案例十一——用DFT看頻譜內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟工具調(diào)教眼見(jiàn)為虛——不當(dāng)采樣之殃想要分開(kāi)，沒(méi)那么容易思考題總結(jié)報(bào)告要求案例設(shè)置目的通過(guò)完成情境任務(wù)，理解利用離散傅里葉變換進(jìn)行頻譜分析原理、方法；理解各種傅里葉變換之間的關(guān)系；掌握分辨率的概念和頻率軸標(biāo)定原理與方法；了解欠采樣在頻域的表現(xiàn)。相關(guān)基礎(chǔ)理論1．實(shí)序列頻譜性質(zhì)設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為X(k)，則對(duì)于實(shí)序列x(n)

，有如下結(jié)論（11.1）根據(jù)DFT的定義，可知x

(n)的離散傅里葉變換為

（11.2）結(jié)合式（11.1）和式（11.2），不難得出如下結(jié)論

（11.3）式（11.3）表明幅頻響應(yīng)|X(k)|呈現(xiàn)偶對(duì)稱特性，對(duì)稱軸為k

=

N/2，因此|X(k)|的全部信息能夠用0～N/2范圍的值表示。

相關(guān)基礎(chǔ)理論2．頻譜分析可行性設(shè)M點(diǎn)長(zhǎng)序列x(n)

的離散時(shí)間傅里葉變換用X(ejω)表示，與N點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)

之間的關(guān)系可描述如下

：

（11.4）即X(k)

是在

取0～2π的范圍內(nèi)對(duì)X(ejω)進(jìn)行N個(gè)等間隔取樣的結(jié)果，即X(k)

代表X(ejω)在

k

=

2kπ/N上的取值，k=0,1,…,N-1，X(ejω)連接X(jué)(k)

各離散點(diǎn)的包絡(luò)。根據(jù)頻域取樣定理知，當(dāng)N≥M時(shí)，頻域采樣過(guò)程不會(huì)產(chǎn)生失真

，X(k)

與

k=2πk/N處的X(ejω)完全相同，計(jì)算出X(k)

后，通過(guò)下式準(zhǔn)確得到X(ejω)：（11.5）即N個(gè)離散樣點(diǎn)值X(k)

在內(nèi)插函數(shù)?k(ejω)的作用下得到連續(xù)波形X(ejω)，其中?k定義為（11.6）相關(guān)基礎(chǔ)理論反之，當(dāng)N

<

M時(shí)，在

取0～2π的范圍內(nèi)對(duì)X(ejω)進(jìn)行N個(gè)等間隔取樣得到的X(k)必然是存在失真，也就無(wú)法用X(k)

準(zhǔn)確恢復(fù)出X(ejω)。頻域采樣定理要求x(n)

必須為有限長(zhǎng)序列。時(shí)域離散序列x(n)

與其對(duì)應(yīng)的連續(xù)信號(hào)xa(t)

的傅里葉變換之間存在如下關(guān)系

：（11.7）式中T為時(shí)域采樣的間隔，Xa(

jΩ)——xa(t)的傅里葉變換。

在時(shí)域采樣和頻域采樣均不出現(xiàn)失真的情況下，通過(guò)計(jì)算x(n)

的離散傅里葉變換X(k)

就精確地得到了X(ejω)在離散點(diǎn)

k

=

2πk/N上的值，k=0,1,…,N-1，再通過(guò)內(nèi)插就可以得到完整的X(ejω)

；考慮X(ejω)的周期性，再乘以T便得到xa(t)

的傅里葉變換Xa(

jΩ)

的周期延拓結(jié)果；若截取周期譜在

Ωs/2～Ωs/2內(nèi)或0～Ωs的取值，便能得

到xa(t)精確的頻譜。

綜上，一般模擬信號(hào)要用數(shù)字方法分析頻譜或用DFT進(jìn)行頻譜分析時(shí)需要如圖11.1所示的過(guò)程。相關(guān)基礎(chǔ)理論綜上，一般模擬信號(hào)要用數(shù)字方法分析頻譜或用DFT進(jìn)行頻譜分析時(shí)需要如圖11.1所示的過(guò)程。圖11.1中抗混疊濾波器的作用是使輸入信號(hào)成為頻域持續(xù)范圍有限的信號(hào)或帶限信號(hào)，為時(shí)域無(wú)失真采樣奠定基礎(chǔ)。加窗用于對(duì)序列進(jìn)行截取，有時(shí)還會(huì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行整形，以便得到時(shí)域持續(xù)時(shí)間有限的信號(hào)，為頻域無(wú)失真采樣做鋪墊。

