高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市金山區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題1.已知集合，，則___________．【答案】【解析】由，故.故答案為：.2.已知向量，，若，則實數(shù)的值為___________．【答案】【解析】因為，所以，解得.故答案為：.3.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】由題設(shè)，所以此函數(shù)的定義域為．故答案為：4.已知復(fù)數(shù)滿足，則的模為___________．【答案】【解析】設(shè)，則，由，得，則，解得，所以，所以.故答案為：5.設(shè)公比為2的等比數(shù)列的前項和為，若，則___________．【答案】【解析】因為，所以，故.故答案為：46.如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.【答案】10【解析】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.7.設(shè)()，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，則恒成立，而不恒為0，因此，，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點處切線方程為.故答案為：8.已知雙曲線(,),給定的四點、、、中恰有三個點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是___________．【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得，兩點一定在雙曲線上，若在雙曲線上，則，方程組無解，故不在雙曲線上，則在雙曲線上，則，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：.9.為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用50未服用50合計8020100取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預(yù)防有顯著效果”，則()的最小值為___________．(參考公式：；參考值：）【答案】【解析】由題意可知，則，解得或，而，故m的最小值為44.故答案為：44.10.在的展開式中，記項的系數(shù)為，則___________．【答案】【解析】展開式的通項公式為，所以，則.故答案為：4011.某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為___________m．(結(jié)果精確到1m)【答案】【解析】作交于E，由題意可得如圖：，所以，，在中，由正弦定理可得：，所以，所以，，在直角中，，故答案為：475.12.已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為___________．【答案】【解析】因，由可得，即在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，又由可得，不妨設(shè)，則，，于是，因，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)時，取得最小值.故答案為：.二、選擇題13.若拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，則的值為（）．A.2 B.3 C.4 D.8【答案】D【解析】由題意知，（）的焦點為，的右頂點為，所以，解得.故選：D14.下列說法不正確的是（）．A.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14B.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則C.若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)程度越高D.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，且回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是【答案】A【解析】對A：因為，所以第百分位數(shù)為,A錯誤；對B：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，則，B正確；對C：若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；對于D，樣本點的中心為，所以，，因為滿足線性回歸方程，所以，所以，D正確.故選：A15.如圖，點為正方形的中心，△為正三角形,平面⊥平面，是線段的中點，則以下命題中正確的是（）．A. B.C.A、、三點共線 D.直線與相交【答案】D【解析】取中點F，連接,取中點H，連接.又△為正三角形，則，，又平面⊥平面，平面平面，則平面，平面，又平面，平面，則，，設(shè)，則,則，則.故選項A判斷錯誤；假設(shè)，又，，平面，則平面，又平面，則，這與矛盾，故假設(shè)不成立，不互相垂直.故選項B判斷錯誤；由平面，可得直線平面，假設(shè)A、、三點共線，則，則平面，這與平面矛盾，故假設(shè)不成立.故選項C判斷錯誤；由，可得，，則四邊形為梯形，則直線與相交.故選項D判斷正確.故選：D.16.設(shè)，有如下兩個命題：①函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點；②存在唯一的正方形，其四個頂點都在函數(shù)的圖象上．則下列說法正確的是（）A.①正確，②正確 B.①正確，②不正確C.①不正確，②正確 D.①不正確，②不正確【答案】B【解析】對①：令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，函數(shù)的圖象與圓的圖象如圖所示：故函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點，故①正確；對②：由，故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，顯然，當(dāng)時，，點在函數(shù)圖像外側(cè)，則，此時；利用極限思想，時，，此時；時，，此時，如圖所示，故至少兩個正方形，故②錯誤.故選：B.三、解答題17.已知函數(shù)，記，，，.（1）若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，求和的值；（2）若，，函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)的最小正周期，所以，則當(dāng)時，，所以，得，因為，所以取得，（2）解法一：當(dāng)，時，，，設(shè)，由題意得，在有解，化簡得，又在上單調(diào)遞減，所以，則.