21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程學(xué)習(xí)目標(biāo)理解一元二次方程的概念并能判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程；能將一元二次方程化為一般形式，確定各項(xiàng)名稱及系數(shù)；會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的根.情境導(dǎo)入在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部AC（腰以上）與下部BC（腰以下）的高度比，等于下部BC與全部AB（全身）的高度比，可以增加視覺美感．

按此比例，如果雕像的高AB為2m，下部BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？ACB情境導(dǎo)入ACB雕像上部的高度AC，下部的高度BC的關(guān)系：設(shè)雕像下部高

xm，于是得方程：x2=2(2

–x)整理得：AC:BC=BC:2即BC2=2AC這個(gè)方程有什么特點(diǎn)，你能試著說一下嗎？x2+2x

–4=02m問題如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成300角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，球的飛行h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有關(guān)系：h=20t-5t2，考慮以下問題：（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間?問題情境建立方程題1如圖，果園里有一塊長為100m，寬為80m矩形桃園，在矩形的長的兩側(cè)修建了2條等寬的道路.已知果園的種植面積為7840m2，則道路的寬是多少？問題1：你打算用什么方法解決這個(gè)問題？問題2：如果設(shè)道路的寬為xm，則圖中空白部分的長為多少？問題3：依據(jù)等量關(guān)系你可以列出方程嗎？列方程為整理，得①x題2只在果園兩邊有路出入不方便.如果在矩形的四周修建等寬的道路.這樣果園的種植面積為7296m2，則道路的寬是多少？問題5：依據(jù)等量關(guān)系你可以列出方程嗎？問題4：如果設(shè)道路寬為xm，則種植部分矩形的長為多少？寬為多少？列方程：化簡，得②追問：為什么寫成這種形式？（提示：類比一元一次方程的一般式）x問題情境建立方程③題3如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?問題7：依據(jù)等量關(guān)系你可以列出方程嗎？問題6：如果設(shè)切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為多少？寬為多少？列方程：化簡，得問題情境建立方程題4要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng).根據(jù)場(chǎng)地時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？問題8：如果設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，某個(gè)隊(duì)一共比賽多少場(chǎng)？所有隊(duì)全部比賽共多少場(chǎng)？問題9：依據(jù)等量關(guān)系你可以列出方程嗎？列方程：化簡，得④問題情境建立方程方程的特點(diǎn)②③④一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)的次數(shù)是1兩邊都是整式思考：將方程進(jìn)行分類，并說明這些方程的特點(diǎn)？①②③④①②一元一次方程一元二次方程①是一元一次方程②③④是一類新的方程方程的特點(diǎn)①（

）個(gè)未知數(shù)一未知數(shù)的最高次數(shù)是（）2兩邊都是（）整式③④觀察類比歸納方程

例1x（x+3）=x2-1,去括號(hào)，x2+3x=x2-1整理，得3x=-1.

已知2xa-1+bxy+5x+6=0是一個(gè)一元二次方程，求代數(shù)式a+b的值.解：根據(jù)一元二次方程的定義，得方程中只含有一個(gè)未知數(shù)，所以b=0.因?yàn)榉匠讨形粗獢?shù)的最高次數(shù)是2，所以a-1=2.解得a=3.所以代數(shù)式a+b=3+0=3.例2

跟蹤練習(xí)D±2一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）x2-50x+49=0x2-12x+32=0ax2+bx+c=0（a≠0）二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)當(dāng)a＝0時(shí)，方程沒有二次項(xiàng).歸納

將方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).解：去括號(hào)，得3x2-3x=5x+10.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為-8，常數(shù)項(xiàng)為-10.

例3包括前面的符號(hào)！【注意】(1）將一元二次方程化成一般形式時(shí)，通常要將首項(xiàng)化負(fù)為正，化分為整；(2)系數(shù)和項(xiàng)均包含前面的符號(hào).1)下面哪些數(shù)是方程的根?-4-3-2-1012342)你能寫出方程的根嗎?即:平方后是它本身的數(shù)是哪些?0或1鞏固練習(xí)A.1B.-1C.1或-1D.0B例題講解（3）若a是一元二次方程x2＋x－1＝0的根，則a3＋2a2－7的值為____．例題講解1.一元二次方程的概念

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式

一般地,任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為的形式,我們把(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式。4.模仿一元二次方程的定義你能對(duì)一元三次方程下個(gè)定義嗎？請(qǐng)你試試看！3.一元二次方程的解（根）的概念

使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值課堂小結(jié)-1

拓展延伸1x3.233.243.253.26-0.06-0.020.030.07A.3＜x

＜3.23C.3.24＜x

＜3.25D.3.25＜x

＜3.26B.3.23＜x

＜3.24C2拓展延伸5)關(guān)于x的方程中一定是一元二次方程的是（

）A.ax2＋bx＋c＝0B.mx2＋x－m2＝0C.(m＋1)x2＝(m＋1)2D.（m2＋1)x2－m2＝0D7)方程中，當(dāng)k為何值時(shí)，此方程為一元二次方程？當(dāng)k為何值時(shí)，此方程為一元一次方程？-2反思：關(guān)鍵是要考慮兩點(diǎn)：未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)最高次項(xiàng)的系數(shù)不等于0拓展延伸3．若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是關(guān)于x的一元二次方程，則有()A．m＝1B．m＝－1C．m＝±1D．m≠±14．已知關(guān)于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，當(dāng)m________時(shí)，它是一元二次方程；當(dāng)m________時(shí)，它是一元一次方程．B≠±2＝-25．根據(jù)下列問題，列出一元二次方程，并將其化為一般形式．(1)一個(gè)微信群里共有x個(gè)好友，每個(gè)好友都分別給群里其他好友發(fā)送一條消息，這樣共有756條消息；(2)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和為130，求這兩個(gè)奇數(shù)；(3)把一塊面積為54cm2的矩形紙片的一邊剪下5cm，另一邊剪下2cm，恰好變成一個(gè)正方形，求這個(gè)正方形的邊長；(4)一個(gè)直角三角形的斜邊長是17cm，兩直角邊之差為7cm，求較短直角邊長．綜合應(yīng)用解：(1)x(x－1)＝756，化為一般形式為x2－x－756＝0

(2)設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為n，n＋2，則n2＋(n＋2)2＝130，化為一般形式為2n2＋4n－126＝0

(3)設(shè)這個(gè)正方形的邊長為xcm，依題意有(x＋5)·(x＋2)＝54，化為一般形式為x2＋7x－44＝0(4)設(shè)較短直角邊長為xcm，則另一直角邊長為(x＋7)cm，依題意有x2＋(x＋7)2＝172，化為一般形式為2x2＋14x－240＝0

[答案]

20小結(jié):一元二次方程必須同時(shí)滿足:①整式方程;②只含一個(gè)未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.注意整理后的二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.11(人教9上P3改編、北師9上P32改編)下列是一元二次方程的是

(填序號(hào)).

①4－7x2＝0；

②ax2＋bx＋c＝0；③(2x－2)(x－1)＝2x2；

①

12填空：(1)關(guān)于x的方程(k－1)x2－3x＋2＝0是一元二次方程，則k的取值范圍是

；

(2)要使xk＋1＋x＋2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則k＝

.

1

k≠1

方程一般形式abc3x2－5x＝1

(x＋2)(x－1)＝6

－8

－11

－513x2＋x－8＝03x2－5x－1＝013.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它們的二次項(xiàng)系數(shù)a、一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c：14根據(jù)下列問題列方程，并將其化為一元二次方程的一