21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系復習回顧1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)導入新課

已知矩形的長和寬分別是一元二次方程

x2-1234x+5678=0

的兩個實數(shù)根,求這個矩形的周長和面積.講授新課問題情景新課程標準要求：

知道利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以解決一些簡單的問題.學習目標：1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（難點）2.能利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（重點）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系講授新課探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一探究活動一：填表

觀察

猜想你能發(fā)現(xiàn)x1+x2，x1x2與方程系數(shù)p和q之間的關(guān)系嗎？（x2+px+q=0型）猜想：方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2滿足x1+x2=-p,x1

·x2=q一元二次方程兩根兩根之和兩根之積x1x2x1+x2x1·x2x2+3x-4=0x2-2x-8=0x2-5x+6=0-41-3-4-242-82356推導證明

若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎？得出結(jié)論如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1

·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1

·x2=q.講授新課探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一探究活動二：填表

觀察

猜想你能發(fā)現(xiàn)x1+x2，x1x2與方程系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系嗎？（ax2+bx+c=0(a≠0)型）猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根是x1,x2滿足

一元二次方程兩根兩根之和兩根之積x1x2x1+x2

x1x23x2-x-2=04x2+4x+1=02x2-7x+3=0

1

-1

3

推導證明：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么注意滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.得出結(jié)論：

（韋達定理）韋達即弗朗索瓦·韋達(Fran?oisViète，1540-1603)，出生于法國普瓦圖(今旺代省的豐特奈-勒孔特)，法國數(shù)學家，十六世紀最有影響的數(shù)學家之一。1603年12月13日卒于巴黎。年輕時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步。韋達

已知矩形的長和寬分別是一元二次方程

x2-1234x+5678=0

的兩個實數(shù)根,求這個矩形的周長和面積.問題情景再現(xiàn)(1)x2-2x-15=0；1.根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩個根x1，x2的和與積：(2)2x2+3x=5；(3)3x2-7x=0；解:(1)x1+x2=2,x1·x2=-15一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用二

在使用根與系數(shù)的關(guān)系時:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用x1+x2=－

時，“－”不要漏寫.典例精析(2)方程化為

2x2+3x-5=0(3)

(1)x2-6x+4=0解：(1)x1+x2=6x1·x2=4(3)2x2=5.練習鞏固1.不解方程，求下列方程兩個根的和與積：(2)x2+2=3x2-6x+3(3)方程化為2x2-5=0（2）方程化為2x2-6x+1=0

2.已知方程3x2-18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.

3.不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：設(shè)方程的兩根分別為x1、x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

4114126常見變形:

課堂小結(jié)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）內(nèi)容如果方程x2+p