空間向量的綜合應用課時教學設計（一）教學內容運用空間向量研究立體幾何中有關直線、平面的位置關系和度量問題，運用空間向量解決實際問題。（二）教學目標1.能利用空間向量解決立體幾何問題中的平行、垂直等位置關系問題．2.能利用空間向量解決立體幾何問題中的距離、夾角等度量問題．3.根據具體情境，將實際問題轉化成數學模型，利用空間向量解決實際問題，并體會向量的工具作用。4.掌握用向量法解決立體幾何問題的思路和一般步驟，能歸納總結利用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”，提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學抽象和數學建模核心素養(yǎng).（三）教學重點和難點重點：運用空間向量解決立體幾何中有關直線、平面的位置關系和度量問題難點：將立體幾何問題轉化為向量問題（四）教學過程設計前面我們學習了用空間向量及其運算研究立體幾何中點、直線、平面這些幾何元素的平行、垂直的位置關系，以及這些幾何元素之間產生的距離與夾角等問題．現在，我們仍然通過空間向量及其運算進一步研究并體會向量法解決立體幾何中的綜合性較強的問題。1.典型例題，實踐應用例1：如圖為某種禮物降落傘的示意圖,其中有8根繩子和傘面連接,每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質量為1kg,每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣萭取9.8m/s2,精確到0.01N）.問題1：“降落傘在勻速下落”是什么意思？學生回答：禮物所受繩子的拉力的合力與其自身重力平衡，合力的大小等于重力的大小?！驹O計意圖】讓學生區(qū)分力是一個矢量，根據問題研究的對象以及物理學中力的平衡關系，學生構建一個等量關系，即禮物所受繩子的拉力的合力的大小等于其自身重力的大小。追問1:“有8根繩子和傘面連接，每根繩子的拉力大小相同，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為”，我們可以得到哪些信息？學生回答：問題描述的立體圖形結構對稱，研究清楚一根繩子的情況就可以了。研究拉力的合力，就是看作每個向量在豎直方向上的投影向量，其大小就是投影向量的模長。追問2:如何用向量方法解決這個問題?學生回答：構建一個等量關系：拉力的合力=禮物的重力，根據等量關系求解?！驹O計意圖】通過問題串，能讓學生更好的理解題干信息，通過分析題干信息獲得解決問題的思路。追問3:你能根據上述思路計算出每根繩子拉力的大小嗎?解：設水平面的單位法向量為,其中每一根繩子的拉力均為,因為=,所以向量在向量上的投影向量為：，所以八根繩子拉力的合力合=8*=4，有因為降落傘勻速下降，所以|合|=|禮物|=19.8=9.8（N），所以，所以即：降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小是.【設計意圖】從實際問題出發(fā)構建數學模型再到利用數學知識解決問題，體會向量在解決問題中的工具作用，關注規(guī)范解題，作好學生的示范，特別強調先設向量，再把實際問題轉化為向量問題來求解，最后回答實際問題。追問4：回顧一下，我們是如何解決這個實際問題的？學生回答：我們將實際問題抽象成數學問題，在此過程中需要對物體進行受力分析，即8根繩子所受拉力的合力與物體自身的重力相等，構造等量關系，利用向量的線性運算求解數學模型，通過數學問題的解來解釋實際問題?！驹O計意圖】從實際問題出發(fā)構建數學模型再到利用數學知識解決問題，體會向量在解決問題中的工具作用，培養(yǎng)學生數學抽象，邏輯推理，數學運算，數學建模素養(yǎng)，提升學生歸納和總結的能力。例2：如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD,PD＝DC,E是PC的中點,作EFPB交PB于點F.求證：PA平面EDB;（2）求證：PB平面EFD;（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.問題2:如何用幾何法證明線面平行？