第10章能量法主要內(nèi)容

1、應變能余能

2、卡氏定理

3、單位力法4、圖乘法

10.1概述利用功和能的概念求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法，統(tǒng)稱為能量法

不僅適用于線彈性問題，也可用于非線性彈性問題恒力功

功:力作用于物體，力的作用點在其作用方向上發(fā)生位移，則該力對物體做了功變形功

Dd余功廣義力

廣義位移

10.2應變能·余能二、應變能·余能Dd線彈性體系能:根據(jù)功能原理，貯存在物體中的應變能,數(shù)值上等于外力在物體變形過程中所做的功。

DFD10F1余能：（彈性）線彈性范圍內(nèi)：二、應變能·余能余能僅具有與應變能相同的量綱，無具體的物理意義。線彈性材料，余能數(shù)值上等于應變能，應區(qū)分兩者的概念。FdDMe

基本變形下桿的應變能：（線彈性范圍內(nèi)）FM橫力彎曲dxFNMT相對軸向位移：du

相對轉(zhuǎn)角：d

相對扭轉(zhuǎn)角:d

組合變形下應變能的普遍表達式卡氏第一定理（彈性）余能定理（彈性）卡氏第二定理（線彈性）10.3卡氏定理卡氏第一定理FiF1Fn

i

1

n一組廣義力F1,

F2,…,Fn相應的廣義位移

1,

2,…,

n（彈性）為最終位移的函數(shù)卡氏第一定理:應變能對于構(gòu)件上某一廣義位移

i的變化率，就等于與該廣義位移

i所相對應的廣義力Fi余能定理FiF1Fn

i

1

n一組廣義力F1,

F2,…,Fn相應的廣義位移

1,

2,…,

n總外力余功記作總余能為（彈性）表明余能為一系列荷載的函數(shù)余能定理:余能對于某一廣義力Fi的變化率，就等于與該力Fi相應的廣義位移

i卡氏第二定理FiF1Fn

i

1

n一組廣義力F1,

F2,…,Fn相應的廣義位移

1,

2,…,

n（線彈性）由余能定理線彈性體系卡氏第二定理：對于線彈性體，其應變能對某一廣義力Fi的偏導數(shù)（變化率），等于該廣義力相應的廣義位移

i卡氏第二定理應用：彎曲：拉壓：扭轉(zhuǎn)：例1:如圖所示外伸梁的抗彎剛度為EI,求外伸端C點的撓度。x1x2解:AB段BC段例2:桁架結(jié)構(gòu)。拉壓剛度為EA，材料為線彈性。

求C點的水平位移。ABlCFxDl桿件長度ABBCCDADACABlCFxD單位力法（莫爾定理）：

求解桿件在某一截面上的某方向上的位移，僅需要在此截面方向上加一單位力F0=1F

i以發(fā)生彎曲變形的梁為例，當要計算任意截面的廣義位移：真實荷載引起的彎矩僅由單位力引起的彎矩10.4單位載荷法莫爾積分橫力彎曲：拉壓：扭轉(zhuǎn)：例3:如圖所示外伸梁的抗彎剛度為EI,求外伸端C點的撓度。Lx1x2解:AB段BC段Lx1x21aa例4:桁架結(jié)構(gòu)。拉壓剛度為EA

，材料為線彈性。求C點的水平位移和鉛垂位移。ABlCFxDlABlCFxD桿件長度ABBCCDADACFxFxFx

1ABlCDABlCFxD桿件長度ABBCCDADACFxFxFx1ABlCD例5：用莫爾定理求如圖所示懸臂梁A點處的豎直位移和轉(zhuǎn)角。設梁的抗彎剛度為EI。Aql解：先列出彎矩方程xA1求A點豎直位移時，在A點加一單位力，如圖1A類似地，（）用單位力法，但不寫出彎矩方程？10.5計算莫爾積分的圖乘法圖乘法若EI=const（等截面直桿)，x

Cy0xyABM(x)AB彎矩圖

的面積彎矩圖

的形心位置在單位力彎矩圖中，所對應的縱坐標長度公式討論：線彈性小變形范圍要求圖為直線段。若為折線，應以折點為界分段進行圖乘計算若圖和圖都為直線段，反乘亦可同側(cè)圖相乘為正，異側(cè)圖相乘為負Clabh(l+a)/3(l+b)/33l/8Chl5l/8l/4Chl3l/4Chl(n+1)l/(n+2)l/(n+2)三角形二次拋物線二次拋物線n次拋物