限時練習(xí)：90min完成時間：月日天氣：作業(yè)03導(dǎo)數(shù)的幾何意義（求切線方程）與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即．直線的點斜式方程直線的點斜式方程：已知直線過點，斜率為，則直線的點斜式方程為：【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線，則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解．（1）當(dāng)點P(x0，y0)是切點時，切線方程為；（2）當(dāng)點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點坐標；第二步：寫出過的切線方程為；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程，可得過點P(x0，y0)的切線方程．導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的極小值與極小值點若函數(shù)f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，，而且在點x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值．(2)函數(shù)的極大值與極大值點若函數(shù)f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，，而且在點x＝b附近的左側(cè)，右側(cè)，則點b叫做函數(shù)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極大值．（3）極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是極值點是極值點，即：是為極值點的必要非充分條件函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．一、單選題1．曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，再結(jié)合，即可得解．【詳解】，則，又，則所求切線方程為，即．故選：A．2．已知函數(shù)，則曲線上一點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意可得，求出，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由題意可得，即，所以，所以，，則，所以曲線上一點處的切線方程為，即.故選：C.3．函數(shù)在處有極小值，則的值等于（

）A．0 B． C． D．6【答案】A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用以及解出，進而得出答案．【詳解】由題意得，因為在處有極小值，所以，解得，所以，令，解得或，故函數(shù)在和上為增函數(shù)，令，解得，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在處有極小值，符合題意，所以，故選：A.4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可求解.【詳解】當(dāng)時，，則，又為R上的奇函數(shù)，所以，則，所以，得，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：C5．已知函數(shù)，若在上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)有：要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào)，對函數(shù)求導(dǎo)，代特殊值求得，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)，可知在上恒成立，即可知，確定值并檢驗即可求解.【詳解】因為，且，所以為奇函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào)；又，且，又函數(shù)在上單調(diào)，故函數(shù)在上只能單調(diào)遞減，由，即，解得，當(dāng)時，，時，，，故有在上恒成立，經(jīng)檢驗知，時符合題意．故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出導(dǎo)數(shù)的取值情況，由此確定值并檢驗.二、多選題6．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)值可能為（）A．5 B． C．4 D．1【答案】AC【分析】函數(shù)在上單調(diào)遞減等價于在上恒成立，分離參數(shù)解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即，即在上恒成立，當(dāng)時，函數(shù)，單調(diào)遞增，所以，所以實數(shù)，故選：AC.7．已知函數(shù)，下列關(guān)于的說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．有且僅有一個零點 D．存在極大值點【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)的正負的單調(diào)性和極值，即可判斷ABD；令可判斷D.【詳解】對于AB，由題意知函數(shù)的定義域為，所以，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；故A錯誤.B正確；對于D，由上可知，是的極小值點，無極大值點.故D錯誤；令，得，當(dāng)時，，故為的唯一零點，故C正確．故選：BC8．已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點B．有一個零點C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【答案】ABC【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的概念、零點的存在性定理即可判斷AB；根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱和函數(shù)圖象的平移變換即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】A：，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以時取得極值，故A正確；B：因為，，，所以函數(shù)只在上有一個零點，即函數(shù)只有一個零點，故B正確；C：令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；D：令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移變換，其中選項C，構(gòu)造函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱推出的對稱性是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題9．曲線在點處的切線方程是．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由斜截式求出切線方程.【詳解】因為，所以，，則，即切點為，切線的斜率為，所以切線方程為.故答案為：10．函數(shù)的遞增區(qū)間是．【答案】，【分析】由題意求函數(shù)定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由題意：函數(shù)，定義域為，且，令，即，解得或，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是.故答案為：，.四、解答題11．已知函數(shù)，．(1)若曲線在點處的切線垂直于直線，求的值；(2)若，過點作曲線的切線，求此切線與坐標軸圍成的三角形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，解出在點處的切線斜率，令斜率得即可解出的值；（2）代入化簡函數(shù)，求出過點的切線方程，進而解出此切線與坐標軸圍成的三角形的面積即可.【詳解】（1）直線的斜率為，所以切線斜率為，由，，所以，則，所以.（2）如圖：由題意知：，所以，定義域為，由，則過點作曲線的切線斜率一定存在，設(shè)切點為，設(shè)切線斜率為，則，則，又因為切線過兩點，所以，所以，解得，或（舍），所以，，切線方程為，即，令，，即切線橫截距為，縱截距為，所以此切線與坐標軸圍成的三角形的面積為.12．