高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西南寧市2025屆普通高中畢業(yè)班第三次適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.所以.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于集合，由得，所以或，所以．故選：D．3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以．故選：C．4.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】假設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得,所以，所以，故，則則．故選：C．5.若拋物線上一點(diǎn)A到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別是5和3，則p的值為（）A.1或8 B.1或9 C.2或8 D.2或9【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，已知點(diǎn)到對稱軸的距離為，因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為軸，所以，則．

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，把代入可得，則．拋物線的準(zhǔn)線方程為，已知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以．把代入可得．

去分母，得到．解得或．

故選：B．6.設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】令，定義域?yàn)镽,且，則為偶函數(shù).由于曲線與恰有一個交點(diǎn),則只有唯一的零點(diǎn)，即，解得.故選：D.7.過點(diǎn)直線l與曲線相切于點(diǎn)B，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】依題意，設(shè)，由，則，則，化簡得，解得，故，故．故選：B．8.如圖，正方形的邊長為1，、分別是邊、邊上的點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)闹荛L為2時，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，，，則，，于是，又的周長為2，即，變形可得，于是，又，所以，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.的內(nèi)角的對邊分別為，且，，邊的中線，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C.的面積為 D.的外接圓的面積為【答案】ACD【解析】由，根據(jù)正弦定理得，，整理得，因?yàn)閟inB>0，所以得，解得，故A正確；因?yàn)闉檫叺闹芯€，所以，整理得，即，又，解得或（舍），所以，故B錯誤；，故C正確；根據(jù)余弦定理，，即，解得，又由正弦定理得，解得，所以的外接圓的面積為，故D正確.故選：ACD.10.在棱長為a的正方體中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，，，則下列說法正確的是（）A.若，則平面B若，則平面ABPC.若，則存在，使D.若，則存在，使平面DPB【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，若，則，則點(diǎn)在線段上，如圖．因平面平面，且平面平面，平面平面，故，因平面平面，故平面，同理可證平面，因平面平面，且，故有平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?，故A正確；對于B選項(xiàng)，若，則（為的中點(diǎn)）如下圖，又因?yàn)?，所以．，又因?yàn)槠矫妫矫?，故B正確；對于選項(xiàng)，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，.因?yàn)?，，，所以，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.若，則，，.假設(shè)存在，使，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，可得，此方程無解，所以不存在，使，選項(xiàng)錯誤.對于選項(xiàng)，若，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，由得，代入得，即，，令，則，，所以.若平面，則與平面的法向量平行，即存在實(shí)數(shù)，使得，，可得，由代入得，解得，所以存在，使平面，選項(xiàng)正確.故選：ABD．11.已知直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M、N分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)Q在橢圓上，則（）A.B.若橢圓的離心率為，則直線MA，MB的斜率之積為C.若直線BQ平行于x軸，則D.若，則橢圓的離心率為【答案】AC【解析】如圖，直線l與交于G，對于A，由題意可知是中位線，故，故A正確；對于B，設(shè)，則，且即，且，所以，故B錯誤；對于C，設(shè)點(diǎn)，則直線，因?yàn)橹本€平行于x軸，所以點(diǎn)的中點(diǎn)，所以由點(diǎn)G在直線l上且得，解得，即，因此，故C正確.對于D，若，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，解得，.因?yàn)樵跈E圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，即，又，化簡可得.等式兩邊同時除以，設(shè)，則，解得或（舍去），所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】2【解析】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，則其，，則的展開式中的系數(shù)為.故答案為：2.13.已知圓柱M的底面半徑為3，高為，圓錐N的底面直徑和母線長相等．