吉林省吉林一中2025-2026學(xué)年高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、單項(xiàng)選擇（注釋）1．拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程是（） A． B． C． D．2．雙曲線的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（） A．2 B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積9π，則p=（） A．2 B．4 C．3 D．4．函數(shù)f（x）=﹣x3+ax在 C．（0，+∞） D．都成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是．15．設(shè)A、B為在雙曲線上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若OA丄OB，則△AOB面積的最小值為．16．設(shè)曲線處的切線與直線x+ay+1=0垂直，則a=．三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，且過(guò)D（2，0）．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．18．一物體沿直線以速度v（t）=2t﹣3（t的單位為：秒，v的單位為：米/秒）的速度作變速直線運(yùn)動(dòng)，求該物體從時(shí)刻t=0秒至?xí)r刻t=5秒間運(yùn)動(dòng)的路程？19．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1（0，﹣2），F(xiàn)2（0，2），且離心率e=，求橢圓的方程．20．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P為曲線D上的動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓恒與y軸相切．（Ⅰ）求曲線D的方程；（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的△APM？①點(diǎn)M在橢圓C上；②點(diǎn)O為APM的重心．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（若三角形ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則其重心G的坐標(biāo)為（，））21．由原點(diǎn)O向三次曲線y=x3﹣3ax2+bx（a≠0）引切線，切于不同于點(diǎn)O的點(diǎn)P1（x1，y1），再由P1引此曲線的切線，切于不同于P1的點(diǎn)P2（x2，y2），如此繼續(xù)地作下去，…，得到點(diǎn)列{Pn（xn，yn）}，試回答下列問(wèn)題：（1）求x1；（2）求xn與xn+1的關(guān)系；（3）若a＞0，求證：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn＜a；當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＞a．22．已知函數(shù)在x=1處取得極大值2．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)f（x）的極值；（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x2﹣2ax+a，若對(duì)于任意x1∈R，總存在x2∈，使得g（x2）≤f（x1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2025-2026學(xué)年吉林省吉林一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇（注釋）1．拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程是（） A． B． C． D．考點(diǎn)： 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程即可．解答： 解：拋物線的方程可變?yōu)閤2=y故p=，其準(zhǔn)線方程為y=﹣，故選：D點(diǎn)評(píng)： 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題關(guān)鍵是記準(zhǔn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，別誤認(rèn)為p=1，因看錯(cuò)方程形式馬虎導(dǎo)致錯(cuò)誤．2．雙曲線的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（） A．2 B． C． D．考點(diǎn)： 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 計(jì)算題．分析： 兩條漸近線互相垂直的雙曲線是等軸雙曲線，由a=b，c=，可求出該雙曲線的離心率．解答： 解：∵雙曲線的兩條漸近線互相垂直，∴雙曲線是等軸雙曲線，∴a=b，c=，∴．故選C．點(diǎn)評(píng)： 這道題比較簡(jiǎn)單．兩條漸近線互相垂直的雙曲線是等軸雙曲線這個(gè)結(jié)論是解本題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積9π，則p=（） A．2 B．4 C．3 D．考點(diǎn)： 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 根據(jù)△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，可得△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值．解答： 解：∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑∵圓面積為9π，∴圓的半徑為3又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|=，∴+=3∴p=4故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．函數(shù)f（x）=﹣x3+ax在 C．（0，+∞） D．，故選：B點(diǎn)評(píng)： 函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)增可轉(zhuǎn)化成其導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，單調(diào)減可轉(zhuǎn)化成其導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0，屬于基礎(chǔ)題．5．已知f（x）是可導(dǎo)的函數(shù)，且f′（x）＜f（x）對(duì)于x∈R恒成立，則（） A．f（1）＜ef（0），f（2025-2026）＞e2025-2026f（0） B．f（1）＞ef（0），f（2025-2026）＞e2025-2026f（0） C．f（1）＞ef（0），f（2025-2026）＜e2025-2026f（0） D．f（1）＜ef（0），f（2025-2026）＜e2025-2026f（0）考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： 構(gòu)造函數(shù)令，利用判斷及單調(diào)性即可判斷．解答： 解：令，則，由于f'（x）＜f（x），ex＞0對(duì)于x∈R恒成立，所以h'（x）＜0在R上恒成立，所以為減函數(shù)，∴，即f（x）＜ef（0）；，即f（2025-2026）＜e2025-2026f（0）．