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求在上的最值；（提示：）(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)的零點，再由零點的大小分類討論即可得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以，綜上：，；（2），當(dāng)時，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.1．已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，討論x的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，故，因為函數(shù)在上無極值，所以在R上恒成立，當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，當(dāng)時，，則.綜上，.故選：D.2．（多選）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，則a的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】將原函數(shù)存在極值點問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有異號零點問題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有交點問題，數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍，再結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由函數(shù)得，因為函數(shù)在區(qū)間上有極值，所以在區(qū)間上有異號零點，即在區(qū)間上有異號零點，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，如圖：又，由圖象可知，，所以，結(jié)合選項知，a的取值可能為或.故選：BC3．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)m的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，即可得到，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，令，則，易知單調(diào)遞增，所以.令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，得.所以的最大值為.故答案為：4．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)進行分類討論，即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）法一，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成求時，結(jié)合（1）的結(jié)論，通過對參數(shù)分類討論，利用求得參數(shù)的范圍；法二，將不等式運用參變分離法化成，故只須求的最大值即得參數(shù)的范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，因，①若，則在上單調(diào)遞增；②若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）法（一）：恒成立，即對（*）①若則，由（1）知，在上單調(diào)遞增，而，故（*）式不成立；②若由（1）知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則由，可得設(shè)，因在上恒成立，則在為增函數(shù)，又，故需使，即的取值范圍是.法（二）：因為函數(shù)的定義域是即為，可化為.設(shè)，依題意需使.因，令，因在上恒成立，則在上是減函數(shù)，又因為，所以當(dāng)時，，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，，則在上是減函數(shù).所以在處取得極大值，也是最大值，即，所以.故的取值范圍是.5．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實數(shù)a的值．(2)若存在x使得，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)3；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由是的解集，進而求出a的值.（2）變形給定不等式，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值既得.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，得是的解集，于是是方程的二根，則，解得，而當(dāng)時，，由，得，符合題意，所以實數(shù)a的值是3.（2）不等式，依題意，存在正數(shù)，使得，令，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，所以實數(shù)a的取值范圍.1．若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)切點點，寫出切線方程，將點代入切線方程得，此方程有兩個不同的解，利用導(dǎo)數(shù)求b的范圍.【詳解】在曲線上任取一點，，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得，令函數(shù)，則.當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個交點，則.故選：B2．若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實數(shù)的最大值為【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義將公共切線的斜率分別由兩函數(shù)上的切點橫坐標表示，并據(jù)此建立關(guān)系，將由切點坐標表示，進而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過求導(dǎo)求其最大值.【詳解】由題意得，，．設(shè)公切線與的圖象切于點，與的圖象切于點，∴，∴，∴，∴，∴．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴實數(shù)的最大值為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點在于由導(dǎo)數(shù)的幾何意義將公共切線的斜率分別由兩函數(shù)上的切點橫坐標表示，并據(jù)此建立關(guān)系，將由切點坐標表示，進而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過求導(dǎo)求其最大值.3．若函數(shù)，且，設(shè)，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．的大小不能確定【答案】A【分析】求導(dǎo)后再次構(gòu)造，再求導(dǎo)求出最大值小于零可得小于零，進而得到的單調(diào)性，然后求出結(jié)果即可.【詳解】由題意可得，設(shè)，則因為，所以恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以，即，故選：A【點睛】方法點睛：比較不等式大小問題可構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性進而比較大小，若一次求導(dǎo)不能判斷單調(diào)性，可二次構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析.1．（2023·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;令，則，令，在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，，且注意到，根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.當(dāng)時，，單調(diào)減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，不合題意;令，則，當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時，，不合題意.綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.【點睛】方法點睛：（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函