高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市漣源市2025屆高三下學(xué)期沖刺模擬考試(一)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，得，則，所以，所以．故選：B．2.已知命題，，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題，是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以的否定為，．故選：C．3.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需要解得．故選：D．4.設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”的（）A.充分必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，即．又是的真子集，故“”是“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”的充分不必要條件．故選：C．5.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，∴．解得，又∵，則．∴雙曲線的離心率．故選：C．6.一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．某同學(xué)將一個(gè)直角三角形硬紙板繞斜邊所在的直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到如圖所示的旋轉(zhuǎn)體．測量出為2，上、下旋轉(zhuǎn)面的面積比是，則的長度是（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】設(shè)與的交點(diǎn)為，，，則，，．由是直角，得，即，得．①又由上、下旋轉(zhuǎn)面的面積比是，得，即，所以．②①②兩式聯(lián)立，整理得，解得（舍負(fù)值），可得，則．故選:A．7.已知直線，過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】函數(shù)，，其圖象的對稱中心為點(diǎn)，代入直線方程得．則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，所以的最小值為9．故選：D8.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，作出函數(shù)的大致圖象，如圖．令，由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根．因?yàn)殛P(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以關(guān)于的方程的一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)，或一個(gè)根為0，另一個(gè)根在內(nèi)．當(dāng)為方程的根時(shí)，，且方程的另一根為．當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符合題意．當(dāng)為方程的根時(shí)，有，則或．當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符合題意．所以關(guān)于的方程的一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)．令，則Δ>0,h(0)>0,h1<0,即綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)，其圖象平移后可得到函數(shù)的圖象的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對于A，函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故A正確；對于B，函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍可得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)，其圖象向左平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)圖象，故D正確．故選：ABD10.一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于15%，且這個(gè)比值越大，通風(fēng)效果越好．（）A.若教室的窗戶面積與地面面積之和為，則窗戶面積至少應(yīng)該為B.若窗戶面積和地面面積都增加原來的10%，則教室通風(fēng)效果不變C.若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風(fēng)效果變好D.若窗戶面積第一次增加了m%，第二次增加了,地面面積兩次都增加了，則教室的通風(fēng)效果變差【答案】BC【解析】對于A，設(shè)該公寓窗戶面積為，則地板面積為，依題意有，解得，所以，這所公寓的窗戶面積至少為，故A錯(cuò)誤；對于B，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)窗戶增加的面積為，同時(shí)地板增加的面積為，由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，所以公寓采光效果不變，故B正確；對于C，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)增加的面積為c.由題可知，，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，因?yàn)?，且，所以，?所以，同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了，故C正確；對于D，記窗戶面積為a和地板面積為b，則窗戶增加后的面積為,地板增加后的面積為，由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，采光效果不變，所以無法判斷公寓的采光效果是否變差了，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.為等差數(shù)列 B.可能為常數(shù)列C.若為遞增數(shù)列，則 D.若為遞增數(shù)列，則【答案】ABC【解析】對于A，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．顯然當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以是以為公差的等差?shù)列，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，故B正確；對于C，若為遞增數(shù)列，則，即，故C正確；對于D，若為遞增數(shù)列，由可得，由，需使，即，因，故可得，解得，故，即D錯(cuò)誤．故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)的圖象上不同兩點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為自公切線，請寫出一個(gè)有自公切線的函數(shù)______．