因信號(hào)不能同時(shí)滿足帶寬有限和持續(xù)時(shí)間有限的條件，加之DFT本身的特點(diǎn)，頻譜分析會(huì)出現(xiàn)①混疊效應(yīng)、②截?cái)嘈?yīng)、③柵欄效應(yīng)等形式的誤差。圖11.1用DFT分析模擬信號(hào)頻譜框圖相關(guān)基礎(chǔ)理論3．頻率的標(biāo)定X(k)是對(duì)X(ejω)在

取0～2π的范圍內(nèi)進(jìn)行的N個(gè)等間隔取樣

，所以頻率取樣間隔或數(shù)字角度分辨率為（11.8）因?yàn)閿?shù)字角頻率或歸一化頻率

通過(guò)

=T

與模擬角頻率

相關(guān)聯(lián)，所以有對(duì)應(yīng)的模擬角度分辨率為（11.9）其中，F(xiàn)s=1/T，為采樣頻率。根據(jù)模擬角頻率

與物理頻率

f的關(guān)系

=2πf，由式（11.9）可推出頻率分辨率定義，即（11.10）式中Tp為待分析模擬信號(hào)的持續(xù)時(shí)間或記錄時(shí)間。即式（11.8）～式（11.10）表明信號(hào)的頻率分辨率取決于信號(hào)的記錄時(shí)間。相關(guān)基礎(chǔ)理論設(shè)采樣頻率為Fs，根據(jù)Nyquist采樣定律，以此采樣頻率能無(wú)失真采樣的信號(hào)的最高頻率fh

=

Fs/2。由關(guān)系

=

T

=

/Fs

=

2πf/Fs知，模擬信號(hào)的絕對(duì)頻率fh

Hz對(duì)應(yīng)數(shù)字角頻率中的π弧度，與前述0～N/2范圍的|X(k)|能表示全部信息不謀而合。綜合式（11.4）、式（11.8）～式（11.10），頻域采樣點(diǎn)標(biāo)號(hào)k、離散數(shù)字角頻率點(diǎn)

k、離散模擬角頻率點(diǎn)

k和離散物理頻率點(diǎn)fk存在表11.1所示的線性比例關(guān)系，因?yàn)樵跁r(shí)域采樣頻率Fs、頻域采樣點(diǎn)數(shù)N固定的情況下，它們都可以看成是常數(shù)。

若序列x(n)是實(shí)序列，則X(ej

)=X*(e

j

)，加之X(ej

)是以2π為周期的函數(shù)，無(wú)失真采樣下歸一化頻率或數(shù)字角頻率

的有效范圍為0～π，因此N點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)

用作頻譜分析時(shí)，只需顯示0～N/2的范圍，橫軸則通過(guò)表格中的對(duì)應(yīng)關(guān)系標(biāo)定成0～Fs/2。表11.1各頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系情境任務(wù)及步驟一、工具調(diào)教設(shè)單頻余弦信號(hào)的參數(shù)為單位幅度、頻率為10Hz、初始相位為0。1．對(duì)單頻信號(hào)采樣并頻譜分析（1）設(shè)單頻信號(hào)的持續(xù)時(shí)間為1s，對(duì)其以每秒50個(gè)樣點(diǎn)的速率進(jìn)行采樣，得到時(shí)域離散序列xn1。（2）對(duì)序列xn1按照其長(zhǎng)度進(jìn)行DFT，得到X1(k)。（3）在Figure1中畫出X1(k)的幅度圖，plot函數(shù)調(diào)用格式要求為plot(Y)。MATLAB提供了用于計(jì)算DFT的函數(shù)fft和計(jì)算復(fù)數(shù)幅度的函數(shù)abs，

可以通過(guò)Help文件學(xué)習(xí)相關(guān)函數(shù)的用法。2．對(duì)信號(hào)再采樣再分析（1）設(shè)單頻信號(hào)的持續(xù)時(shí)間為1s，對(duì)其以每秒100個(gè)樣點(diǎn)的速率進(jìn)行采樣，得到時(shí)域離散序列xn2。（2）對(duì)時(shí)域離散序列xn2進(jìn)行DFT，得到X2(k)。（3）在Figure2中顯示X2(k)的幅度圖

，plot函數(shù)調(diào)用格式要求為plot(Y)。情境任務(wù)及步驟3．對(duì)信號(hào)第三次采樣及分析（1）設(shè)單頻信號(hào)的持續(xù)時(shí)間為1.5s，對(duì)其以每秒50個(gè)樣點(diǎn)的速率進(jìn)行采樣，得到時(shí)域離散序列xn3。（2）對(duì)時(shí)域離散序列xn3進(jìn)行DFT，得到X3(k)。（3）在Figure3中顯示X3(k)的幅度圖，plot函數(shù)調(diào)用格式要求為plot(Y)。（4）利用頻率軸標(biāo)定知識(shí)，根據(jù)表11.1確定每種信號(hào)持續(xù)時(shí)間和采樣頻率下的頻率軸的范圍，并以plot(X,Y)格式在Figure4中分三個(gè)子圖畫出|Xi(k)|~f的關(guān)系圖，i=1,2,3，使圖中幅度尖峰位置與實(shí)際頻率10Hz對(duì)應(yīng)。綜合以上幅頻特性圖，總結(jié)正確顯示DFT結(jié)果的方法。

