專(zhuān)題強(qiáng)化3：空間向量與立體幾何考點(diǎn)梳理【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)突破】一、空間向量的概念及運(yùn)算1．已知向量，，且與互相垂直，則的值是（

）A．－1 B． C． D．【答案】D【分析】先求出與的坐標(biāo)，再由與互相垂直，可得，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得，故選：D2．已知空間向量，，滿(mǎn)足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．3．如圖所示，在空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的加法和減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】故選：B4．已知空間三點(diǎn)，，，若向量與的夾角為60°，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】直接由空間向量的夾角公式計(jì)算即可【詳解】，，，，由題意有即，整理得，解得故選：B5．（多選）已知空間向量，，則下列正確的是（）A． B． C． D．，【答案】AB【分析】利用空間向量坐標(biāo)的加法公式、向量模的坐標(biāo)公式、向量的數(shù)量積公式依次計(jì)算各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】向量，，，則A正確，，則B正確，，則C錯(cuò)誤，，則D錯(cuò)誤.故選：AB6．已知向量，滿(mǎn)足，，且.則在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)________.【答案】【分析】對(duì)兩邊平方后得到，代入投影向量的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】?jī)蛇吰椒交?jiǎn)得：，①因?yàn)?，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐?biāo)為.故答案為：7．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.【答案】2【分析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.二、利用空間向量證明位置關(guān)系1．如圖所示，在直三棱柱中，，，，.(1)求證：；(2)在上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，確定點(diǎn)位置并說(shuō)明理由，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)在上存在點(diǎn)使得平面，且為的中點(diǎn)．【分析】（1）本題首先以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后得出、，最后根據(jù)即可證得；（2）本題可假設(shè)點(diǎn)存在，則，然后通過(guò)得出，最后求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，如圖所示，在直三棱柱中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)、、分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)椋?，所以，，?（2）若存在點(diǎn)使平面，則，，，，，，因?yàn)槠矫?，所以存在?shí)數(shù)、，使成立，則，解得，故在上存在點(diǎn)使平面，此時(shí)點(diǎn)為中點(diǎn).2．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，易知平面的一個(gè)法向量為，，則，平面，故平面；（2）設(shè)平面的法向量為，，，由，得，取，可得，所以，，故平面.3．如圖，在直三棱柱中，，，M為AB的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)．(1)證明：；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)Q，使得∥平面？若存在，請(qǐng)確定Q的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在；線(xiàn)段上靠近N的三等分點(diǎn)Q【分析】（1）解法一：連結(jié)，由線(xiàn)面垂直的判定定理可證得面，則，由已知條件可得四邊形為正方形，則，再由線(xiàn)面垂直的判定定理可得面，從而可得，解法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、CA、方向分別為、、軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量證明即可，（2）解法一：利用空間向量，設(shè)，所以，求出平面的法向量，再由線(xiàn)面平行的關(guān)系可得，從而可求出的值，解法二：取中點(diǎn)H，連結(jié)BH、、，可證得∥，∥平面，從而可得平面∥平面，進(jìn)而可得∥平面，【詳解】（1）解法一：連結(jié)，在直三棱柱中，有面因?yàn)槊妫?，中，，即，因?yàn)椋悦?，因?yàn)槊?，所以，在四邊形中，，，所以四邊形為正方形，所以，因?yàn)?，所以面，因?yàn)槊妫裕夥ǘ涸谥比庵?，因?yàn)椋渣c(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、CA、方向分別為、、軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，，，所以，所以．?）解法一：存在線(xiàn)段上靠近N的三等分點(diǎn)Q，滿(mǎn)足∥平面．證明如下：在直三棱柱中，因?yàn)?，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、CA、方向分別為、、軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，M為AB的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)，所以、、、、、設(shè)，所以所以，，，設(shè)為平面的法向量，則即．取得，可得平面的一個(gè)法向量為．若∥平面，則，所以，即解得，所以存在線(xiàn)段上靠近N的三等分點(diǎn)Q，使得∥平面．解法二：存在線(xiàn)段上靠近N的三等分點(diǎn)Q，滿(mǎn)足∥平面．證明如下：取中點(diǎn)H，連結(jié)BH、、．在正方形中，M為AB的中點(diǎn)，所以∥．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面∥，在正方形中，M為AB的中點(diǎn)，H為中點(diǎn)，所以∥．因?yàn)椤吻遥浴?，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥．因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，因?yàn)?，平面，平面所以平面∥平面，記，則Q為的重心，即Q為線(xiàn)段上靠近N的三等分點(diǎn)，且平面，所以∥平面，所以存在線(xiàn)段上靠近N的三等分點(diǎn)Q，使得∥平面．三、利用空間向量計(jì)算距離1．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線(xiàn)的方向向量，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算.【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，，，.因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.（2）由（1），得，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，則點(diǎn)到平面的距離.2．