故選：D點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．6．若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y﹣8=0垂直，則l的方程是（） A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題： 計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析： 欲求l的方程，根據(jù)已知條件中：“切線l與直線x+4y﹣8=0垂直”可得出切線的斜率，故只須求出切點(diǎn)的坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)．從而問(wèn)題解決．解答： 解：設(shè)與直線x+4y﹣8=0垂直的直線l為：4x﹣y+m=0，即曲線y=x4在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為4，而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）處導(dǎo)數(shù)為4，將（1，1）代入4x﹣y+m=0，得m=﹣3，故l的方程為4x﹣y﹣3=0．故選A．點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．7．已知a＞1，則=（） A． B． C．或 D．不存在考點(diǎn)： 極限及其運(yùn)算．專題： 計(jì)算題．分析： 由a＞1，可得=，可求解答： 解：∵a＞1，∴∵x→﹣∞時(shí)，﹣x→+∞∴則==故選A點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了函數(shù)極限的求解，解題的關(guān)鍵是由=的變形．屬于基礎(chǔ)試題8．已知橢圓=1（a＞5）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB過(guò)點(diǎn)F1，則△ABF2的周長(zhǎng)為（） A．10 B．20 C． D．考點(diǎn)： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 根據(jù)橢圓=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，運(yùn)用定義整體求解△ABF2的周長(zhǎng)為4a，即可求解．解答： 解：由|F1F2|=8，可得2c由橢圓的方程=1（a＞5）得：b=5，則a==，由橢圓的定義可得，△ABF2的周長(zhǎng)為c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了橢圓的方程，定義，整體求解的思想方法，屬于中檔題．9．若=（0，1，﹣1），=（1，1，0），且（+λ）⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為（） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2考點(diǎn)： 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．專題： 空間向量及應(yīng)用．分析： 利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．解答： 解：∵（+λ）⊥，∴（+λ）?=+=+λ×（0+1+0）=0，解得λ=﹣2．故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10．過(guò)雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（﹣c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交拋物線y2=4cx于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若=（+），則雙曲線的離心率為（） A． B． C． D．考點(diǎn)： 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 由題設(shè)知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由拋物線的定義和方程，解得P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到c2﹣ac﹣a2=0，再由離心率公式，計(jì)算即可得到．解答： 解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|==b，∵=（+），∴E為PF的中點(diǎn)，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，設(shè)F'（c，0）為雙曲線的右焦點(diǎn)，也為拋物線的焦點(diǎn)，則EO為三角形PFF'的中位線，則|PF'|=2|OE|=2a，可令P的坐標(biāo)為（m，n），則有n2=4cm，由拋物線的定義可得|PF'|=m+c=2a，m=2a﹣c，n2=4c（2a﹣c），又|OP|=c，即有c2=（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），化簡(jiǎn)可得，c2﹣ac﹣a2=0，由于e=，則有e2﹣e﹣1=0，由于e＞1，解得，e=．故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的定義，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．11．已知函數(shù)f（x）=ex+alnx的定義域是D，關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：①對(duì)于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）是D上的減函數(shù)；②對(duì)于任意a∈（﹣∞，0），函數(shù)f（x）存在最小值；③存在a∈（0，+∞），使得對(duì)于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；④存在a∈（﹣∞，0），使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是（） A．①② B．②③ C．②④ D．③④考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用．專題： 閱讀型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： 先求導(dǎo)數(shù)，若為減函數(shù)則導(dǎo)數(shù)恒小于零；在開(kāi)區(qū)間上，若有最小值則有唯一的極小值，若有零點(diǎn)則對(duì)應(yīng)方程有根解答： 解：由對(duì)數(shù)函數(shù)知：函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，+∞），f′（x）=ex+，①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=ex+≥0，f（x）是增函數(shù)．故①不正確；②∵a∈（﹣∞，0），∴存在x有f′（x）=ex+=0，可以判斷函數(shù)有最小值，故②正確；③畫(huà)出函數(shù)y=ex，y=alnx（a＞0）的圖象，x可?。?，1）內(nèi)的一個(gè)數(shù)f（x）＜0，故③不正確；④函數(shù)y=ex是增函數(shù)，a＜0時(shí)，y=alnx是減函數(shù)，所以存在a∈（﹣∞，0），由圖可讓a的絕對(duì)值較大，f（x）=ex+alnx=0有兩個(gè)根，故④正確．