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文檔簡介

1.5兩個重要極限第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部極限存在的準(zhǔn)則01兩個重要極限02目錄1.5.1極限存在的準(zhǔn)則3定義設(shè)數(shù)列

，如果滿足，那么稱是遞增數(shù)列，如果滿足，那么稱是遞減數(shù)列．遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．對于數(shù)列

，如果存在一個正數(shù)，使對一切都有，那么稱

是有界數(shù)列，否則稱

是無界數(shù)列．準(zhǔn)則Ⅰ（單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)有界數(shù)列必有極限．準(zhǔn)則Ⅰ告訴我們：如果數(shù)列不僅有界，而且單調(diào)，那么這個數(shù)列一定是收斂的．1.5.1極限存在的準(zhǔn)則4如果函數(shù)

，，在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足：那么數(shù)列收斂，并且．類似地，有關(guān)于函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則：準(zhǔn)則Ⅱ（夾逼準(zhǔn)則）如果數(shù)列

，，

滿足下列條件：那么極限存在的準(zhǔn)則01兩個重要極限02目錄1.5.2兩個重要極限6一、．證函數(shù)對于一切都有定義．作單位圓，不妨設(shè)，在單位圓上取圓心角（弧度），點處的切線與的延長線相交于，于是因為所以即1.5.2兩個重要極限7一、．兩邊除以，得即即因為，故由函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則，得1.5.2兩個重要極限8注意：1.極限作為公式直接使用；2.公式可推廣為，其中，是時的無窮小量，如例1

求

．解

．1.5.2兩個重要極限9例2

求

．解

．例3

求

．解

．例4

求

．解令，則，且時，．1.5.2兩個重要極限10二、或．這里是無理數(shù)．該重要極限的本質(zhì)是．其中，是時的無窮小量．例5

求

．解

．1.5.2兩個重要極限11二、或．例6

求

．解

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