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面AD1E(2)求直線(xiàn)到平面的距離；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）利用線(xiàn)面平行的判定定理.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的距離公式求解.【詳解】（1），，四邊形為平行四邊形，，面，面，平面．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，平面，直線(xiàn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，，直線(xiàn)到平面的距離為.四、利用空間向量求空間角1．如圖，在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)．(1)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)證明：平面平面．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）分別作，的中點(diǎn)，，連接，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)與的空間向量，即可利用線(xiàn)線(xiàn)角的公式求解.（2）分別求出平面和平面的法向量，利用法向量數(shù)量積為0，即可證明.【詳解】（1）如圖，分別作，的中點(diǎn)，，連接，，在正三棱柱中，底面ABC，且，則OA，OB，互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，已知，則，，，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，，，，；（2）由題可知，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，，設(shè)平面的法向量為，則，令，，，平面平面.2．如圖，平面五邊形ABCDE中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，CD＝AE，，將沿AD翻折，使點(diǎn)E翻折到點(diǎn)P．(1)證明：PC⊥BC；(2)若PC＝3，求二面角P－AD－B的大小，以及直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）在平面圖形中取中點(diǎn)，則有、，再應(yīng)用線(xiàn)面垂直的判定、性質(zhì)證結(jié)論；（2）由（1）得，，則二面角的平面角為，在中利用余弦定理求解即可；在平面內(nèi)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量，進(jìn)而求線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴，，故翻折后有，又∵，∴，∵，∴，且，，平面，∴平面，∵，∴，∴平面，又∵平面，∴．（2）由（1）得，，∴二面角的平面角為，在中，，．由余弦定理得，∴，二面角的大小是，在平面內(nèi)作，交于，∵平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，四邊形為矩形，又∵，，所以各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即設(shè)，則，，∴，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則．【隨堂演練】1．平面的一個(gè)法向量是,,，平面的一個(gè)法向量是,6,，則平面與平面的關(guān)系是（

）A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直【答案】C【分析】由題設(shè)知，根據(jù)空間向量共線(xiàn)定理，即可判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】平面的一個(gè)法向量是,,，平面的一個(gè)法向量是,6,，，平面與平面的關(guān)系是平行或重合．故選：C．2．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】取的中點(diǎn),連接,,可證得的長(zhǎng)即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，在直角三角形中，由勾股定理求得；也可以用向量法，直接求得.【詳解】解法一：（幾何法）解：如圖，取的中點(diǎn),連接,因?yàn)槠矫?，平面所?又因?yàn)?，所以平?平面所以因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,又，所以平面,又平面所以,即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.在等腰直角三角形中，,在直角三角形中，故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選：A.解法二：（向量法）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)、、分別為軸、軸、軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,，故,所以故即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選：A.3．設(shè)、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量垂直與共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，解得，則，因?yàn)?，則，解得，即，所以，，因此，.故選：D.4．已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后求出與，最后根據(jù)空間點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，故選：A.5．已知，且，則（

）A． B．C． D．x=1，y=-1【答案】B【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合空間向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】向量，則，，因，于是得，解得，所以.故選：B6．已知O為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿(mǎn)足任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，且，則m的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】O為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿(mǎn)足任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，均有結(jié)論，其中，故可由進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用結(jié)論即可【詳解】，∵O為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿(mǎn)足任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，∴，∴.故選：C7．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．B．BD⊥平面ACC?C．向量與的夾角是60°D．直線(xiàn)BD?與AC所成角的余弦值為【答案】C【分析】利用空間向量法，通過(guò)計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度、向量夾角、線(xiàn)線(xiàn)角以及證明線(xiàn)面垂直等知識(shí)確定正確答案.