解法二：當(dāng)，時，，，設(shè)，由題意得，在有解，記，對稱軸為，則由根的分布可得，即，解得，所以.18.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點是的中點，點在上，異面直線與所成的角是．（1）求證：；（2）若，，求二面角的大?。?）證明；因為，所以是直線與所成角，為，所以，得，又因為，且，平面，平面，所以平面，由平面，得．（2）解：解法一：取的中點，連接，，．因為，所以四邊形為菱形，所以．取中點，連接，，．則，，所以為所求二面角的平面角．又，所以．在中，由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形，因此二面角E?AG?C的大小為．解法二：以為坐標(biāo)原點，分別以、、的方向為、、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意得，，，，故，，，設(shè)是平面的一個法向量．由，可得，取，可得平面的一個法向量．設(shè)是平面一個法向量．由，可得，取，可得平面的一個法向量．所以．因此二面角E?AG?C的大小為．19.有標(biāo)號依次為1，2，…，(，)的個盒子，標(biāo)號為1號的盒子里有3個紅球和3個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球．現(xiàn)從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進(jìn)行到從號盒子里取出2個球放入號盒子為止．（1）當(dāng)時，求2號盒子里有2個紅球的概率；（2）設(shè)號盒子中紅球個數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布及，并猜想的值（無需證明此猜想）．解：（1）由題可知2號盒子里有2個紅球的概率為；（2）由題可知可取，，，，所以3號盒子里的紅球的個數(shù)的分布列為：；猜想，理由如下：當(dāng)時，設(shè)號盒子里有3個紅球的概率為，有2個紅球的概率為，則號盒子里有1個紅球的概率為，則，，，則，由每個盒子中原本的紅球與白球個數(shù)相等，故號盒子中紅球個數(shù)為與白球個數(shù)為的概率相等，即，即有，故，當(dāng)時，有，，，，故可得.20.已知橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于不同的兩點、．（1）證明：點到右焦點的距離為；（2）設(shè)點，當(dāng)直線的斜率為，且與平行時，求直線的方程；（3）當(dāng)直線與軸不垂直，且△的周長為時，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（1）證明：由，得；（2）解：根據(jù)題意畫出圖象，如圖，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，由，得，從而，，又，，由與平行，得，解得，故直線的方程為；（3）解：直線與圓相切，證明過程如下：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，從而，由，得，即，又因為，即，化簡，整理得，即，從而，又圓心到直線的距離，故直線與圓相切．21.已知函數(shù)與有相同的定義域．若存在常數(shù)()，使得對于任意的，都存在，滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于的“函數(shù)”．（1）若，，試判斷函數(shù)是否是關(guān)于的“函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)與均存在最大值與最小值,且函數(shù)是關(guān)于的“函數(shù)”,又是關(guān)于的“函數(shù)”,證明：；（3）已知，，其定義域均為．給定正實數(shù)，若存在唯一的，使得是關(guān)于的“函數(shù)”，求的所有可能值．（1）解：不是關(guān)于的“函數(shù)”．解法一：當(dāng)時，，所以不存，使得解法二：因為函數(shù)()的值域為，比如取，則，不存在，使得；（2）證明：設(shè)．由題意，存在，使得．因為函數(shù)是關(guān)于的“函數(shù)”，所以存在，滿足，從而．同理，由是關(guān)于的“函數(shù)”，可得，綜上，；（3）解：記集合，．由是關(guān)于的“函數(shù)”，得，①當(dāng)時，，，從而，解得，因唯一，令，解得(舍)或(舍)；②當(dāng)時，，，從而，解得，因唯一，令，解得，符合題意；③當(dāng)時，，，從而，解得，因唯一，令，解得，符合題意；綜上，的所有可能值為或．上海市金山區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題1.已知集合，，則___________．【答案】【解析】由，故.故答案為：.2.已知向量，，若，則實數(shù)的值為___________．【答案】【解析】因為，所以，解得.故答案為：.3.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】由題設(shè)，所以此函數(shù)的定義域為．故答案為：4.已知復(fù)數(shù)滿足，則的模為___________．【答案】【解析】設(shè)，則，由，得，則，解得，所以，所以.故答案為：5.設(shè)公比為2的等比數(shù)列的前項和為，若，則___________．【答案】【解析】因為，所以，故.故答案為：46.如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.【答案】10【解析】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.7.設(shè)()，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，則恒成立，而不恒為0，因此，，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點處切線方程為.故答案為：8.已知雙曲線(,),給定的四點、、、中恰有三個點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是___________．【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得，兩點一定在雙曲線上，若在雙曲線上，則，方程組無解，故不在雙曲線上，則在雙曲線上，則，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：.9.