試題試題2024北京二中高二（下）段考五數(shù)學(xué)一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P若，則（）A． B． C． D．2．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于3”，則（）A． B． C． D．3．若，則（）A．40 B．41 C． D．4．設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A． B．2 C．9 D．5．盒中有2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，2個(gè)白球，從中隨機(jī)地取出一個(gè)球，觀察其顏色后放回，并加入同色球1個(gè)，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是紅球的概率是（）A． B． C． D．6．若在上單調(diào)遞增，則a的最大值是（）A． B． C． D．7．在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場順序的不同排法種數(shù)為（）A．30 B．36 C．60 D．728．在等比數(shù)列中，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD是等邊三角形，側(cè)面底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．則點(diǎn)M到直線CD的最短距離為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．若隨機(jī)變量X的分布列如下，且，則隨機(jī)變量X的方差等于__________．X012Pab12．若展開式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512，則__________；該展開式中的系數(shù)為__________．13．已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為__________．14．設(shè)等差數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．15．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）則實(shí)數(shù)a的值為__________；（2）設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，則k的最大整數(shù)值為__________．三、解答題（共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16．（本小題13分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）求的取值范圍．17．（本小題14分）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面DEF夾角最小？并求出此時(shí)夾角的余弦值．18．（本小題13分）動(dòng)車和BRT（快速公交）的出現(xiàn)，方便了人們的出行，并且?guī)?dòng)了我國經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，在2020年從甲市到乙市乘坐動(dòng)車和BRT的人數(shù)眾多，為了調(diào)查乘客對(duì)出行方式的滿意度，研究人員隨機(jī)抽取了500名乘客進(jìn)行調(diào)查，所得情況統(tǒng)計(jì)如下所示：滿意程度30歲以下（不含30歲）30~50歲（含30歲，不含50歲）50歲及50以上乘坐動(dòng)車乘坐BRT乘坐動(dòng)車乘坐BRT乘坐動(dòng)車乘坐BRT滿意5051001010020一般201540202025不滿意5020102020（1）若從樣本中任取1人，求抽取的乘客年齡在30歲及30歲以上的概率；（2）記滿意為10分，一般為5分，不滿意為0分，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本中30~50歲乘坐動(dòng)車乘客滿意程度的平均分以及方差；（3）以樣本中這500名乘客屬于每個(gè)年齡層的頻率代替1名乘客屬于該年齡層的概率，若從所有乘客中隨機(jī)抽取3人，記年齡在30~50歲的乘客人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．（本小題15分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過橢圓的左焦點(diǎn)作不與x軸重合的直線MN與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，的周長為8，過點(diǎn)M作直線的垂線ME，E為垂足．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線EN經(jīng)過定點(diǎn)P，并求定點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．（本小題15分）已知，函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．21．（本小題15分）已知：，，…，，為有窮數(shù)列．若對(duì)任意的，都有（規(guī)定），則稱具有性質(zhì)P．設(shè)（1）判斷數(shù)列：1，0.1，，，：1，2，2.5，1.5，2是否具有性質(zhì)P？若具有性質(zhì)P，寫出對(duì)應(yīng)的集合；（2）若具有性質(zhì)P，證明：；（3）給定正整數(shù)n，對(duì)所有具有性質(zhì)P的數(shù)列，求中元素個(gè)數(shù)的最小值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．DBBC ACCA DA二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11． 12．9， 13． 14．15．（1）1； （2）4三、解答題共6小題，共85分．16．【答案】解：（1）由條件得，由余弦定理得，因?yàn)椋?，得，即，因?yàn)?，所以，又，所以．?）．因?yàn)闉殇J角三角形，所以，且，所以．所以，即的取值范圍是．17．證明：，，，平面，，平面，又平面，，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，設(shè)則，則．（1），．（2），，設(shè)平面DEF的法向量為，則，不妨設(shè)，則，易知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面DEF夾角的大小為，則（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以當(dāng)，即時(shí)，平面與平面DEF夾角的最小，此時(shí)角的余弦值為．18．解：（1）依題意，所求概率．（2）依題意，樣本中30~50歲乘坐動(dòng)車乘客滿意程度的平均分為，方差為．（3）由題可知，1名乘客年在30~50歲的概率為．依題意，，X的可能取值為0，1，2，3．，，，，故X的分布列為：X0123P則．19．【答案】解：（1）的周長為8，，故．，，故，所以，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知，由對(duì)稱性知，P必在x軸上，，設(shè)直線MN方程：，，，聯(lián)立方程得，所以，，所以，又，所以直線EN方程為：，令，則，所以直線EN過定點(diǎn)．20．解：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，令，得．?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減．因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）令，則，當(dāng)時(shí)，由，可得，，則，則，故當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，而，故當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上無零點(diǎn)，即在區(qū)間上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)椋瑒t，從而當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，而，，因此存在唯一的，使得，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．而，故，取，當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一的，使得，即在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)．21．解：（1）由題知：1，0.1，，，，，，，，不具有性質(zhì)P，：1，2，2.5，1.5，2，，，，，，，，，，，具有性質(zhì)P，，，，，．（2）證明：證明等價(jià)于證明，兩個(gè)元素至少有一個(gè)在中，假設(shè)，兩個(gè)元素均不在中，則有，，設(shè)，若，則由，可得，與矛盾，，同理，．．，與具有性