故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題，注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，是一道中檔題．12．已知橢圓C1：=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2﹣=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則（） A．a(chǎn)2= B．a(chǎn)2=3 C．b2= D．b2=2考點(diǎn)： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓錐曲線的綜合．專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 先由雙曲線方程確定一條漸近線方程為y=2x，根據(jù)對(duì)稱性易知AB為圓的直徑且AB=2a，利用橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，得方程a2﹣b2=5；設(shè)C1與y=2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，2x），代入C1的方程得：；對(duì)稱性知直線y=2x被C1截得的弦長(zhǎng)=2x，根據(jù)C1恰好將線段AB三等分得：2x=，從而可解出a2，b2的值，故可得結(jié)論．解答： 解：由題意，C2的焦點(diǎn)為（±，0），一條漸近線方程為y=2x，根據(jù)對(duì)稱性易知AB為圓的直徑且AB=2a∴C1的半焦距c=，于是得a2﹣b2=5①設(shè)C1與y=2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，2x），代入C1的方程得：②，由對(duì)稱性知直線y=2x被C1截得的弦長(zhǎng)=2x，由題得：2x=，所以③由②③得a2=11b2④由①④得a2=5.5，b2=0.5故選C點(diǎn)評(píng)： 本題以橢圓，雙曲線為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題思路清晰，但計(jì)算有點(diǎn)煩瑣，需要小心謹(jǐn)慎．二、填空題（注釋）13．雙曲線8kx2﹣ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，3），則k的值為﹣1．考點(diǎn)： 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 計(jì)算題．分析： 先把雙曲線8kx2﹣ky2=8的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，焦點(diǎn)坐標(biāo)得到c2=9，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的關(guān)系即得雙曲線方程中的k的值．解答： 解：根據(jù)題意可知雙曲線8kx2﹣ky2=8在y軸上，即，∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，注意化成雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的關(guān)系．14．若不等式|ax3﹣lnx|≥1對(duì)任意x∈（0，1]都成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是．考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問(wèn)題．專題： 綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： 令g（x）=ax3﹣lnx，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，利用最小值大于等于1，即可確定實(shí)數(shù)a取值范圍．解答： 解：顯然x=1時(shí)，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．令g（x）=ax3﹣lnx，①當(dāng)a≤﹣1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，1]上遞減，g（x）min=g（1）=a≤﹣1，此時(shí)g（x）∈，，∴函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增∴|g（x）|的最小值為≥1，解得：．∴實(shí)數(shù)a取值范圍是點(diǎn)評(píng)： 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．15．設(shè)A、B為在雙曲線上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若OA丄OB，則△AOB面積的最小值為．考點(diǎn)： 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=﹣x，點(diǎn)A（x1，y1）滿足滿足，可求得|OA|2?|OB|2，利用基本不等式即可求得答案．解答： 解：設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=﹣x，則點(diǎn)A（x1，y1）滿足故=，=，∴|OA|2=+=，同理|OB|2=，故|OA|2?|OB|2=?=∵=≤（當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，取等號(hào)）∴|OA|2?|OB|2≥，又b＞a＞0，故S△AOB=|OA||OB|的最小值為．點(diǎn)評(píng)： 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)與三角形的面積，考查基本不等式，考查轉(zhuǎn)化與綜合運(yùn)算及抽象思維能力，屬于難題．16．設(shè)曲線處的切線與直線x+ay+1=0垂直，則a=1．考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： 求出函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線在此點(diǎn)的切線斜率，再利用兩直線垂直的性質(zhì)求出a．解答： 解：y=的導(dǎo)數(shù)為y′=，當(dāng)x=時(shí)，y′=1，故y=在點(diǎn)（，2）處的切線斜率為1，故與它垂直的直線x+ay+1=0的斜率為=﹣1，∴a=1，故答案為：1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在此點(diǎn)的切線斜率，以及兩直線垂直的性質(zhì)．三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，且過(guò)D（2，0）．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．考點(diǎn)： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： （1）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距，則半短軸b=．即可得出．（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x0，y0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即由于點(diǎn)P在橢圓上，代入橢圓方程即可．解答： 解：（1）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距，則半短軸b==1．