)的定義，注意線段比例中項(xiàng)和數(shù)字比例中項(xiàng)的區(qū)別．【考點(diǎn)二】黃金分割【例2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱為的黃金分割線．（1）求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點(diǎn)；（2）若，求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）先由等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，可得，，又因?yàn)椋攘看鷵Q得出，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義即可證明D是的黃金分割點(diǎn)；（2）由（1）知，那么，，又等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，將代入，即可求出的面積．解：（1）證明：∵，，又∵，∴，∴D是的黃金分割點(diǎn)；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．也考查了三角形的面積．【舉一反三】【變式1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)畫(huà)線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過(guò)點(diǎn)B作的垂線，取的中點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫(huà)弧交射線于點(diǎn)D，連接，再以點(diǎn)D為圓心，為半徑畫(huà)弧，前后所畫(huà)的兩弧分別與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“■■”的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)作圖可知，，，設(shè)，則，，求出，得出，即可得出結(jié)論．解：根據(jù)作圖可知，，，設(shè)，則，∴根據(jù)勾股定理可得：，∴，∴，∴以A為圓心，“”的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，故A正確．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求出．【變式2】（2022秋·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在某校的2022年新年晚會(huì)中，舞臺(tái)AB的長(zhǎng)為20米，主持人站在點(diǎn)C處自然得體，已知點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)A的距離為米．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割比例進(jìn)行求解即可．解：∵C是線段AB靠近B的黃金分割點(diǎn)，∴米，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】平行線分線段成比例及其推論【例3】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E；（1）如圖1，若D為BC的中點(diǎn)，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請(qǐng)利用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺在AC上找一點(diǎn)E，使得；（3）若F為AD的中點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)求出m、n之間的等量關(guān)系．【答案】（1）證明見(jiàn)分析，（2）作圖見(jiàn)分析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可證明；（2）作△ABC的中線AD，再作AD中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根據(jù)平行得出比例式，根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，得出m、n之間的等量關(guān)系即可．解：（1）證明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中線AD，再作AD中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，設(shè)AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m（a－an），∵EF∥DG，∴＝，∵F為AD的中點(diǎn)，∴即．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作平行線，利用比例式解決問(wèn)題．【舉一反三】【變式1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）將含有的三角板按如圖所示放置，點(diǎn)在直線上，其中，分別過(guò)點(diǎn)，作直線的平行線，，點(diǎn)到直線，的距離分別為，，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)交于點(diǎn)，由，得三角形BCM為等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三邊長(zhǎng)比及等腰直角三角形的邊長(zhǎng)比，設(shè)BC為x，可得MA為，再由平行線分線段成比例求解．解：設(shè)交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，三角形為等腰直角三角形，在Rt△ABC中，設(shè)長(zhǎng)為，則，∵，∴，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，含特殊角直角三角形的性質(zhì)及平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵是掌握含特殊角的直角三角形的邊長(zhǎng)比．【變式2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）基本事實(shí)：兩條線段被一組所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖：如果，那么，，．【答案】平行線【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．解：基本事實(shí)：兩條線段被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖，如果，那么，，．故答案為：平行線．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例的知識(shí)，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】多邊形的性質(zhì)及判定【例4】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，把一個(gè)矩形劃分成三個(gè)全等的小矩形．（1）若原矩形的長(zhǎng)，寬．問(wèn)：每個(gè)小矩形與原矩形相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若原矩形的長(zhǎng)，寬，且每個(gè)小矩形與原矩形相似，求矩形長(zhǎng)與寬應(yīng)滿足的關(guān)系式．【答案】（1）不相似；證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)劃分后小矩形的長(zhǎng)為，寬為，可得，進(jìn)而可判斷結(jié)論；（2）根據(jù)劃分后小矩形的長(zhǎng)為，寬為，再根據(jù)每個(gè)小矩形與原矩形相似，可得，從而可得與的關(guān)系式．（1）解：不相似．理由如下：∵原矩形的長(zhǎng)，寬，∴劃分后小矩形的長(zhǎng)為，寬為，又∵，即原矩形與每個(gè)小矩形的邊不成比例，∴每個(gè)小矩形與原矩形不相似．（2）∵原矩形的長(zhǎng)，寬，∴劃分后小矩形的長(zhǎng)為，寬為，又∵每個(gè)小矩形與原矩形相似，∴∴，即．【點(diǎn)撥】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩矩形相似得到比例式．【舉一反三】【變式1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長(zhǎng)為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．解：由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長(zhǎng)為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形．古希臘很多矩形建筑中寬與長(zhǎng)的比都等于黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，以AB為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形ABEF，若AD＝1，則DF＝．【答案】【分析】先根據(jù)黃金矩形求出AB，再利用正方形的性質(zhì)求出AF，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：∵矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，∴，∴，∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=AD-AF=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割，相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】相似三角形的性質(zhì)及判定【例5】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在線段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求證：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見(jiàn)分析；（2）EB=2FD．