21.導(dǎo)數(shù)與幾何背景的結(jié)合一．新題速遞例1.（2024年四川省預(yù)賽）已知為正實(shí)數(shù),若曲線與橢圓交于、兩個(gè)不同的點(diǎn),求證:直線的斜率.解析：設(shè)，其中.注意到對(duì)數(shù)不等式:若,則.取，得.①將和相減，得②.再將和相加，得③.注意到:時(shí)，由知，結(jié)合①②③知：，解得.在這里用到了指數(shù)均值不等式，它是很多導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線綜合問(wèn)題的秘密武器，下面給出詳細(xì)介紹：1.指數(shù)均值不等式.若，則.證明：（方法1.雙變量消元直接證明）欲證，兩邊同除以，即證，即證，即證令即證不等式當(dāng)時(shí)恒成立.設(shè)，∴而，即，∴，∴在上是減函數(shù)，又∴恒成立，得證.接著證明右邊的不等式，同樣設(shè)等價(jià)于.令，則，兩邊同時(shí)除以得1）.設(shè)，再求（因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增.由于，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，1），即0，所以，也就是.綜上，不等式得證.（方法2.對(duì)數(shù)均值不等式轉(zhuǎn)化）兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：，對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式），取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．證明如下：不失一般性，可設(shè)．（1）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.（2）再證：……②不等式②（）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式②成立；綜合（1）（2）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．設(shè)，則，將代入對(duì)數(shù)均值不等式中，可得，即把代入.綜上，由對(duì)數(shù)均值不等式可得到指數(shù)均值不等式.例2．已知函數(shù)的圖象與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn).是上的點(diǎn)，在處的切線交軸于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于在處的切線交軸于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于，重復(fù)上述操作，依次得到.（1）求；（2）記直線的斜率為.（i）設(shè)的面積分別為，證明：；（ii）若，求證：.解析：（1）由題意在處的切線方程為；令，可得，即.由可知在處的切線方程為；令可得，即；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）（i）設(shè)，由題意不同時(shí)為0，不妨令且；.由（1）可知；則.要證，即證，即證；令，即證，再令，即證，即證.構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增；即.所以得證.即.（ii）由（i）可知，，所以.因?yàn)椋?；即，?得，因?yàn)椋?；所?所以.即.當(dāng)時(shí)，有，即；所以，從而.三．習(xí)題演練1.（24屆深圳中學(xué)高三檢測(cè)）若曲線和圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，記直線的斜率為.（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.解析：我們來(lái)考慮曲線和圓相切的情形，假設(shè)其相切于點(diǎn)，根據(jù)圓在的切線方程為：，對(duì)于曲線而言,過(guò)點(diǎn)的切線為即，故，代入，解得:又點(diǎn)在曲線上,解得要相交于兩點(diǎn),故向上平移,所以，此時(shí)，切線的斜率為.可以看到，這個(gè)題目的幾何背景就是這樣一個(gè)公切線背景.當(dāng)然，代數(shù)證明方法較多，可見(jiàn)相關(guān)公眾號(hào).（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）2．（23屆青島高三二模）已知函數(shù)，圓．（1）若，寫出曲線與圓C的一條公切線的方程(無(wú)需證明)；（2）若曲線與圓C恰有三條公切線．（i）求b的取值范圍；（ii）證明：曲線上存在點(diǎn)，對(duì)任意，．解析：（1）設(shè)f(x)的切線的切點(diǎn)為，∵，∴切線斜率為，∴切線方程為，即，當(dāng)b＝1時(shí)，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)f(x)的切線也是圓的切線時(shí)，，即，易知是該方程的一個(gè)根，此時(shí)切線方程為．（2）（i）設(shè)曲線與圓公切線的方程為(顯然，l斜率存在)，∵與曲線相切，故，∴切點(diǎn)為，，即，即，∵與圓相切，∴，即，∴，令，則，設(shè)，則，易證明：．①當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∴，∵，，；∴存在，，使得．∴，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∵，且，又∵，且，∴存在，使得，∴當(dāng)時(shí)，曲線與圓恰有三條公切線；（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）②當(dāng)時(shí)，∵；∴存在，使得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∴，且，∴不可能存在三個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，；∴在上單調(diào)遞減，最多一個(gè)零點(diǎn)；∴最多一個(gè)極值點(diǎn)，不可能有三個(gè)零點(diǎn)；綜上，若曲線與圓恰有三條公切線，則的取值范圍為．（ii）函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解，即曲線和曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象，顯然存在，使得成立，∴對(duì)任意恒成立．3．（24屆高三溫州二模）如圖，對(duì)于曲線，存在圓滿足如下條件：①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；則稱圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑．（1）求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；（2）求曲線的曲率半徑的最小值；（3）若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．解析：（1）記，設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．則，，故，，即，所以拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為；（2）設(shè)曲線在的曲