2025年福建省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（4分）下列實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．22．（4分）中國(guó)古算詩(shī)詞歌賦較多．古算詩(shī)詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪漫形式．下列分別是古算詩(shī)詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）若x?1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．24．（4分）福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”——云紋青銅大鐃，如圖1．云紋青銅大鐃是西周樂(lè)器，鼓飾變形獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風(fēng)穩(wěn)重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝煌．圖2為其示意圖，它的主視圖是（）A． B． C． D．5．（4分）不等式12xA． B． C． D．6．（4分）在分別寫(xiě)有﹣1，1，2的三張卡片中，不放回地隨機(jī)抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概率是（）A．14 B．13 C．127．（4分）某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．當(dāng)AD∥BC時(shí)，∠ADE的大小為（）A．5° B．15° C．25° D．35°8．（4分）為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，增加學(xué)生實(shí)踐機(jī)會(huì)，某校擬用總長(zhǎng)為5米的籬笆，在兩邊都足夠長(zhǎng)的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實(shí)踐基地，如圖所示．設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程（）A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝69．（4分）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C．AB∥PC，且交⊙O于點(diǎn)B．若∠P＝30°，則∠BCP的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°10．（4分）已知點(diǎn)A（﹣2，y1），B（1，y2）在拋物線y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，則下列判斷正確的是（）A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對(duì)自己的體重進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計(jì)．為方便記錄，他將體重增加1.5kg記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作．12．（4分）某房梁如圖所示，立柱AD⊥BC，E，F(xiàn)分別是斜梁AB，AC的中點(diǎn)．若AB＝AC＝8m，則DE的長(zhǎng)為m．13．（4分）若反比例函數(shù)y=kx的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣2，1），則常數(shù)k＝14．（4分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OA＝2，OD＝1，則△AOE與△DOF的面積之和為．15．（4分）某公司為選拔英語(yǔ)翻譯員，舉行聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)綜合測(cè)試，其中聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)成績(jī)（百分制）按4：3：2：1的比例計(jì)算最終成績(jī)．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)及最終成績(jī)?nèi)绫恚喉?xiàng)目員工聽(tīng)說(shuō)讀寫(xiě)最終成績(jī)甲A70809082乙B90807082由以上信息，可以判斷A，B的大小關(guān)系是AB．（填“＞”“＝”或“＜”）16．（4分）彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的．胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力F的大小與彈簧伸長(zhǎng)（或壓縮）的長(zhǎng)度x成正比，即F＝kx，其中k為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；質(zhì)量為m的物體重力為mg，其中g(shù)為常數(shù)．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為6厘米．在其彈性限度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米時(shí)，所掛物體的質(zhì)量為千克．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（8分）計(jì)算：20+|1?218．（8分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD的延長(zhǎng)線上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求證：AB＝AD．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：(2+1?aa)÷a20．（8分）甲、乙兩人是新華高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員．以下是他們?cè)趨⒓痈咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊(duì)員集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息．信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)（單位：分）日期隊(duì)員2月10日2月21月3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成績(jī)的平均數(shù)分別是x甲=85，x乙=85；方差分別是s甲2＝58.4，s乙信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線（單位：分）年份20202021202220232024獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線9089908990試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，解決以下問(wèn)題：（1）計(jì)算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對(duì)甲、乙的成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)；（2）計(jì)算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說(shuō)明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，選誰(shuí)更合適；（3）若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰(shuí)更合適？為什么？21．（8分）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，CE⊥BC，垂足為C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF過(guò)點(diǎn)A，BE交CD于點(diǎn)G．（1）求∠DCE的大小；（2）求證：△CEG是等邊三角形．22．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB＜AD．（1）求作正方形EFGH，使得點(diǎn)E，G分別落在邊AD，BC上，點(diǎn)F，H落在BD上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的邊長(zhǎng)．23．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，t），B（2，t）．（1）求ba（2）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的最大值為1?3（i）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，且m≠0，求證：(x24．（12分）閱讀材料，回答問(wèn)題．【主題】?jī)蓚€(gè)正數(shù)的積與商的位數(shù)探究．【提出問(wèn)題】小明是一位愛(ài)思考的小學(xué)生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時(shí)，他根據(jù)提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個(gè)（m+n﹣1）位的正整數(shù)．