【答案】（答案不唯一）【解析】正弦函數(shù)的圖象是周期為的波浪線.而在處，，，切線方程為，即.在處，，，切線方程為，即.可以看到和這兩點(diǎn)處的切線重合，所以有自公切線.故答案為：（答案不唯一）.13.設(shè)非零向量，，滿足，且，．若向量在上的投影向量為，則向量與的夾角是______．【答案】或【解析】因?yàn)?，即，所以，且，即．由，得，因?yàn)橄蛄吭谏系耐队跋蛄繛?，由題意得，所以．設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)椋?，所以，即與的夾角是．所以與的夾角是或.故答案為：或.14.函數(shù)，不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____【答案】【解析】因?yàn)?，所以，令，則，可得為奇函數(shù)，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立；所以，可得在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以在上恒成立，?dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)，需滿足，解得，綜上，，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，將沿直線折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，剛好點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影是點(diǎn)．過作線段平行且等于，連接，，，．設(shè)，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：由題意，，又，，∴，∴，∴，∴．又∵平面，平面，∴．∵，，平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．因?yàn)?，所以，所以，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.（1）在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們通過研究得到這樣兩個(gè)公式：①；②．請你在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明．（如果選擇兩個(gè)分別進(jìn)行證明，則按第一個(gè)證明過程給分）（2）在中，內(nèi)角，，所對的邊分則為，，，且，若的面積為，底邊上的高為1，求的周長．（1）若選①，證明如下：．若選②，證明如下：，（2）解：由題意得，由正弦定理得，所以，即，因?yàn)樵谥?，，所以．又因?yàn)?，所以解得．因?yàn)槊娣e為，所以，解得．由，解得．由余弦定理得，即，則，即，解得．故的周長為.17.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，其四個(gè)頂點(diǎn)的連線圍成的四邊形面積為．過橢圓的左、右焦點(diǎn)作兩條平行直線，與在軸上方的部分分別交于點(diǎn)，．（1）當(dāng)為的上頂點(diǎn)時(shí)，求直線的斜率；（2）求四邊形的面積的最大值．（1）解：由題意得解得所以橢圓的方程為，橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即．因?yàn)橹本€的斜率為，，所以直線的方程為．將其代入，整理得，解得或，因點(diǎn)在軸上方，所以．所以直線的斜率為．（2）由（1）及題意知，橢圓，，．如圖，設(shè)過點(diǎn)，的兩條平行線分別交橢圓于點(diǎn)，和，，由對稱性可知，四邊形是平行四邊形，且四邊形的面積是平行四邊形面積的一半．顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構(gòu)成四邊形），可設(shè)直線的方程為．代入，整理得，顯然，設(shè)，，則于是．又點(diǎn)到直線的距離，所以四邊形的面積．令，則，且，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4，此時(shí)取得最大值318.“村超”是貴州省榕江縣舉辦的“和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽”的簡稱．在2023年火爆“出圈”后，“村超”熱度不減．2024年1月6日，萬眾矚目的2024年“村超”新賽季在“村味”十足的熱鬧中拉開帷幕，一場由鄉(xiāng)村足球發(fā)起的“樂子”正轉(zhuǎn)化為鄉(xiāng)村振興的“路子”，已知甲、乙兩支足球隊(duì)常規(guī)時(shí)間比賽是平局，需要進(jìn)行點(diǎn)球比賽決定勝負(fù)．甲、乙兩隊(duì)每位球員在對方?jīng)]有守門員守球的情況下將足球踢進(jìn)對方球門的概率均為，甲、乙兩隊(duì)守門員撲出對方球員點(diǎn)球的概率分別為，．現(xiàn)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行點(diǎn)球大賽，每次由一方隊(duì)員踢球，另一方守門員進(jìn)行守球，輪流進(jìn)行，兩隊(duì)各有一名球員踢球結(jié)束為1輪對抗．經(jīng)過數(shù)輪對抗后，當(dāng)一方球隊(duì)比另一方球隊(duì)多進(jìn)2個(gè)球時(shí)，比賽結(jié)束．假定甲、乙球隊(duì)互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．記在1輪對抗中，甲隊(duì)踢進(jìn)足球?yàn)槭录?，乙?duì)踢進(jìn)足球?yàn)槭录?）求，；（2）經(jīng)過1輪對抗，甲隊(duì)與乙隊(duì)踢進(jìn)足球數(shù)之差為，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）求恰好在第4輪對抗后比賽結(jié)束且甲隊(duì)獲勝的概率．解：（1）依題意，，．（2）依題意，的可能取值為，，，，，，所以的分布列為01所以．（3）若乙隊(duì)踢進(jìn)0個(gè)球，則甲隊(duì)比乙隊(duì)多進(jìn)2個(gè)球，且第4輪甲隊(duì)進(jìn)球，其概率為；若乙隊(duì)踢進(jìn)1個(gè)球，則甲隊(duì)比乙隊(duì)多進(jìn)2個(gè)球，且第4輪甲隊(duì)進(jìn)球，乙隊(duì)未進(jìn)球，前3輪中不出現(xiàn)甲在前2輪進(jìn)2球，乙在第3輪進(jìn)球，其概率為；若乙隊(duì)踢進(jìn)2個(gè)球，則甲隊(duì)比乙隊(duì)多進(jìn)2個(gè)球，且第4輪甲隊(duì)進(jìn)球，乙隊(duì)未進(jìn)球，其概率為，所以恰好在第4輪對抗后比賽結(jié)束且甲隊(duì)獲勝的概率為.19.請同學(xué)們閱讀以下三段材料：①若函數(shù)導(dǎo)數(shù)為，則的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的三階導(dǎo)數(shù)，記作；三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的四階導(dǎo)數(shù)，……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的階導(dǎo)數(shù)，即，．