【詳解】以為空間一組基底.，，所以，A選項(xiàng)正確.由于四邊形是菱形，所以，，，所以，即，由于，所以平面，B選項(xiàng)正確.，三角形是等邊三角形，由圖可知與的夾角為鈍角，也即與的夾角為鈍角，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，所以.，，所以..設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，則，D選項(xiàng)正確.故選：C8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿對(duì)角線(xiàn)AC將△ABC折起，若平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，則B與D之間距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】過(guò)B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，∵AB＝1，BC，∴AC＝2，∵，∴BE＝DF，則AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，∴，∵，∴，則||，即B與D之間距離為，故選：C．9．設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若直線(xiàn)平面，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．【答案】【分析】由線(xiàn)面平行可得，由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】直線(xiàn)平面，，即，解得：.故答案為：.10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則的重心到直線(xiàn)BN的距離為_(kāi)__________.【答案】/【分析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由重心坐標(biāo)公式求得的重心的坐標(biāo)，用空間向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．【詳解】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，設(shè)的重心是，則，，，即，，，，，，，則是銳角，，所以到直線(xiàn)的距離為．故答案為：．11．如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直且長(zhǎng)度分別為1，2，2，，．（1）若中點(diǎn)為，證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，證明即可；（2）利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，求出的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可．【詳解】解：（1）證明：分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)?，，的長(zhǎng)度分別為1，2，2，且，則，，，，，又是的中點(diǎn)，所以，所以，由已知可得平面的一個(gè)法向量為，則，所以，又平面，所以平面；（2）解：設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋瑒t有，即，令，則，，故，又，所以點(diǎn)到平面的距離．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.12．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，為的中點(diǎn)，證明：平面平面.【答案】證明見(jiàn)解析；【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法證明，，進(jìn)而證明線(xiàn)面垂直與面面垂直.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥冢云矫?，?則，，，所以，，所以，，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?13．如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，平面平面（1）求證：；（2）若M為中點(diǎn)，求證：平面；【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）在直三棱柱中，易得，又平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）由平面，且，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，證明即可；【詳解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，又平面ABC，∴，∵平面平面,且平面平面，又平面,∴平面，又平面，∴（2）直三棱柱中，∵平面，而平面∴，又，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，所以，又平面，∴平?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明直線(xiàn)與平面平行，只須證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的不共線(xiàn)的兩個(gè)向量共面，或證直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某直線(xiàn)的方向向量平行，然后說(shuō)明直線(xiàn)在平面外即可．這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．14．在邊長(zhǎng)是2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點(diǎn)．應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題．（1）求EF的長(zhǎng)（2）證明：EF∥平面AA1D1D；（3）證明：EF⊥平面A1CD．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)表示，代入長(zhǎng)度公式求解；（2）求出的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵坐標(biāo)關(guān)系判斷EF∥AD1，再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明；（3）利用0，0，可證直線(xiàn)EF垂直于CD、A1D，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明．【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），∵E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點(diǎn)，∴E（2，1，0），F(xiàn)（1，1，1），（﹣1，0，1），∴||．（2）∵（﹣2，0，2）＝2，∴EF∥AD1，又AD1?平面AA1D1D，EF?平面AA1D1D，∴EF∥平面AA1D1D．（3）（0，﹣2，0），（﹣2，0，﹣2），∵0，0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D，又CD∩A1D＝D，∴EF⊥平面A1CD．15．如圖，已知長(zhǎng)方體，直線(xiàn)與平面所成的角為，垂直于E，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值；(2)求平面與平面所成的二面角（銳角）的余弦值；(3)求點(diǎn)A到平面的距離．【答案】(1)；(2