12.2概率的定義與計(jì)算第十二章概率論

基礎(chǔ)教學(xué)部概率的定義01概率的運(yùn)算公式02目錄事件的獨(dú)立性03貝努利概型0412.2.1概率的定義3一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有許多可能結(jié)果，我們常常希望知道某些結(jié)果出現(xiàn)的可能性有多大，這種可能性的大小就是通常我們所說(shuō)的概率．以下分別給出概率的幾種定義．

1.概率的統(tǒng)計(jì)定義12.2.1概率的定義4歷史上，有人做過(guò)拋擲硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果如表所示：試驗(yàn)者投擲次數(shù)n“正面向上”的次數(shù)m蒲

豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維

尼30000149940.4998

72088361240.5011

12.2.1概率的定義5人們從不同的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，事件A發(fā)生的頻率擺動(dòng)較大，隨機(jī)性較大；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率就在一個(gè)確定的常數(shù)附近作較小的擺動(dòng)，通常把這一規(guī)律性叫作頻率的穩(wěn)定性．

因此有下面定義：12.2.1概率的定義6

以上定義是通過(guò)頻率來(lái)描述事件發(fā)生的可能性大小的，所以叫作概率的統(tǒng)計(jì)定義．12.2.1概率的定義7頻率是個(gè)試驗(yàn)值，具有偶然性，可能取多個(gè)不同值，它近似地反映了事件發(fā)生可能性的大??；概率是個(gè)理論值，只能取唯一值，只有概率，才精確地反映出事件發(fā)生可能性的大?。?/p>

12.2.1概率的定義8

概率的統(tǒng)計(jì)定義是用頻率來(lái)估算概率的，但頻率必須通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)才能得到，這是比較困難的．在許多情況下，不需要進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，只根據(jù)事件的特點(diǎn)，對(duì)事件及其相互關(guān)系進(jìn)行分析，就可以直接計(jì)算出它的概率．2.概率的古典定義

12.2.1概率的定義9

2.概率的古典定義

12.2.1概率的定義10

從以上例中，我們看到一種簡(jiǎn)單而又直觀地計(jì)算概率的方法，但在應(yīng)用這個(gè)方法時(shí)，要求隨機(jī)試驗(yàn)具備以下兩個(gè)特點(diǎn)：2.概率的古典定義（1）所有的基本事件只有n個(gè)（n為有限數(shù)）；

12.2.1概率的定義11

3.概率的公理化定義

在進(jìn)行理論研究時(shí)，我們不可能對(duì)每一個(gè)事件，都做大量的試驗(yàn)從中得到頻率的穩(wěn)定值，況且有些試驗(yàn)是破壞性的（如測(cè)驗(yàn)燈泡的使用壽命），或停留在古典概型上．所以，我們采取抽象化的方法從以上的分析中吸取最本質(zhì)的素材，給出以下度量事件發(fā)生可能性大小的概率的公理化定義．12.2.1概率的定義12

3.概率的公理化定義12.2.1概率的定義13

3.概率的公理化定義12.2.1概率的定義14例1

在100件產(chǎn)品中，有95件合格品，5件次品．從中任取2件，求：（1）2件都是合格品的概率；（2）2件都是次品的概率；（3）1件是合格品，1件是次品的概率.4.古典概率的計(jì)算

12.2.1概率的定義15

4.古典概率的計(jì)算

12.2.1概率的定義16例2

同時(shí)拋擲2枚均勻的骰子，求：（1）點(diǎn)數(shù)之和等于7點(diǎn)的概率；（2）出現(xiàn)兩個(gè)6點(diǎn)的概率.

12.2.1概率的定義17例2

同時(shí)拋擲2枚均勻的骰子，求：（1）點(diǎn)數(shù)之和等于7點(diǎn)的概率；（2）出現(xiàn)兩個(gè)6點(diǎn)的概率.

12.2.1概率的定義18例3

設(shè)袋中有10個(gè)相同的球，上面依次編號(hào)為1、2、…、10，每次從袋中任取一球，取后不放回，求第5次取到1號(hào)球的概率．

而第5次必須取到1號(hào)球，只有1種取法，

12.2.1概率的定義19例4

在一個(gè)裝有4個(gè)紅球，6個(gè)黑球的袋子中，有放回地取球3次，求前兩次取到黑球、第三次取到紅球的概率．

概率的定義01概率的運(yùn)算公式02目錄事件的獨(dú)立性03貝努利概型0412.2.2概率的運(yùn)算公式21

1.概率的加法公式例5

在一個(gè)盒子內(nèi)放有20個(gè)大小相同的小球，其中有15個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中任取3個(gè)，求至少有1個(gè)白球的概率.

12.2.2概率的運(yùn)算公式22

12.2.2概率的運(yùn)算公式23有時(shí)我們直接計(jì)算事件的概率比較麻煩，轉(zhuǎn)而去求它的對(duì)立事件的概率，往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算，起到事半功倍的作用．

12.2.2概率的運(yùn)算公式24例6某班有50名學(xué)生，求至少有1名學(xué)生的生日在1月1日的概率.