【分析探究】問(wèn)題1小明的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；否則，請(qǐng)舉出反例．【推廣延伸】小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問(wèn)題的研究推廣到有理數(shù)的乘法，進(jìn)而遷移到對(duì)除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，規(guī)定：如果一個(gè)正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n，則稱這個(gè)數(shù)的位數(shù)是n+1，數(shù)字是a．借此，小華研究了兩個(gè)數(shù)乘積的位數(shù)問(wèn)題，提出并證明了以下命題．命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且A×B＝C，則必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，當(dāng)c≥a且c≥b時(shí)，p＝m+n﹣1；當(dāng)c＜a且c＜b時(shí)，p＝m+n．證明：依題意知，A，B，C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均為正數(shù)．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1，即abc當(dāng)c≥a且c≥b時(shí)，ac≤1，所以abc≤b＜10，又abc≥ac＞110當(dāng)c≥a且c＜b時(shí)，ac≤1bc＞1當(dāng)c＜a且c≥b時(shí)，①；當(dāng)c＜a且c＜b時(shí)，②．綜上所述，命題成立．【拓展遷移】問(wèn)題2若正數(shù)A、B的位數(shù)分別為m，n，那么AB（1）解決問(wèn)題1；（2）請(qǐng)把①②所缺的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（3）解決問(wèn)題2．25．（14分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，AC，BD相交于點(diǎn)F．G是AB上一點(diǎn)，GD交AC于點(diǎn)H，且AB＝AC，BG＝DG．（1）求證：∠ABC＝∠DBE+∠E；（2）求證：AH2＝HF?HC；（3）若tan∠ABC=5，AD＝2DE，CD=6，求△

題號(hào)12345678910答案A．DDACBBCCA11．【答案】﹣1．【解答】解：為方便記錄，他將體重增加1.5kg記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作﹣1．故答案為：﹣1．12．【答案】4．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵E是AB的中點(diǎn)，∴DE=12AB=1故答案為：4．13．【答案】﹣2．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=k∴k＝﹣2×1＝﹣2，故答案為：﹣2．14．【答案】1．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴△DOF的面積＝△BOE的面積，∴△AOE與△DOF的面積之和＝△BOA的面積=1故答案為：1．15．【答案】＞．【解答】解：由題意得：4A+70×3+80×2+90×14+3+2+1=82，解得4B+90×3+80×2+70×14+3+2+1，解得B∵90＞80，∴A＞B，故答案為：＞．16．【答案】0.8．【解答】解：將F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx，得0.5g＝0.5k，解得k＝g，∴F與x的函數(shù)關(guān)系式為F＝gx，將x＝6.8﹣6＝0.8，F(xiàn)＝mg代入F＝gx，得mg＝0.8g，解得m＝0.8，∴當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米時(shí)，所掛物體的質(zhì)量為0.8千克．故答案為：0.8．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．【答案】?2【解答】解：原式=1+=1?1+2=?218．【答案】證明見(jiàn)解答．【解答】證明：∵∠CBE＝∠CDF，∴180°﹣∠CBE＝180°﹣∠CDF，∵∠ABC＝180°﹣∠CBE，∠ADC＝180°﹣∠CDF，∴∠ABC＝∠ADC，在△ABC和△ADC中，∠ABC=∠ADC∠ACB=∠ACD∴△ABC≌△ADC（AAS），∴AB＝AD．19．【答案】1a+1【解答】解：原式=(=a+1=1當(dāng)a=5原式==1=520．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）（2）選甲更合適，理由見(jiàn)解答；（3）選甲更合適，理由見(jiàn)解答．【解答】解：（1）由題意得：a=110×[2×（82﹣85）2+2×（83﹣85）2+（84﹣85）2+（85﹣85）2+2×（86﹣85）2+（87﹣85）2兩人的平均數(shù)相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成績(jī)更穩(wěn)定；（2）選甲更合適，理由如下：因?yàn)楫?dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線都在89分或89分以上，在兩個(gè)10次成績(jī)中，甲有4次超過(guò)89分，乙只有1次超過(guò)89分，所以甲獲獎(jiǎng)的概率更高，所以選甲更合適；（3）選甲更合適，理由如下：因?yàn)樵趦蓚€(gè)10次成績(jī)中，甲有4次達(dá)到90分或90以上，乙只有1次達(dá)到90分或90以上，所以選甲更合適．21．【答案】（1）60°；（2）見(jiàn)解析．【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°．∵D是AB的中點(diǎn)，∴∠DCB＝∠DCA=12∠ACB∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°．（2）證明：由平移可知：CD∥EF，∴∠EAC＝∠DCA＝30°，又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°，又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC，∴∠GEC=12∠AEC由（1）知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°，∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，∴△CEG是等邊三角形．22．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）102【解答】解：（1）正方形EFGH即為所求；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴BD=AB2∴OB＝OD=5∵tan∠ADB=AB∴OE=5∵四邊形EFGH是正方形，∴OE＝OH=52，EO⊥∴EH=2OE=∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為10223．【答案】（1）﹣3；（2）①y＝﹣x2+3x﹣2；②證明見(jiàn)解析．【解答】（1）解：二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象的對(duì)稱軸為直線x=?b∵點(diǎn)A（1，t），B（2，t）在該函數(shù)的圖象上，∴2?(?b∴?b∴ba（2）①解：由（1）可得，∵b＝﹣3a，∴該函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2﹣3ax﹣2，∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3∵函數(shù)的最大值為1?3∴a＜0，且?9解得a＝﹣1，或a＝4（舍去），∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+3x﹣2，②證明：∵點(diǎn)M（x1，m）在函數(shù)y＝﹣x2+3x﹣2的圖象上，∴m=?x由①知，點(diǎn)M（x1，m），N（x2，m）關(guān)于直線x=32對(duì)稱，不妨設(shè)x1＜x則x2?32=32∴(=(=(=?m(=?m(＝0，∴(x24．【答案】（1）小明的猜想不正確，反例：3×4＝12；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n+1；當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣【解答】解：（1）小明的猜想不正確，反例：3×4＝12；（2）①ac＞1，bc≤1，②ac＞1所以abc＞b＞1，又由（*）知abc=10所以p＝m+（3）當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n證明如下：由已知，A，B的位數(shù)分別為m，n，設(shè)AB=C，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則B×C＝由小華的命題知，當(dāng)a≥b時(shí)，必有a≥c，此時(shí)，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1，當(dāng)a＜b時(shí)，必有a＜c，此時(shí)，m＝n+x，所以x＝m﹣n，綜上所述，當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n25．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）36．【解答