勾股定理能力提升篇一、單選題：1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點(diǎn)A作AD⊥BA交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于點(diǎn)E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得的長，再求出的長，即可確定的長．【詳解】解：，，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，得，或（舍去），，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】利用可證，故①正確；由全等三角形的性質(zhì)可得出，，求出，即可得到②正確；根據(jù)梯形的面積公式可得③正確；根據(jù)列式，可得④正確；整理后可得，即⑤正確．【詳解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴梯形的面積是，故③正確；∵，∴，故④正確；整理得：，∴該圖可以驗(yàn)證勾股定理，故⑤正確；正確的結(jié)論個數(shù)是5個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，梯形的面積計算，三角形的面積計算，勾股定理等知識，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．3．如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】由題意知，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③得到，由此即可判斷．【詳解】解：由題意知，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴結(jié)論①②③正確，④錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理中弦圖的有關(guān)計算，準(zhǔn)確找出圖中的線段關(guān)系，并利用完全平方公式求出各個式子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題：4．如圖，點(diǎn)在邊長為5的正方形內(nèi)，滿足，若，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】19【分析】根據(jù)勾股定理求出，分別求出和正方形的面積，即可求出答案．【詳解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面積是，∵的面積是，∴陰影部分的面積是，故答案為：19．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力和推理能力．5．如圖，在中，，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC的延長線于點(diǎn)E．若，，則EC的長為______．【答案】【分析】連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，再由勾股定理確定，設(shè)，則，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵的垂直平分線交于點(diǎn)D，交的延長線于點(diǎn)E，∴，∵，，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．如圖，已知直角三角形的周長為24，且陰影部分的面積為24，則斜邊的長為______．【答案】10【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以為直徑的半圓面積之和加上的面積減去以為直徑的半圓面積進(jìn)行求解即可．【詳解】解；∵直角三角形的周長為24，∴，,∴，∵陰影部分的面積為24，∴，∴∴∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題：7．已知：在中，，、、所對的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，(1)如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(3)若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．【答案】(1)，證明見解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面積公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行