若圓柱M和圓錐N的體積相等，則圓錐N的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】圓柱的體積為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長為，故圓錐的高為，則，故，解得，所以圓錐的高，畫出圓錐的軸截面對應(yīng)的三角形BCD如下圖所示，則圖中，圓錐的外接球半徑為，，則，解得．故圓錐的外接球表面積為．故答案為：14.某志愿者協(xié)會安排甲、乙等5名志愿者到A、B、C三個社區(qū)進(jìn)行志愿者服務(wù)，要求每個社區(qū)都要有志愿者去，且甲和乙都不能去A社區(qū)，則不同的安排方式有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】62【解析】因?yàn)榧缀鸵叶疾荒苋社區(qū)，對A社區(qū)去的志愿者人數(shù)進(jìn)行分類討論：若去社區(qū)只有1個人，有3種情況，然后將剩余4人分為兩組，再將這兩組分配給兩個社區(qū)，此時有種不同的安排方式；若去社區(qū)有2人，有種情況，然后將剩余3人分為兩組，再將這兩組分配給兩個社區(qū)，此時有種不同安排方式；若去社區(qū)有3人，只需將甲，乙兩人分配給社區(qū)即可，每個社區(qū)1個人，此時有種不同的安排方式．由分類加法計數(shù)原理可知，不同的安排方式種數(shù)為種．故答案為：62.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在雙曲線上，其一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積．解：（1）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為，又其漸近線方程為，即①，又點(diǎn)在雙曲線上，代入得②，聯(lián)立①②，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線過點(diǎn)且傾斜角為，故其方程為，將其代入雙曲線方程，聯(lián)立得，化簡得，解得和，代入直線，求得和，即直線與雙曲線的交點(diǎn)，所以.16.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個數(shù)記為．若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，得，所以．當(dāng)時，聯(lián)立，兩式相減可得：，化簡得，因?yàn)椋裕蕯?shù)列是以，公差的等差數(shù)列，所以.（2）由，得，即，，是以4為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，所以.因，即，即，所以．17.等腰梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E為中點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，點(diǎn)O，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)（如圖2）．（1）求證：平面平面；（2）如果，平面平面，那么側(cè)棱上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求平面與平面夾角的余弦值，若不存在，請說明理由．（1）證明：因?yàn)榍?，故四邊形是平行四邊形，則，又為等腰梯形且，可得是等邊三角形．故四邊形BCEA為菱形，是等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，同理可證．又，且平面，所以平面，又BE在平面BCDE內(nèi)，所以平面平面.（2）解：存在點(diǎn)P，使得平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又，建立以為原點(diǎn)，所在直線為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，要使平面，則，即，解得，故在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，此時，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，即，設(shè)平面與平面夾角為，所以，故平面與平面的夾角的余弦值為．18.甲、乙兩位選手進(jìn)行乒乓球擂臺賽，比賽規(guī)則如下：①擂臺賽開始時，擂主由抽簽決定，甲和乙成為初始擂主的概率均為0.5；②每局比賽無平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失敗，則挑戰(zhàn)者成為新任擂主；③當(dāng)某位選手連續(xù)兩次擔(dān)任擂主〈不包含初始擂主）時，比賽立即結(jié)束，該選手獲得勝利．（1）若甲是初始擂主，求比賽在前三局內(nèi)結(jié)束的概率；（2）已知甲是初始擂主，求比賽在第四局結(jié)束的條件下甲最終獲勝的概率；（3）求甲成為最終獲勝者的概率．解：（1）甲是初始擂主時，比賽在前三局內(nèi)結(jié)束包含以下情況：甲連勝兩局，概率為，乙連勝兩局，概率為；甲勝第一局乙連勝后兩局，概率為；乙勝第一局甲連勝后兩局，概率為；設(shè)事件A為比賽在前三局內(nèi)結(jié)束，則；答：比賽在前三局內(nèi)結(jié)束的概率為.（2）設(shè)事件為比賽在第四局結(jié)束，設(shè)事件為甲最終獲勝，設(shè)事件為乙最終獲勝．則比賽在第四結(jié)局結(jié)束且甲最終獲勝，只可能是甲勝第一局，乙勝第二局，甲連勝后兩局，故.比賽在第四結(jié)局結(jié)束且乙最終獲勝，只可能是乙勝第一局，甲勝第二局，乙連勝后兩局，則其概率為，故；故比賽在第四局結(jié)束條件下甲最終獲勝的概率；答：比賽在第四局結(jié)束的條件下甲最終獲勝的概率為.（3）定義：狀態(tài)：當(dāng)前擂主為甲，且未連勝．設(shè)此狀態(tài)下甲最終獲勝的概率為；狀態(tài)：當(dāng)前播主為甲，且連勝一次．設(shè)此狀態(tài)下甲最終獲勝的概率為；狀態(tài)：當(dāng)前播主為乙，且未連勝．設(shè)此狀態(tài)下甲最終獲勝的概率為；狀態(tài)：當(dāng)前擂主為乙，且連勝一次．設(shè)此狀態(tài)下甲最終獲勝的概率為．當(dāng)狀態(tài)為時，甲守播成功（概率為0.6），進(jìn)入狀態(tài)；甲失?。ǜ怕蕿?.4），進(jìn)入狀態(tài)，可得，，當(dāng)狀態(tài)為時，甲守擂成功（概率為0.6），比賽結(jié)束；甲失?。