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對于，有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求在點(diǎn)處的3階泰勒展開式；（2）設(shè)在點(diǎn)處的3階泰勒展開式為，試比較與的大??；（3）已知常數(shù)，證明：當(dāng)無限大時(shí)，總有．（1）解：∵，，∴，，，∴，，，∴在點(diǎn)處的3階泰勒展開式為．（2）解：依題意，得．令，則．∵，在上單調(diào)遞增．又∵，∴在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增，∴，即，故（在時(shí)取等號）．（3）證明：已知常數(shù)，不妨令，則不等式．令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由，得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，又，而趨近于正無窮大時(shí)，趨近于，因此存在大于e的正數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，．綜上可知，對于，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，∴對于，存在正數(shù)，使得，恒成立．已知常數(shù)，不妨令，，不等式．令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴令，，求導(dǎo)得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，∴存在，使得，?dāng)，即時(shí)，，恒成立．當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，對于，恒成立．因此對于，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，∴對于，存在正數(shù)，使得，恒成立．取，對于任意，成立，即當(dāng)足夠大時(shí)，總有湖南省婁底市漣源市2025屆高三下學(xué)期沖刺模擬考試(一)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，得，則，所以，所以．故選：B．2.已知命題，，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題，是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以的否定為，．故選：C．3.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需要解得．故選：D．4.設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”的（）A.充分必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，即．又是的真子集，故“”是“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”的充分不必要條件．故選：C．5.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，∴．解得，又∵，則．∴雙曲線的離心率．故選：C．6.一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．某同學(xué)將一個(gè)直角三角形硬紙板繞斜邊所在的直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到如圖所示的旋轉(zhuǎn)體．測量出為2，上、下旋轉(zhuǎn)面的面積比是，則的長度是（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】設(shè)與的交點(diǎn)為，，，則，，．由是直角，得，即，得．①又由上、下旋轉(zhuǎn)面的面積比是，得，即，所以．②①②兩式聯(lián)立，整理得，解得（舍負(fù)值），可得，則．故選:A．7.已知直線，過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】函數(shù)，，其圖象的對稱中心為點(diǎn)，代入直線方程得．則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，所以的最小值為9．故選：D8.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，作出函數(shù)的大致圖象，如圖．令，由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根．因?yàn)殛P(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以關(guān)于的方程的一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)，或一個(gè)根為0，另一個(gè)根在內(nèi)．當(dāng)為方程的根時(shí)，，且方程的另一根為．當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符合題意．當(dāng)為方程的根時(shí)，有，則或．當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符合題意．所以關(guān)于的方程的一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)．令，則Δ>0,h(0)>0,h1<0,即綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)，其圖象平移后可得到函數(shù)的圖象的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對于A，函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故A正確；對于B，函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍可得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)，其圖象向左平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)圖象，故D正確．故選：ABD10.一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于15%，且這個(gè)比值越大，通風(fēng)效果越好．（）A.若教室的窗戶面積與地面面積之和為，則窗戶面積至少應(yīng)該為B.若窗戶面積和地面面積都增加原來的10%，則教室通風(fēng)效果不變C.若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風(fēng)效果變好D.