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠BAD=∠DAC，再根據(jù)∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，進(jìn)而根據(jù)兩角分別相等的三角形相似可證；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊得出AE=AF，再根據(jù)及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到結(jié)果．解：（1）∵AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴△AFE∽△ADC；（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵，∴，∴，∵，∴，∴EB=2FD．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定．第（1）問(wèn)能根據(jù)角的等量代換得出角相等及熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵；第（2）問(wèn)根據(jù)相似得出比例式及根據(jù)比例式得出線段的關(guān)系是解的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，點(diǎn)E以0.5cm/s的速度從點(diǎn)B到點(diǎn)C，同時(shí)點(diǎn)F以0.4cm/s的速度從點(diǎn)D到點(diǎn)B，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，則運(yùn)動(dòng)停止，點(diǎn)P是邊CD上一點(diǎn)，且CP=1，且Q是線段EF的中點(diǎn)，則線段QD+QP的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接QB，PB．首先用t表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，求出PB的值，再根據(jù)PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得結(jié)論．解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接QB，PB．∵四邊形ABDC是矩形，∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，∴C（-3，0），B（0，4），∵∠CDB=90°，∴BC==5（cm），∵EH∥CD，∴△BEH∽△BCD，∴，∴，∴EH=0.3t，BH=0.4t，∴E（-0.3t，4-0.4t），∵F（0，0.4t），∵QE=QF，∴Q（-t，2），∴點(diǎn)Q在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，∵B，D關(guān)于直線y=2對(duì)稱，∴QD=QB，∴QP+QD=QB+QP，∵QP+QB≥PB，PB==2（cm），∴QP+QD≥2，∴QP+QD的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q在直線y=2上運(yùn)動(dòng)．【變式2】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，是線段上一點(diǎn)，連接，若與相似，則的長(zhǎng)為．【答案】2或4【分析】是一個(gè)直角三角形，若與相似，必須證明是直角三角形，再用相似三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：如圖，∵A（1,4），C（3,0），D（0,3），∴，，，∴是直角三角形∵點(diǎn)M在x軸上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，0），∽∴∴=1∴當(dāng)時(shí)，CM=2；當(dāng)時(shí)CM=4，故答案為：2或4．【點(diǎn)撥】此題考查相似三角形的性質(zhì)，熟悉掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六】位似圖形【例6】（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形，都是正方形的位似圖形，點(diǎn)P是位似中心．（l）哪個(gè)圖形與正方形的相似比為3？（2）正方形是正方形的位似圖形嗎？如果是，求相似比．（3）正方形與正方形的相似比是多少？【答案】（1）正方形；（2）是，正方形與正方形的相似比為；（3）正方形與正方形的相似比為2【分析】（1）利用位似比等于相似比求解；（2）根據(jù)位似的定義和位似比等于相似比解決問(wèn)題；（3）利用位似比等于相似比求解．解：（1）因?yàn)镻I：PA=6：2=3：1，所以正方形IJKL與正方形ABCD的相似比為3；（2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似圖形，∴相似比為：；（3）正方形EFGH與正方形ABCD的相似比為：．【點(diǎn)撥】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或共線），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．兩個(gè)圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；【舉一反三】【變式1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形和正方形是位似圖形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則這兩個(gè)正方形位似中心的坐標(biāo)為（

）

A．或 B．或C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，分兩種情況：一種是當(dāng)點(diǎn)E和C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，G和A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；另一種是A和E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，C和G是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，分別求出直線的函數(shù)解析式，然后求交點(diǎn)即可．解：∵正方形和正方形中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，（1）當(dāng)點(diǎn)E和C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，G和A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，位似中心就是與的交點(diǎn).設(shè)所在的直線的解析式為解得∴所在的直線的解析式為當(dāng)時(shí)，，所以與的交點(diǎn)為；（2）A和E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，C和G是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).，則位似中心就是與的交點(diǎn)設(shè)所在的直線的解析式為解得∴所在的直線的解析式為設(shè)所在的直線的解析式為解得∴AG所在的直線的解析式為聯(lián)立解得∴與的交點(diǎn)為綜上所述，兩個(gè)正方形的位似中心的坐標(biāo)是或故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查位似圖形，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析，求位似中心，正確分情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，邊在軸上，以為位似中心，作與位似，若的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)，，推出，求出值，得到位似比，進(jìn)而求出，即可得解．解：∵，，∴軸，；∵的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴，∴∴的坐標(biāo)為：，即：；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查坐標(biāo)系中的位似．熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，求出位似比，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六】相似三角形綜合——幾何模型【例7】（2020秋·四川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，．（1）求的長(zhǎng)．（2）求證：．【答案】（1）5；（2）證明見(jiàn)分析；【分析】（1）先證明出∽，得出，假設(shè)BD為x，則DC=15-x，代入分式方程求出BD的長(zhǎng)；（2）由（1）可知，推出≌，得出結(jié)果；解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∽，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵，設(shè)，則，即：，解得：，，∵，∴．（2）由（1）可知，∵，∴，在和中，，∴≌∴【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用．【舉一反三】【變式1】（2020秋·四川遂寧·九年級(jí)射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置邊長(zhǎng)分別為3，4，x的三個(gè)正方形，則x的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性質(zhì)把它們的直角邊用含x的表達(dá)式表示出來(lái)，列方程，解方程即可得到x的值．解：如圖，標(biāo)注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置邊長(zhǎng)分別3，4，x的三個(gè)正方形