ǜ怕蕿?.4），進(jìn)入狀態(tài)，可得，；當(dāng)狀態(tài)為時，乙守擂成功（概率為0.6），進(jìn)入狀態(tài)；乙失敗（概率為0.4），進(jìn)入狀態(tài)，可得，；當(dāng)狀態(tài)為時，乙守擂成功（概率為0.6），比賽結(jié)束；乙失敗（概率為0.4），進(jìn)入狀態(tài)，可得，；綜合以上四個方程，可解得，．又擂臺賽開始時，擂主由抽簽決定，甲和乙成為初始擂主的概率均為0.5，故甲成為最終獲勝者的概率.19.對于正整數(shù)n，定義函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)；（2）證明：當(dāng)n為奇數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間上至少存在2個極值點(diǎn)；（3）證明：對于任意實(shí)數(shù)x，有，并指出等號成立時x的取值．（1）解：依題意.令，即或或，解得函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)為.（2）證明：方法一：依題意，對函數(shù)求導(dǎo)，得：，當(dāng)時，當(dāng)時，又為奇數(shù)，故，由零點(diǎn)存在性定理，則存在使得且為極大值點(diǎn)．又函數(shù)在區(qū)間連續(xù)且一個對稱中心為．故存在為的極小值點(diǎn)，故在至少存在2個極值點(diǎn)．方法二：．取，，由零點(diǎn)存在定理，使得，且均為變號零點(diǎn)，則在至少存在2個極值點(diǎn).（3）證明：由（2）知，由于，可得，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)所有的符號一致且，此時，解得，則，或，解得，，綜上或廣西南寧市2025屆普通高中畢業(yè)班第三次適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.所以.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于集合，由得，所以或，所以．故選：D．3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．4.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】假設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得,所以，所以，故，則則．故選：C．5.若拋物線上一點(diǎn)A到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別是5和3，則p的值為（）A.1或8 B.1或9 C.2或8 D.2或9【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，已知點(diǎn)到對稱軸的距離為，因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為軸，所以，則．

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，把代入可得，則．拋物線的準(zhǔn)線方程為，已知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以．把代入可得．

去分母，得到．解得或．

故選：B．6.設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】令，定義域?yàn)镽,且，則為偶函數(shù).由于曲線與恰有一個交點(diǎn),則只有唯一的零點(diǎn)，即，解得.故選：D.7.過點(diǎn)直線l與曲線相切于點(diǎn)B，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】依題意，設(shè)，由，則，則，化簡得，解得，故，故．故選：B．8.如圖，正方形的邊長為1，、分別是邊、邊上的點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)闹荛L為2時，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，，，則，，于是，又的周長為2，即，變形可得，于是，又，所以，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.的內(nèi)角的對邊分別為，且，，邊的中線，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C.的面積為 D.的外接圓的面積為【答案】ACD【解析】由，根據(jù)正弦定理得，，整理得，因?yàn)閟inB>0，所以得，解得，故A正確；因?yàn)闉檫叺闹芯€，所以，整理得，即，又，解得或（舍），所以，故B錯誤；，故C正確；根據(jù)余弦定理，，即，解得，又由正弦定理得，解得，所以的外接圓的面積為，故D正確.故選：ACD.10.在棱長為a的正方體中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，，，則下列說法正確的是（）A.若，則平面B若，則平面ABPC.若，則存在，使D.若，則存在，使平面DPB【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，若，則，則點(diǎn)在線段上，如圖．因平面平面，且平面平面，平面平面，故，因平面平面，故平面，同理可證平面，因平面平面，且，故有平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?，故A正確；對于B選項(xiàng)，若，則（為的中點(diǎn)）如下圖，又因?yàn)椋裕?，又因?yàn)槠矫妫矫妫蔅正確；對于選項(xiàng)，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，.因?yàn)?，，，所以，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.若，則，，.假設(shè)存在，使，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，可得，此方程無解，所以不存在，使，選項(xiàng)錯誤.對于選項(xiàng)，若，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，由得，代入得，即，，令，則，，所以.若平面，則與平面的法向量平行，即存在實(shí)數(shù)，使得，，可得，由代入得，解得，所以存在，使平面，選項(xiàng)正確.故選：ABD．11.已知直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M、N分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)Q在橢圓上，則（）A.B.