若窗戶面積第一次增加了m%，第二次增加了,地面面積兩次都增加了，則教室的通風(fēng)效果變差【答案】BC【解析】對于A，設(shè)該公寓窗戶面積為，則地板面積為，依題意有，解得，所以，這所公寓的窗戶面積至少為，故A錯(cuò)誤；對于B，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)窗戶增加的面積為，同時(shí)地板增加的面積為，由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，所以公寓采光效果不變，故B正確；對于C，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)增加的面積為c.由題可知，，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，因?yàn)?，且，所以，?所以，同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了，故C正確；對于D，記窗戶面積為a和地板面積為b，則窗戶增加后的面積為,地板增加后的面積為，由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，采光效果不變，所以無法判斷公寓的采光效果是否變差了，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.為等差數(shù)列 B.可能為常數(shù)列C.若為遞增數(shù)列，則 D.若為遞增數(shù)列，則【答案】ABC【解析】對于A，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．顯然當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以是以為公差的等差?shù)列，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，故B正確；對于C，若為遞增數(shù)列，則，即，故C正確；對于D，若為遞增數(shù)列，由可得，由，需使，即，因，故可得，解得，故，即D錯(cuò)誤．故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)的圖象上不同兩點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為自公切線，請寫出一個(gè)有自公切線的函數(shù)______．【答案】（答案不唯一）【解析】正弦函數(shù)的圖象是周期為的波浪線.而在處，，，切線方程為，即.在處，，，切線方程為，即.可以看到和這兩點(diǎn)處的切線重合，所以有自公切線.故答案為：（答案不唯一）.13.設(shè)非零向量，，滿足，且，．若向量在上的投影向量為，則向量與的夾角是______．【答案】或【解析】因?yàn)?，即，所以，且，即．由，得，因?yàn)橄蛄吭谏系耐队跋蛄繛椋深}意得，所以．設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，所以，所以，即與的夾角是．所以與的夾角是或.故答案為：或.14.函數(shù)，不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____【答案】【解析】因?yàn)?，所以，令，則，可得為奇函數(shù)，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立；所以，可得在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以在上恒成立，?dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)，需滿足，解得，綜上，，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，將沿直線折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，剛好點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影是點(diǎn)．過作線段平行且等于，連接，，，．設(shè)，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：由題意，，又，，∴，∴，∴，∴．又∵平面，平面，∴．∵，，平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．因?yàn)?，所以，所以，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.（1）在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們通過研究得到這樣兩個(gè)公式：①；②．請你在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明．（如果選擇兩個(gè)分別進(jìn)行證明，則按第一個(gè)證明過程給分）（2）在中，內(nèi)角，，所對的邊分則為，，，且，若的面積為，底邊上的高為1，求的周長．（1）若選①，證明如下：．若選②，證明如下：，（2）解：由題意得，由正弦定理得，所以，即，因?yàn)樵谥?，，所以．又因?yàn)?，所以解得．因?yàn)槊娣e為，所以，解得．由，解得．由余弦定理得，即，則，即，解得．故的周長為.17.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，其四個(gè)頂點(diǎn)的連線圍成的四邊形面積為．過橢圓的左、右焦點(diǎn)作兩條平行直線，與在軸上方的部分分別交于點(diǎn)，．（1）當(dāng)為的上頂點(diǎn)時(shí)，求直線的斜率；（2）求四邊形的面積的最大值．（1）解：由題意得解得所以橢圓的方程為，橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即．因?yàn)橹本€的斜率為，，所以直線的方程為．將其代入，整理得，解得或，因點(diǎn)在軸上方，所以．所以直線的斜率為．（2）由（1）及題意知，橢圓，，．如圖，設(shè)過點(diǎn)，的兩條平行線分別交橢圓于點(diǎn)，和，，由對稱性可知，四邊形是平行四邊形，且四邊形的面積是平行四邊形面積的一半．顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構(gòu)成四邊形），可設(shè)直線的方程為．代入，整理得，顯然，設(shè)，，則于是．又點(diǎn)到直線的距離，所以四邊形的面積．令，則，且，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4，此時(shí)取得最大值318.“村超”是貴州省榕江縣舉辦的“和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽”的簡稱．在2023年火爆“出圈”后，“村超”熱度不減．2024年1月6日，萬眾矚目的2024年“村超”新賽季在“村味”十足的熱鬧中拉開帷幕，一場由鄉(xiāng)村足球發(fā)起的“樂子”正轉(zhuǎn)化為鄉(xiāng)村振興的“路子”，已知甲、乙兩支足球隊(duì)常規(guī)時(shí)間比賽是平局，需要進(jìn)行點(diǎn)球比賽決定勝負(fù)．甲、乙兩隊(duì)每位球員在對方?jīng)]有守門員守球的情況下將足球踢進(jìn)對方球門的概率均為，甲、乙兩隊(duì)守門員撲出對方球員點(diǎn)球的概率分別為，．現(xiàn)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行點(diǎn)球大賽，每次由一方隊(duì)員踢球，另一方守門員進(jìn)行守球，輪流進(jìn)行，兩隊(duì)各有一名球員踢球結(jié)束為1輪對抗．經(jīng)過數(shù)輪對抗