12.2.2概率的運(yùn)算公式25

12.2.2概率的運(yùn)算公式26例7

一個(gè)線路上裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，當(dāng)電流超過(guò)一定量時(shí)，甲、乙保險(xiǎn)絲被燒斷的概率分別為0.85和0.74，兩根同時(shí)燒斷的概率為0.63，求至少有一根被燒斷的概率.

12.2.2概率的運(yùn)算公式27例8

在1，2，…，100中任取一數(shù)，求它能被2整除，或能被5整除的概率．

12.2.2概率的運(yùn)算公式28

前面我們討論了在一定條件下，事件發(fā)生的概率．但有些事件發(fā)生的概率，除具有一定的條件外，還附有其他的限制條件．2.條件概率和概率的乘法公式例9

10只產(chǎn)品中有7只正品，3只次品，從中取二次，每次任取一只，取后不放回，問(wèn)在第一次取得次品和第一次取得正品的條件下，第二次取得次品的概率分別是多少？

12.2.2概率的運(yùn)算公式29可見(jiàn)，第二次取得次品的概率與第一次是否取得次品有關(guān)．

以下來(lái)研究條件概率的計(jì)算．12.2.2概率的運(yùn)算公式30

12.2.2概率的運(yùn)算公式31

12.2.2概率的運(yùn)算公式32例10

設(shè)在一只盒子中混有新舊二種乒乓球，在新球中有白色的40只，紅色的30只；在舊乒乓球中有白色的20只，紅色的10只，現(xiàn)在盒子中任取一球，發(fā)現(xiàn)是新的，問(wèn)這個(gè)球是白色的概率是多少？

12.2.2概率的運(yùn)算公式33例11某人有5把鑰匙，但忘了開(kāi)房門(mén)的是哪一把，逐把試開(kāi)，試求（1）第3次才打開(kāi)房門(mén)的概率；（2）3次內(nèi)打開(kāi)門(mén)鎖的概率；（3）如5把鑰匙內(nèi)2把是房門(mén)鑰匙，3次內(nèi)打開(kāi)房門(mén)的概率．

12.2.2概率的運(yùn)算公式34

12.2.2概率的運(yùn)算公式35例12

例5中，求第二次取得次品的概率．3.全概率公式和貝葉斯公式

12.2.2概率的運(yùn)算公式36

12.2.2概率的運(yùn)算公式37例13

市場(chǎng)供應(yīng)的熱水瓶中，1廠產(chǎn)品占50%，2廠產(chǎn)品占30%，3廠產(chǎn)品占20%，1廠產(chǎn)品的合格率為90%，2廠產(chǎn)品的合格率為85%，3廠產(chǎn)品的合格率為80%，求買到的熱水瓶是合格品的概率．

12.2.2概率的運(yùn)算公式38例14

上例中，若已知買到熱水瓶是合格品，求這個(gè)合格品是1廠生產(chǎn)的概率．

12.2.2概率的運(yùn)算公式39

概率的定義01概率的運(yùn)算公式02目錄事件的獨(dú)立性03貝努利概型0412.2.3事件的獨(dú)立性41

12.2.3事件的獨(dú)立性42

12.2.3事件的獨(dú)立性43

例15

本節(jié)例6也可以用事件的獨(dú)立性求解.12.2.3事件的獨(dú)立性44

例16

甲、乙兩射手同時(shí)獨(dú)立地向某一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6，0.7，求：（1）兩人都命中的概率；

（2）甲中、乙不中的概率；（3）恰有一人命中的概率；

（4）至少有一人命中的概率．

12.2.3事件的獨(dú)立性45

注意：A、B相互獨(dú)立與A、B互不相容，是兩個(gè)不同的概念，切不可將其混淆起來(lái)，所謂A、B相互獨(dú)立，其實(shí)質(zhì)是事件A發(fā)生的概率與事件B是否發(fā)生毫無(wú)關(guān)系；所謂A、B互不相容，其實(shí)質(zhì)是事件B的發(fā)生，必然導(dǎo)致事件A的不發(fā)生，從而事件A發(fā)生的概率與事件B是否發(fā)生密切相關(guān)．概率的定義01概率的運(yùn)算公式02目錄事件的獨(dú)立性03貝努利概型0447

例如，某射手的射擊試驗(yàn)；種子的發(fā)芽試驗(yàn)；一批產(chǎn)品次品率的檢驗(yàn)等，都是獨(dú)立試驗(yàn)．

12.2.4貝努利概型貝努利概型是很重要的數(shù)學(xué)模型，有非常廣泛的應(yīng)用，是被研究得最多的模型之一．48

12.2.4貝努利概型49

12.2.4貝努利概型50例17

一批玉米種子，出苗率為0.8，現(xiàn)每穴種5粒，求（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）：（1）5粒中恰有4粒出苗的概率；

（2）