又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x0，y0），由，得∵點(diǎn)P在橢圓上，得，∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、“代點(diǎn)法”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．18．一物體沿直線以速度v（t）=2t﹣3（t的單位為：秒，v的單位為：米/秒）的速度作變速直線運(yùn)動(dòng)，求該物體從時(shí)刻t=0秒至?xí)r刻t=5秒間運(yùn)動(dòng)的路程？考點(diǎn)： 定積分．專題： 計(jì)算題；應(yīng)用題．分析： 先求出v（t）=2t﹣3在t∈（0，5）的符號(hào)，然后分別求出每一段的定積分，最后相加即可求出所求．解答： 解：∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴物體從時(shí)刻t=0秒至?xí)r刻t=5秒間運(yùn)動(dòng)的路程=（米）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了定積分，定積分是理科考查的附加題，屬于基礎(chǔ)題之列．19．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1（0，﹣2），F(xiàn)2（0，2），且離心率e=，求橢圓的方程．考點(diǎn)： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 設(shè)橢圓方程為，由已知條件得，由此能求出橢圓方程．解答： 解：∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1（0，﹣2），F(xiàn)2（0，2），且離心率e=，∴設(shè)橢圓方程為，a＞b＞0，則，解得a=3，c=2，∴b2=9﹣8=1，∴橢圓方程為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．20．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P為曲線D上的動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓恒與y軸相切．（Ⅰ）求曲線D的方程；（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的△APM？①點(diǎn)M在橢圓C上；②點(diǎn)O為APM的重心．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（若三角形ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則其重心G的坐標(biāo)為（，））考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： （I）設(shè)P（x，y），由橢圓C的方程可得F（1，0），由題意可得以PF為直徑的圓的圓心，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，化簡(jiǎn)即可；（II）不存在．可用反證法證明．若這樣的三角形存在，由題可設(shè)，由條件知點(diǎn)M在橢圓上可得，由三角形的重心定理可得，及點(diǎn)A（﹣2，0），代入化簡(jiǎn)即可得到x2，判斷即可．解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由題知F（1，0），所以以PF為直徑的圓的圓心E，則，整理得y2=4x，為所求．（Ⅱ）不存在，理由如下：若這樣的三角形存在，由題可設(shè)，由條件①知，由條件②得，又因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣2，0），所以即，故，解之得x2=2或（舍），當(dāng)x2=2時(shí)，解得P（0，0）不合題意，所以同時(shí)滿足兩個(gè)條件的三角形不存在．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了橢圓及拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、反證法、重心定理、向量的運(yùn)算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．21．由原點(diǎn)O向三次曲線y=x3﹣3ax2+bx（a≠0）引切線，切于不同于點(diǎn)O的點(diǎn)P1（x1，y1），再由P1引此曲線的切線，切于不同于P1的點(diǎn)P2（x2，y2），如此繼續(xù)地作下去，…，得到點(diǎn)列{Pn（xn，yn）}，試回答下列問(wèn)題：（1）求x1；（2）求xn與xn+1的關(guān)系；（3）若a＞0，求證：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn＜a；當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＞a．考點(diǎn)： 數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （1）向三次曲線y=x3﹣3ax2+bx（a≠0），對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，求出切線l1的方程，根據(jù)其過(guò)點(diǎn)（0，0），可以求出x1；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與直線的斜率的關(guān)系，再求點(diǎn)Pn+1（xn+1，yn+1）的切線ln+1的方程，這個(gè)切線方程過(guò)點(diǎn)Pn（xn，yn），代入可得xn與xn+1的關(guān)系；（3）根據(jù)（2）已知的xn與xn+1的關(guān)系，遞推關(guān)系，將其湊為等比數(shù)列，其實(shí)n分為奇偶，從而進(jìn)行證明；解答： 解：（1）由y=x3﹣3ax2+bx…①，得y′=3x2﹣6ax+b過(guò)曲線①上的點(diǎn)P（x1，y1）的切線l1的方程是y﹣（﹣3a+bx1）=（3﹣6ax1+b）（x﹣x1），（x1≠0）由它過(guò)原點(diǎn)，有﹣+3a﹣bx1=﹣x1（3﹣6ax1+b），2=3a（x1≠0），∴x1=；（2）過(guò)曲線①上點(diǎn)Pn+1（xn+1，yn+1）的切線ln+1的方程是，y﹣（﹣3a+bxn+1）=（3﹣6axn+1+b）（x﹣xn+1），由ln+1過(guò)曲線①上點(diǎn)Pn（xn，yn），有﹣3a+bxn﹣（﹣3a+bxn+1）=（3﹣6axn+1+b）（xn﹣xn+1），∵xn﹣xn+1≠0，以xn﹣xn+1除上式，得+xnxn+1+﹣3a（xn+xn+1）+b=3x2n+1﹣6axn+1+b，+xnxn+1﹣2﹣3a（xn﹣xn+1）=0，以xn﹣xn+1除之，得xn+2xn+1﹣3a=0，（3）由（2）得，∴．故數(shù)列{xn﹣a}是以x1﹣a=為首項(xiàng)，公比為﹣的等比數(shù)列，∴，∴．∵a＞0，∴當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，難度有些大，還考查導(dǎo)數(shù)與直線斜率的關(guān)系，還考查分類討論的思想，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，是一道難題；22．已知函數(shù)在x=1處取得極大值2．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)f（x）的極值；（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x2﹣2ax+a，若對(duì)于任意x1∈R，總存在x2∈，使得g（