為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用50未服用50合計8020100取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預(yù)防有顯著效果”，則()的最小值為___________．(參考公式：；參考值：）【答案】【解析】由題意可知，則，解得或，而，故m的最小值為44.故答案為：44.10.在的展開式中，記項的系數(shù)為，則___________．【答案】【解析】展開式的通項公式為，所以，則.故答案為：4011.某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為___________m．(結(jié)果精確到1m)【答案】【解析】作交于E，由題意可得如圖：，所以，，在中，由正弦定理可得：，所以，所以，，在直角中，，故答案為：475.12.已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為___________．【答案】【解析】因，由可得，即在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，又由可得，不妨設(shè)，則，，于是，因，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)時，取得最小值.故答案為：.二、選擇題13.若拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，則的值為（）．A.2 B.3 C.4 D.8【答案】D【解析】由題意知，（）的焦點為，的右頂點為，所以，解得.故選：D14.下列說法不正確的是（）．A.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14B.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則C.若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)程度越高D.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，且回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是【答案】A【解析】對A：因為，所以第百分位數(shù)為,A錯誤；對B：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，則，B正確；對C：若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；對于D，樣本點的中心為，所以，，因為滿足線性回歸方程，所以，所以，D正確.故選：A15.如圖，點為正方形的中心，△為正三角形,平面⊥平面，是線段的中點，則以下命題中正確的是（）．A. B.C.A、、三點共線 D.直線與相交【答案】D【解析】取中點F，連接,取中點H，連接.又△為正三角形，則，，又平面⊥平面，平面平面，則平面，平面，又平面，平面，則，，設(shè)，則,則，則.故選項A判斷錯誤；假設(shè)，又，，平面，則平面，又平面，則，這與矛盾，故假設(shè)不成立，不互相垂直.故選項B判斷錯誤；由平面，可得直線平面，假設(shè)A、、三點共線，則，則平面，這與平面矛盾，故假設(shè)不成立.故選項C判斷錯誤；由，可得，，則四邊形為梯形，則直線與相交.故選項D判斷正確.故選：D.16.設(shè)，有如下兩個命題：①函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點；②存在唯一的正方形，其四個頂點都在函數(shù)的圖象上．則下列說法正確的是（）A.①正確，②正確 B.①正確，②不正確C.①不正確，②正確 D.①不正確，②不正確【答案】B【解析】對①：令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，函數(shù)的圖象與圓的圖象如圖所示：故函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點，故①正確；對②：由，故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，顯然，當(dāng)時，，點在函數(shù)圖像外側(cè)，則，此時；利用極限思想，時，，此時；時，，此時，如圖所示，故至少兩個正方形，故②錯誤.故選：B.三、解答題17.已知函數(shù)，記，，，.（1）若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，求和的值；（2）若，，函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)的最小正周期，所以，則當(dāng)時，，所以，得，因為，所以取得，（2）解法一：當(dāng)，時，，，設(shè)，由題意得，在有解，化簡得，又在上單調(diào)遞減，所以，則.解法二：當(dāng)，時，，，設(shè)，由題意得，在有解，記，對稱軸為，則由根的分布可得，即，解得，所以.18.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點是的中點，點在上，異面直線與所成的角是．（1）求證：；（2）若，，求二面角的大?。?）證明；因為，所以是直線與所成角，為，所以，得，又因為，且，平面，平面，所以平面，由平面，得．（2）解：解法一：取的中點，連接，，．因為，所以四邊形為菱形，所以．取中點，連接，，．則，，所以為所求二面角的平面角．又，所以．在中，由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形，因此二面角E?AG?C的大小為．解法二：以為坐標(biāo)原點，分別以、、的方向為、、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意得，，，，故，，，設(shè)是平面的一個法向量．由，可得，取，可得平面的一個法向量．設(shè)是平面一個法向量．由，可得，取，可得平面的一個法向量．所以．因此二面角E?AG?C的大小為．19.有標(biāo)號依次為1，2，…，(，)的個盒子，標(biāo)號為1號的盒子里有3個紅球和3個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球．現(xiàn)從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進(jìn)行到從號盒子里取出2個球放入號盒子為止．（1）當(dāng)時，求2號盒子里有2個紅球的概率；（2）設(shè)號盒子中紅球個數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布及，并猜想的值（無需證明此猜想）．解：（1）由題可知2號盒子里有2個紅球的概率為；（2）由題可知可取，，，，所以3號盒子里的紅球的個數(shù)的分布列為：；猜想，理由如下：當(dāng)時，設(shè)號盒子里有3個紅球的概率為，有2個紅球的概率為，則號盒子里有1個