學生回答：通過作輔助線，利用三角形中位線來證明：PAEG追問1:如何用向量法證明線面平行呢？對比兩種方法選擇你認為合適的方法進行證明。學生回答：利用向量知識，先建立空間坐標系，找到直線的的方向向量和平面內一條直線的方向向量，證明兩向量也可以直接證明與平面EDB的法向量垂直，從而得到線面平行.證明：（1）連接AC交BD于點G，再連接EG，由正方形ABCD可得：AG=GC又因為E是PC的中點，所以PAEG，又因為PA，EG所以PA平面EDB【設計意圖】通過梳理兩種方法的解題思路，對比兩種方法，在解決立體幾何中的位置關系證明問題時，優(yōu)先利用掌握的空間關系來試證明，若能完成，則用幾何法解決問題，若不能完成，則考慮向量法來補充證明。本題第一問采用幾何法證明比較簡單，沒必要轉化為向量法來證明，所以只設計了幾何法證明的答案，向量法只了解一下思路。體現數學的簡潔美。問題3:如何用幾何法證明線面垂直?學生回答：要證明PB平面EFD,由于PBEF,所以只需要證明PBDE或PBDF.追問1:用幾何法證明線線垂直好證嗎?學生回答：不好證。追問2:那我們是否有更簡單的方法解決這個問題，如何解決?學生回答：可以發(fā)現利用向量知識，用向量法很容易證明這個問題：只需證明PBDE，即證明?！驹O計意圖】通過梳理兩種方法的解題思路，再次對比兩種方法，在解決立體幾何中的位置關系證明問題時，優(yōu)先利用掌握的空間關系來試證明，若某個環(huán)節(jié)處理起來很困難或者不能完成證明的時候，就要考慮使用向量法來證明。問題4:如何用幾何法求二面角的大小呢?學生回答：在圖中直接找到或通過做輔助線找到二面角的平面角，利用解三角形的知識求解二面角。在本題中如圖，由于PB平面EFD,所以追問1:用幾何法求二面角的大小好求嗎?學生回答：二面角的平面角容易找到，但是用幾何法求出這個角度有一定難度。追問2:那我們是否有更簡單的方法解決這個問題，如何解決?學生回答：用幾何法解決這個問題有難度，可以利用向量知識,利用用向量夾角來求的大?。穯?：用向量法來求向量夾角，但是如何求出點F的空間坐標呢?同學們嘗試解決這個問題。學生回答：如圖,要研究點的坐標,可以用設未知數的方法,來找到點滿足的相關條件,然后求出這個點的坐標,從而利用向量方法解決二面角問題.【設計意圖】通過梳理兩種方法的解題思路，再次對比兩種方法，在解決立體幾何中的度量問題時，還是優(yōu)先考慮利用掌握的空間關系來求解，若某個環(huán)節(jié)處理起來很困難或者不能解決的時候，那就考慮使用向量法。在這個問題中學生需要掌握利用待定系數法求出直線上點的坐標，再用向量的坐標運算解決幾何問題。2.單元小結問題5:向量法解決立體幾何問題的基本步驟是什么？回顧本單元的學習，同學們有什么新的感悟?學生回答：運用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：1.用向量或坐標或方程表示幾何問題中的幾何元素，如點、直線、平面、等，把幾何問題轉化為代數問題；2.通過代數運算，解決代數問題；3.把代數運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論。運用空間向量解決立體幾何中的位置關系問題時優(yōu)先考慮幾何法，當幾何法中的某個環(huán)節(jié)處理起來很困難或者不能完成的時候，就要考慮使用向量法。運用空間向量解決立體幾何中的距離、夾角等度量問題時，一般采用向量法，利用向量知識將幾何問題代數化?！驹O計意圖】既是本節(jié)課的小結也是本單元的小結，從宏觀的思想方法和微觀的具體步驟方面進行總結，突出教學重點，使學生掌握用利用空間向量解決立體幾何問題的三步曲，通過過對幾何法、向量法的比較，認識各自特點，進一步加深對向量法的認識；培養(yǎng)學生的歸納總結和概括能力。（五）課堂檢測與評價教科書第41頁練習1-3，教科書第44頁第16題【設計意圖】鞏固所學用空間向量解決立體幾何問題知識，提高學生的綜合應用能力。（六）教學反思在教學過程中要關注學生能否把握知識之間的聯(lián)系，如學生能否真正理解平面向量與空間向量、空間向量與立體幾何的聯(lián)系，空間同一平面內的問題可由平面知識解決，不在同一平面內的問題則需要立體知識來解決，并且立體問題常常轉化為平面問題來解決，其中直線的方向向量和平面的法向量