情境任務(wù)及步驟二、眼見(jiàn)為虛——不當(dāng)采樣之殃1．生成復(fù)合頻率信號(hào)假設(shè)下面所有信號(hào)持續(xù)時(shí)間均為5s，幅度均為單位幅度，初始相位均為0，且用相同的采樣頻率Fs=100Hz進(jìn)行采樣。（1）以T=1/Fs為間隔對(duì)頻率為10Hz的余弦信號(hào)進(jìn)行采樣，得到時(shí)域離散序列xn1，作為其中一個(gè)頻率分量。（2）以T=1/Fs為間隔對(duì)頻率為30Hz的余弦信號(hào)進(jìn)行采樣，得到時(shí)域離散序列xn2。（3）以T=1/Fs為間隔對(duì)頻率為60Hz的余弦信號(hào)進(jìn)行采樣，得到時(shí)域離散序列xn3。（4）以T=1/Fs為間隔對(duì)頻率為90Hz的余弦信號(hào)進(jìn)行采樣，得到時(shí)域離散序列xn4。（5）將序列xn1與xn2相加得到復(fù)合序列x1。（6）將序列xn1與xn3相加得到復(fù)合序列x2。（7）將序列xn1與

xn4相加得到復(fù)合序列x3。情境任務(wù)及步驟2．對(duì)復(fù)合頻率信號(hào)進(jìn)行頻譜分析（1）復(fù)合序列x1進(jìn)行DFT的結(jié)果即為X1；序列x2進(jìn)行DFT的結(jié)果即為X2；序列x3進(jìn)行DFT的結(jié)果即為X3。（2）創(chuàng)建圖形窗口Figure1，在其子窗口中從上至下依次顯示三個(gè)幅頻特性，并將橫軸標(biāo)注為物理頻率。（3）對(duì)比上述三組復(fù)合序列的頻譜分析結(jié)果，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？將結(jié)果計(jì)入總結(jié)報(bào)告。情境任務(wù)及步驟三、想要分開(kāi)，沒(méi)那么容易1．生成復(fù)合頻率信號(hào)生成兩個(gè)單音信號(hào)，并按一定比例進(jìn)行疊加。假設(shè)f1=200Hz，f2=205Hz，xt1=cos(2

×f1×t)，xt2=sin(2

×f2×t)，xt=A1×xt1+A2×xt2，A1=1，A2=1，信號(hào)持續(xù)時(shí)間均為4s，采樣頻率Fs=8000Hz。2．對(duì)加窗截?cái)嗟膯我粜盘?hào)進(jìn)行頻譜分析分別用矩形窗（rectangular）、漢寧窗（Hanning）和漢明窗（Hamming）對(duì)xt1進(jìn)行截取，之后進(jìn)行頻譜分析，以探究不同信號(hào)持續(xù)時(shí)間和窗型的影響。（1）窗函數(shù)的長(zhǎng)度或截取的信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)度為xt1的10個(gè)周期，用上述三種窗分別xt1進(jìn)行截取，之后對(duì)截取后進(jìn)行頻譜分析。（2）窗函數(shù)的長(zhǎng)度或截取的信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)度為xt1的20個(gè)周期用上述三種窗分別xt1進(jìn)行截取，之后對(duì)截取后進(jìn)行頻譜分析。（3）總結(jié)截取長(zhǎng)度和窗型對(duì)于信號(hào)頻譜的影響。情境任務(wù)及步驟3．對(duì)加窗截?cái)嗟膹?fù)合頻率信號(hào)進(jìn)行頻譜分析仍然用矩形窗（rectangular）、漢寧窗（Hanning）和漢明窗（Hamming）三種窗型，現(xiàn)在對(duì)xt進(jìn)行截取，之后進(jìn)行頻譜分析，以探究不同信號(hào)持續(xù)時(shí)間和窗型的影響。（1）窗函數(shù)的長(zhǎng)度或截取的信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)度為兩單音信號(hào)頻率差的倒數(shù)的4倍，用上述三種窗分別xt進(jìn)行截取，之后對(duì)截取后進(jìn)行頻譜分析。（2）窗函數(shù)的長(zhǎng)度或截取的信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)度