若橢圓的離心率為，則直線MA，MB的斜率之積為C.若直線BQ平行于x軸，則D.若，則橢圓的離心率為【答案】AC【解析】如圖，直線l與交于G，對于A，由題意可知是中位線，故，故A正確；對于B，設(shè)，則，且即，且，所以，故B錯誤；對于C，設(shè)點(diǎn)，則直線，因?yàn)橹本€平行于x軸，所以點(diǎn)的中點(diǎn)，所以由點(diǎn)G在直線l上且得，解得，即，因此，故C正確.對于D，若，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，解得，.因?yàn)樵跈E圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，即，又，化簡可得.等式兩邊同時除以，設(shè)，則，解得或（舍去），所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】2【解析】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，則其，，則的展開式中的系數(shù)為.故答案為：2.13.已知圓柱M的底面半徑為3，高為，圓錐N的底面直徑和母線長相等．若圓柱M和圓錐N的體積相等，則圓錐N的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】圓柱的體積為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長為，故圓錐的高為，則，故，解得，所以圓錐的高，畫出圓錐的軸截面對應(yīng)的三角形BCD如下圖所示，則圖中，圓錐的外接球半徑為，，則，解得．故圓錐的外接球表面積為．故答案為：14.某志愿者協(xié)會安排甲、乙等5名志愿者到A、B、C三個社區(qū)進(jìn)行志愿者服務(wù)，要求每個社區(qū)都要有志愿者去，且甲和乙都不能去A社區(qū)，則不同的安排方式有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】62【解析】因?yàn)榧缀鸵叶疾荒苋社區(qū)，對A社區(qū)去的志愿者人數(shù)進(jìn)行分類討論：若去社區(qū)只有1個人，有3種情況，然后將剩余4人分為兩組，再將這兩組分配給兩個社區(qū)，此時有種不同的安排方式；若去社區(qū)有2人，有種情況，然后將剩余3人分為兩組，再將這兩組分配給兩個社區(qū)，此時有種不同安排方式；若去社區(qū)有3人，只需將甲，乙兩人分配給社區(qū)即可，每個社區(qū)1個人，此時有種不同的安排方式．由分類加法計數(shù)原理可知，不同的安排方式種數(shù)為種．故答案為：62.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在雙曲線上，其一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積．解：（1）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為，又其漸近線方程為，即①，又點(diǎn)在雙曲線上，代入得②，聯(lián)立①②，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線過點(diǎn)且傾斜角為，故其方程為，將其代入雙曲線方程，聯(lián)立得，化簡得，解得和，代入直線，求得和，即直線與雙曲線的交點(diǎn)，所以.16.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個數(shù)記為．若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，得，所以．當(dāng)時，聯(lián)立，兩式相減可得：，化簡得，因?yàn)?，所以，故?shù)列是以，公差的等差數(shù)列，所以.（2）由，得，即，，是以4為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，所以.因，即，即，所以．17.等腰梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E為中點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，點(diǎn)O，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)（如圖2）．（1）求證：平面平面；（2）如果，平面平面，那么側(cè)棱上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求平面與平面夾角的余弦值，若不存在，請說明理由．（1）證明：因?yàn)榍?，故四邊形是平行四邊形，則，又為等腰梯形且，可得是等邊三角形．故四邊形BCEA為菱形，是等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，同理可證．又，且平面，所以平面，又BE在平面BCDE內(nèi)，所以平面平面.（2）解：存在點(diǎn)P，使得平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又，建立以為原點(diǎn)，所在直線為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，要使平面，則，即，解得，故在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，此時，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，即，設(shè)平面與平面夾角為，所以，故平面與平面的夾角的余弦值為．18.甲、乙兩位選手進(jìn)行乒乓球擂臺賽，比賽規(guī)則如下：①擂臺賽開始時，擂主由抽簽決定，甲和乙成為初始擂主的概率均為0.5；②每局比賽無平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失敗，則挑戰(zhàn)者成為新任擂主；③當(dāng)某位選手連續(xù)兩次擔(dān)任擂主〈不包含初始擂主）時，比賽立即結(jié)束，該選手獲得勝利．（1）若甲是初始擂主，求比賽在前三局內(nèi)結(jié)束的概率；（2）已知甲是初始擂主，求比賽在第四局結(jié)束的條件下甲最終獲勝的概率；（3）求甲成為最終獲勝者的概率．解：（1）甲是初始擂主時，比賽在前三局內(nèi)結(jié)束包含以下情況：甲連勝兩局，概率為，乙連勝兩局，概率為；甲勝第一局乙連勝后兩局，概率為；乙勝第一局甲連勝后兩局，概率為；設(shè)事件A